Fondamenti di sistemi dinamici

Fondamenti di Sistemi Dinamici

• Modellistica dei sistemi
• Analisi dei sistemi nel dominio del tempo
• Analisi dei sistemi nel dominio delle trasformate di Laplace
• Analisi dei sistemi nel dominio della frequenza (TF) trasformata

Modellistica

Analizziamo i seguenti sistemi tempo continui:

• Partitore di tensione (T.I.)

Il modello matematico è fornito dal regime resistivo tra u(t) e y(t). Per un dato sistema possono esistere più di un modello matematico. In questo caso:

y = R2/(R1 + R2) u

Il modello matematico è sempre un'approssimazione del sistema reale e col tempo, il modello può non essere testuale, ma della forma astratta dei suoi dipinti sensa testuale. Generalizzando il modello matematico ottengo la forma:

y(t) = M q(t)

È efficace che in sistemi di questo tipo, per sistema all’istante t, a seconda dell’istante t (lo stesso nello stesso istante) i sistemi di questo tipo (input e output) vengono detti sistemi statici.

Circuits RC (1)

U = Rc I

Riconosciamo il modello approssimato di primo ordine.

Questa relazione è diversa da quella precedente. Infatti, in una sessione conosciamo le condizioni iniziali: il valore del condensatore al tempo t = 0.

Sappiamo che la condizione iniziale porta all’equazione di stato del sistema.

Scriviamo le relazioni in un altro formato, eliminazione della variabile di stato.

1. dx/dt = 1/RC x -> y = x
2. dx/dt = 1/RC (x - 1) -> y = x

Molalastenica (1)

1. F = k ∙ u

Questo termine è quella di un sistema elastico

Massa tollerata - Smorzatore

1. F_v = -сv₀ v’ = v – (1/r) Е

Il funzionamento di questo sistema è un analogo a quello dello molle perché le particelle permettono l'interazione senza spostamento.

Come si vede nel disegno la forza risultante di una molla, e se il valore del condensatore ad un istante t è opposto alla nostra massa

le funzioni matriciali possiamo scrivere

parte relativa alle x parte relativa agli ingressi

y_g = x

con y = [^y₁/_y2]

Se invece di tutte e due le uscite ne avessimo voluto calcolare uno solo, avremmo avuto

y = [a o] x

Anche il modello del sistema termico necatta tra quelli Considerati il Piu' Promava quello da un'equazione differenziale e da un'equazione statica

-SERBATOIO (1C)

S

Questa portata implementica in entrata

questa portata implementica in essita

Sappiamo di volar calcolare la variazione nel tempo del volume delle liquido presunto nel serbatorio

N.B. Se serbartoio cilindrico quindi V= S*R

dV = Sdh q_i = q_o

PAGINA 1

• PAGINA 2
• PAGINA 4

PAGINA 2

• PAGINA 3
• PAGINA 1

PAGINA 3

• PAGINA 1

PAGINA 4

• PAGINA 2
• PAGINA 3

Probabilità di andare da una pagina all’altra.

Chiamiamo x_i la probabilità che al k-esimo click (cioè all’istante t=spinola) ci troviamo alla pagina i-esima.

x₁(k+1) = x₃(k)

x₂(k+1) = 1/4 x₄(k) + 1/2 x₁(k)

x₃(k+1) = x₂(k) + 1/2 x₄(k)

x₄(k+1) = 1/2 x₁(k)

In forma matriciale

x_n = A . x_n

y_n = C . x_n con A, C matrici

CAMPIONAMENTO (19)

T_s tempo di campionamento

Il tempo di campionamento (k) è un range sull'asse t_s, è il tempo che passa tra un campionamento e l'altro

3E Modello Matematico

Osserviamo che al perpetuarsi dell'esempio dell'evaporatore con interazione non accoppiata si assistesse un'equazione non dissetica.

Passiamo alla rappresentazione permuta:

• x₁ = -R_x/L - R_k/L U
• x₂ = K_x/T K_a/T x₂ - C_g/J
• y = x₂

Forma numerica:

• x = [-R/L -K/L U/L 0 U̇]
• [K/T -KαJ] [x] + [0 1/J] [U̇]

y = [0 1] x + [0 0] U̇

dove U̇ = [U C_t]

LA TRAIETTORIA PERTURBATA E PROSSIMA ALLA TRAIETTORIA NOMINALE

Supponiamo di conoscere la traiettoria nominale del sistema, immaginiamo di perturbare gli stato iniziali.

• Ingresso perturbato
• Stato perturbato

Sotto queste ipotesi possiamo riscrivere il modello alle variazioni in vicinanza dello stato nominale.

Variamo quindi le modo in cui vengono portate nel tempo gli stati nominali della traiettoria nominale e del controllore.

Sviluppando le equazioni della traiettoria nominale:

• \( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(x, u) \\ g(x, u) \end{bmatrix} \)

Per la traiettoria perturbata abbiamo:

• \( x = \hat{x} + \delta x \)
• \( y = \hat{y} + \delta y \)

Quindi:

• \( x = \hat{x} + \delta x = f(\hat{x} + \delta x, u + \delta u) \)

A questo punto possiamo sviluppare in serie di Taylor fermandoci ai primi ordini:

• \( f(\hat{x}, \hat{u}) + \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial u} \delta u + o(\delta x, \delta u) \)

Sviluppando ogni piccola sia trascurabile e quindi possiamo si ottiene:

• \( dx = \frac{\partial f}{\partial x} \delta x + \frac{\partial f}{\partial u} \delta u \quad \text{Modello degli spostamenti (o alle variazioni)} \)

Allo stesso modo per l'uscita si ha:

• \( y = \hat{y} + \delta y = g(\hat{x}, \hat{u}) + \frac{\partial g}{\partial x} \delta x + \frac{\partial g}{\partial u} \delta u \)

Quindi:

• \( dy = \frac{\partial y}{\partial x} \delta x + \frac{\partial y}{\partial u} \delta u \quad \text{Modello degli spostamenti (o alle variazioni)} \)

quindi

Ricerchiamo il primo modello

A = ^{0 1} _{g/l cos x0 x0}

B = ⁰ _{1/m h²}

C = [ 1 0 ]

D = [ 0 0 ]

Quindi:

• dx₁ = dx_x
• dx₂ = -g/l dx_x + 1/mh² du
• dy = dx_x

Questo modello ci dice come si comporta il pendolo nel intorno del punto di lavoro _1,0

Nel secondo modello cambia solo la matrice A

A = ^{0 1} _{g/l cos x2 x2}

O SERBATOIO (GUARDARE)

La portata volumetrica si può calcolare come A_s·Vpo A_s: sezione del condotto V: velocità del flusso

Con le leggi di Torricelli su z(qh) quindi maggiore è pressione del liquido maggiore è la velocità di uscita. Il modello è direzionale con direzione che va nelle prime terzini.

CASO 1D

Nel caso 1D, risolto con linearizzazione, possiamo considerare un sottogruppo dello stesso gruppo continuo supponiamo di considerare un sistema 1D non lineare.

y_f = M (x_f - u_f)

Eseguito il rinviluppo nominale si ottiene una traiettoria, punto del punto nominale (r) e l'equazione linearizzata dell'ipotesi:

Aδx_n = Aδx + Bδu_n MODELO LINEARIZZATO

Cδy_n = Cδx + Dδu_n

con le matrici A, B, C, D definite (come nel caso 1c).

La differenza è cambiabile risolvendo nell'equazione che impone l' e i sottostanti indici.

λ = f (x, d) → EQUAZIONE DEI PUNTI DI EQUILIBRIO