Fondamenti di Sistemi Dinamici

Teoremi e definizioni

Fondamenti di Sistemi Dinamici

A.A. 2017/2018

Appunti realizzati da Carmine Cesarano. Teoremi e Definizioni Fondamenti di Sistemi Dinamici

LINEARIZZAZIONE ′

= (, , )

{

Dato un sistema non lineare = (, , )

̂, ̂

̂

Si supponga di conoscere l’evoluzione nominale corrispondenti allo stato iniziale nominale e

0

̂

all’ingresso nominale ′

̂ ̂, ̂)

= (,

{ ̂, ̂)

= (,

Perturbando lo stato iniziale e l’ingresso cioè

0 = ̂ +

0 0 0

= ̂ +

Si ha

′ ′

+ = , + , + = ,

, + + + ℎ

̂ ̂ ̂ ̂ ̂)

(

( ) | |

= =

̂ ̂

= =

̂ ̂

+ = , + , + = ,

, + + + ℎ

̂ ̂ ̂ ̂)

(

( ) | |

= =

̂ ̂

{ = =

̂ ̂

ℎ ℎ

Se e sono trascurabili, e cioè, le derivate seconde parziali sono sufficientemente piccole nell’intorno

̂ ̂,

di e si può porre ′

= +

{

= +

Dove

= | = |

= =

̂ ̂

= =

̂ ̂

= | = |

= =

̂ ̂

= =

̂ ̂

Che corrisponde al modello linearizzato del sistema non lineare studiato.

Osservazione: Quanto più è piccola la derivata seconda rispetto alla derivata prima tanto più è ampio il

campo di validità nel modello linearizzato.

Appunti realizzati da Carmine Cesarano. Teoremi e Definizioni Fondamenti di Sistemi Dinamici

Se il modello non lineare è nella forma anormale ′

(, )

, , = 0

E risulta difficile metterlo nella forma ′ (, )

= ,

La linearizzazione si effettua tramite la formula

−1 −1

′ [ ] [ ]

= − −

′ ′

TRAIETTORIA NOMINALE

= ̂ = ̂ =

Se ci si può aspettare una risposta che si determina:

′ (, ̂)

̂,

= = .

′ (, ̂)

̂,

= = 0 .

Le soluzioni di tali equazioni forniscono i punti di lavoro (o punti di equilibrio).

Appunti realizzati da Carmine Cesarano. Teoremi e Definizioni Fondamenti di Sistemi Dinamici

RISPOSTA DI UN SISTEMA LTIC (lineare tempo invariante continuo)

′

= +

{ ),

= (

0 0

= +

La risposta risulta:

(− ) (−)

( ) ()

∫

= +

0 0 0

(− ) (−)

( ) () ( )

∫

= + +

0 0 0

DIM:

0

= =

,

Ricordando che

0

( ) = = =

0 0 0 0

(− ) (−)

′ ( ) ( )

[ ∫ ]

= +

0 0

0

(− ) − ()

[ ∫ ]

= +

0 0

0

− − −

() ()|

[ ∫ ]

= + +

0 0

0

(− ) (−) (−)

() ( )

[ ]

= + +

∫

0 0 0

( )

= + ()

Appunti realizzati da Carmine Cesarano. Teoremi e Definizioni Fondamenti di Sistemi Dinamici

RISPOSTA AL GRADINO (risposta indiciale)

Dato l’ingresso ≥ 0

0

1( ) {

=

0 0 <0

La risposta di un sistema LTIC al suddetto segnale è data da

−1 −1

( ) (−) [ (−) ]

= + −

0 0 0

1 −1

( ) [ (−) ] [ (−) ]

= + + −

0 0 0

DIM:

 (−)

( ) ()

= +

∫

0 0

per l’ingresso a gradino diventa

(−)

( ) ∫

= +

0 0

0

(−)

−1

[− ]

= +

0 0

0

−1 −1

= − +

0 0 0

−1 −1

[ (−) ] (−)

= − +

0 0 0

 (−)

( ) () ( )

= + +

∫

0 0

Per l’ingresso a gradino diventa

(−)

( ) ∫

= + +