Fondamenti di sistemi dinamici

FONDAMENTI DI SISTEMI DINAMICI

INDICE RIASSUNTIVO DEL CORSO

1. Modellistica dei sistemi
2. Analisi dei sistemi nel dominio del tempo
3. Analisi dei sistemi nel dominio delle trasformate di Laplace
4. Analisi dei sistemi nel dominio della frequenza (risp. trasformate)

MODELLISTICA

Analizziamo alcuni sistemi tempo continui:

1. PARTITORE DI TENSIONE (TD)

Il modello matematico si forma dai regimi resistenti tra y e v.

Per un dato sistema possono esistere più di un modello matematico.

In questo caso,

_y = _R2 / _{R1+R2 v}

Il modello matematico è sempre un'approssimazione del sistema reale ed è seguito. In questo caso abbiamo trascurato della tempistica e dei suoi effetti sol...

Generalizzando il modello matematico otteniamo si fa y(t) = M ⋅ o(t)

E chiaro che in un sistema di questo tipo, il sistema all'istante t dipende esclusivamente dall'ingresso nello stesso istante

I sistemi di questo tipo (input-output) vengono detti SISTEMI STATICI.

Fondamenti di sistemi dinamici

Indice riassuntivo del corso:

1. Modellistica dei sistemi
2. Analisi dei sistemi nel dominio del tempo
3. Analisi dei sistemi nel dominio della trasformata di Laplace
4. Analisi dei sistemi nel dominio della frequenza (risposta in frequenza)

Modellistica

Analizziamo alcuni sistemi tempo continui:

1. Partitore di tensione

Il modello matematico è fornito dalle leggi dei regimi resistivi tra i e y

Per un dato sistema possono esistere più di un modello matematico

In questo caso,

^y/_v = ^R₂/_{R1 + R2}

Il modello matematico è sempre un'approssimazione del sistema reale, nel senso, in questo caso, non abbiamo tenuto conto della temporizzazione e dei suoi effetti sul transistor

Generalizzando il modello matematico ottenuto si ha:

y(t) = M o(t)

E' chiaro che in sistemi di questo tipo il legame tra input e output viene detto SISTEMI SINCRONI.

CERCHIAMO RC (1C)

Ricerchiamo il modello matematicoapplicando le leggi di Kirchhoff。

Questa relazione è diversa dalla precedente perché in precedenza consideravamo la combinazione in serie mentre in questo caso consideriamo la combinazione in parallelo。è simile al passaggio del sistema non bloccato però in parallelo e invertito

Sisteniamo le relazioni in un ulteriore forma e scriviamo un'espressione delle condizioni per fare lo stato iniziale

Questa fig 1 è un sistema misto

MOLLA ELASTICA (MC)

Questo diagramma è quello di un sistema elastico

MASSA MOLLA SMORZATORE

Il funzionamento di questo sistema è analogo a quello della mollaperché assorbe le forze esterne, ma è più preciso perché c'è un'ulteriore elemento che smorza e mantiene una costante numerica per questo motivo scriviamo

Sviluppiamo il modello matematico usando le leggi di Newton.

F.E.: per una serie finita la risultante delle forze esterne è ripartita

come massa virtuale.

• y: spostamento
• y: velocità
• y: accelerazione

Osserviamo che:

Cioè m_v(m/m)*y₁

Questo modello sembrerà diverso da quello del circuito RC. Tuttavia

prevede le stesse posizioni.

x₁=y_x2=y

Si ha:

x₂=-k₁x₂-K₃x₁+1u

y=x₁+0*u

Se indichiamo come x il vettore delle variabili di stato:

x=_{x1,x2}

y=I_M(x,u)

Che è lo stesso sistema ottenuto per il circuito RC

Sistema termico (TC)

Supponiamo di avere un solido a cui trasferiamo una certa potenza termica e il nostro

ambiente ^{() allora questa tendendo l'_P}

Con una temperatura piccola 5

Se il corpo solido scambia calore per conduzione

Legge di Fourier

T1 T2

Parete

Flusso di calore da una parte all'altra

q=K(T₁-T₂)

K: conducibilità termica della parete

Partendo da questa legge vediamo...

CAPACITA' TERMICA

Ci = capacita' termica

Cu = calore specifico

Una parte di energia si perde con l'ambiente.

• γ < kx αυmenta la temperatura
• γ > kx diminuisce la temperatura

Cio' che entra in ingresso non controllabile per il disturbo

d = 0,1 : impulso muto

γ̇ =_c k (fy - σ) ± αυ

SISTEMA TERMICO Z (rc)

Consideriamo il sistema termico "canale"

Supponiamo un gradino dalla stessa temperatura T della s