Fondamenti di Automatica, Monteriù - Teoria + esempi + esami svolti

Appunti di Fondamenti di Automatica presi a lezione del prof. Monteriù. Contengono tutti gli argomenti di teoria non presenti sulle slides del corso fornite dal docente con relative dimostrazioni ed esempi + esercizi svolti a lezione su ogni argomento commentati in ogni passaggio + temi d'esame svolti a cura dello studente.

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Monteriù Andrea

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

Publisher andreina.i

A.A. 2017-2018

118 pagine

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FONDAMENTI DI AUTOMATICA

TEORIA + ESEMPI

TEORIA + DIMOSTRAZIONI + ESEMPI:

MODELLI IU e VS
MODI
MODELLI IU → DOMINIO DEL TEMPO
DOMINIO DI LAPLACE
MODELLI VS → DOMINIO DEL TEMPO
DOMINIO DI LAPLACE
SVILUPPO DI SYLVESTER per e^At
SIGNIFICATO DELLE MATRICI
RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI
STABILITÀ NEL TEMPO CONTINUO
STATI DI EQUILIBRIO
CRITERIO DEGLI AUTOVALORI
DECOMPOSIZIONE COMPLETA DI KALMAN

SOLO ESEMPI:

CRITERIO DI ROUTH
RAGGIUNGIBILITÀ E CONTROLLABILITÀ + KALMAN
OSSERVABILITÀ E DETERMINABILITÀ + KALMAN
DUALITÀ
RETROAZIONE DELLO STATO
SISTEMI A TEMPO DISCRETO
CRITERIO DI JURY

+ ESAMI 2016/2017 SVOLTI

NOTA - I TEMI D'ESAME SVOLTI

SONO FRUTTO DELLA PREPARAZIONE

PERSONALE DELLO STUDENTE.

NON SE NE GARANTISCE

L'ESATTEZZA NEI CALCOLI E

NELLO SVOLGIMENTO.

POSSONO COMUNQUE RISULTARE

UTILI PER UN CONFRONTO

CRITICO DURANTE LA

PREPARAZIONE DELL'ESAME.

ẋ₁(t)

ẋ₂(t)

ẋₙ(t)

MATRICE DELLA DINAMICA A (m×m)

MATRICE DEGLI INGRESSI B (m×r)

y₁(t)

y₂(t)

yₚ(t)

MATRICE DELLE USCITE C (p×m)

ordine

MATRICE DI TRASMISSIONE D (p×r)

dice come l'ingresso influenza l'uscita

n.b. se moltiplichi (riga×colonna) ai ottiene la forma precedente

FORMA COMPATTA

{ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

{y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

con A(t) = n×n

B(t) = m×r

C(t) = p×m

D(t) = p×r

Le moltiplicazioni si possono fare e si ottengono dimensioni equivalenti

ẋ(t) = f (x(t), u(t), X)
{ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
{y(t) = Cx(t) + Du(t)

coeff. costante che non dipende

in stazionario non c'è dipendenza esplicita dal tempo

nel caso IV-MIMO si ottengono p eq. lineari a coeff. costanti

le x con anche le altre

Schemi a Blocchi

u(t)

c'è scritto: u(t) k x₁ di voci faccio l'integralequando c'è sarebbe k_tu(t) = t

Esempio: Sistema Idraulico

u(t): portata volumetrica d'uscitaportata volumetrica d'ingresso [m³/s]

x_i = livello del serbatoio i-esimo [m]y(t) ≡ volume tot. dei 3 serbatoi

Le portate volumetriche di 1 e 2 sono gli ingressi del 3.

I 3 serbatoi sono uguali e cilindrici di sezione = A.

Voglio sapere come varia la portata ed il volume tot. dei 3 serbatoi al variare della portata volumetrica d'ingresso.

Nel 1^º serbatoio → v₁(t) = A₁ x₁(t) ≡ A x₁(t)

Nel 2^º serbatoio → v₂(t) = A₂ x₂(t) ≡ A x₂(t)

Nel 3^º serbatoio → v₃(t) = A₃ x₃(t) ≡ A x₃(t)

y(t) = v₁(t) + v₂(t) + v₃(t) = A x₁(t) + A x₂(t) + A x₃(t)

Velocità ≡ Portata volumetrica sezione

Livello = ∫₀^t Velocità dt ≡ ∫₀^t Portata volumetrica dt sezione

Nel serbatoio 1 la portata in ingresso e in uscita ma si deve conoscere la storia, cioè qual era la portata precedente del serbatoio

x₁(t) - x₁(0) = ∫₀^t u(τ)/A dτ - ∫₀^t k x₁(τ) dτ/A

variazione ai livelli causata dai liquidi che esce

ŷ₂(t) = _{R_a}/^L_a y₂(t) + ^k/_{L_a} y₁(t) - y₃(t) - ¹/_{L_a} u₂(t)

_{R_a}/^L_a y₂(t) + ^k/_{L_a} y₁(t) - y₃(t) - ¹/_{L_a} u₂(t) = 0

h₂ = dipende da ŷ₂ dalle sue derivate MA anche dalle altre uscite perchè sistema NON E' LINEARE

ŷ₃(t) = ^k/_{J_t} y₁(t) y₂(t) - ^k/_{J_t} y₃(t) - ¹/_{J_t} u₃(t)

F_t y₃(t) + y₃¹(t) y₃¹(t) y₂(t) + ¹/_{J_t} u₃(t) = 0

h₃

Matrici del modello: ẋ(t) = A · x(t) + ⌠^t₀ {}

ẋ₁(t) = [ 0 ] · x₁(t) + 0 ] + [ 0 0 0 ] u₁(t) ẋ₂(t) -R_e/L_e 0 + [ k/L_ax₁(t)x₃(t) 0 f{ x(t) } 0 k/L_ax₁(t)x₂(t) ẋ₃(t) 0 0 [ 0 -F_t/J_t ] u₃(t)

- y(t) = C · x(t)

y₁(t) 1 0 0 x₁(t) y₂(t) 0 1 0 x₂(t) y₃(t) 0 0 1 x₃(t)

SCHÉMA A BLOCCHI

MODI NATURALI - GRAFICI

m(t) = e^λt

1A λ > 0
1B λ = 0
1C λ < 0

m(t) = t e^λt

2A λ > 0
2B λ = 0 (doppia)

m(t) = t^ke^λt

tende a schiacciarsi a zero

vincola convergenza di e^λt

MODI APERIODICI

Costante di tempo τ

τ ≠ ¹⁄_λ → λ = ¹⁄_τ → m(t) = (±¹⁄_τ)t

NOTA - Se λ < 0 → τ = -¹⁄_λ > 0

- Se λ > 0 → τ = -¹⁄_λ < 0

MODI PSEUDOPERIODICI

Costante di tempo: τ ≠ ¹⁄_Re[λ]

Pulsazione naturale: ω_n ≠ √(Re[λ])² + (Im[λ])²

Coefficiente di smorzamento: ξ ≠ ¹⁄_{τ·ω_n} → -^Re[λ]⁄_{ω_n}

sinθ = -^Re[λ]⁄_{ω_n} ≡ ξ → θ = arcsin(ξ)

RELAZIONE TRA ξ e ω_n

Re[λ] = -ξ·ω_n

Im[λ] = 1 - ξ²·ω_n

ξ = sinθ ⇨ ξ ∈ [0, 1]

Modelli IU: Analisi nel dominio di Laplace

Y(s) = Y_f(s) + Y_g(s) = I(s) p(s) + b(s) p(s) u(s)

con W(s) b(s) p(s)

Per il passaggio dal dominio del tempo a quello di Laplace:

ℒ {u(t)} ≜ U(s) ℒ {y(t)} = Y(s)

1A m > m (molteplicità unitaria)

W(s) = R_i s-p₁ + R₂ s-p₂... + R_m s-p_m = Σ_i=1^m R_i s-p_i

ℒ^-1 R_i s-p_i = R_ie^p_it ℒ^-1 δ₁(t)

ω(t) = ℒ^-1 [W(s)] = Σ^m R_ie^p_it δ₁(t)

R_i = lim_{s→p_i} (s-p_i)·W(s)

1B m > m (molteplicità maggiore di 1)

W(s) = R₁ β-p₁... + R_{i,v_i-1} s-p_i^υ_i... + R_r s-p_r

= Σ_k=0^υ_i-1 R_i,k (s-p_i)^k+1

ℒ^-1 R_i,k (s-p_i)^k+1 = Σ^υ_i-1 R_i,k t^k k! e^p_it δ_-1(t)

Per P_i, P_t molti:^v_i

R_i,k = 1 υ_i-1! · d^υ_i-1 ds^υ_i-1 [(s-p_i)^υ_i P(s)]

Ri = Re[R_i] + j Im[R_i] = |R_i| e^jϕ_i

2 m = m

W(s) = k·p(s) + R(s) p(s) = k + R(s) p(s)

ω(t) = ℒ^-1[w(s)] = ℒ^-1[R(s)/p(s)] = k·ℒ^-1[1] + ℒ^-1[R(s)/p(s)] = k·δ(t) + ℒ^-1[R(s) p(s)]

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