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FONDAMENTI DI AUTOMATICA

TEORIA + ESEMPI

TEORIA + DIMOSTRAZIONI + ESEMPI:

  • MODELLI IU e VS
  • MODI
  • MODELLI IU → DOMINIO DEL TEMPO
  • DOMINIO DI LAPLACE
  • MODELLI VS → DOMINIO DEL TEMPO
  • DOMINIO DI LAPLACE
  • SVILUPPO DI SYLVESTER per eAt
  • SIGNIFICATO DELLE MATRICI
  • RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI
  • STABILITÀ NEL TEMPO CONTINUO
  • STATI DI EQUILIBRIO
  • CRITERIO DEGLI AUTOVALORI
  • DECOMPOSIZIONE COMPLETA DI KALMAN

SOLO ESEMPI:

  • CRITERIO DI ROUTH
  • RAGGIUNGIBILITÀ E CONTROLLABILITÀ + KALMAN
  • OSSERVABILITÀ E DETERMINABILITÀ + KALMAN
  • DUALITÀ
  • RETROAZIONE DELLO STATO
  • SISTEMI A TEMPO DISCRETO
  • CRITERIO DI JURY

+ ESAMI 2016/2017 SVOLTI

NOTA - I TEMI D'ESAME SVOLTI

SONO FRUTTO DELLA PREPARAZIONE

PERSONALE DELLO STUDENTE.

NON SE NE GARANTISCE

L'ESATTEZZA NEI CALCOLI E

NELLO SVOLGIMENTO.

POSSONO COMUNQUE RISULTARE

UTILI PER UN CONFRONTO

CRITICO DURANTE LA

PREPARAZIONE DELL'ESAME.

ẋ₁(t)

ẋ₂(t)

ẋₙ(t)

MATRICE DELLA DINAMICA A (m×m)

MATRICE DEGLI INGRESSI B (m×r)

y₁(t)

y₂(t)

yₚ(t)

MATRICE DELLE USCITE C (p×m)

ordine

MATRICE DI TRASMISSIONE D (p×r)

dice come l'ingresso influenza l'uscita

n.b. se moltiplichi (riga×colonna) ai ottiene la forma precedente

FORMA COMPATTA

{ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

{y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

con A(t) = n×n

B(t) = m×r

C(t) = p×m

D(t) = p×r

Le moltiplicazioni si possono fare e si ottengono dimensioni equivalenti

  1. ẋ(t) = f (x(t), u(t), X)
  2. {ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
  3. {y(t) = Cx(t) + Du(t)

coeff. costante che non dipende

in stazionario non c'è dipendenza esplicita dal tempo

nel caso IV-MIMO si ottengono p eq. lineari a coeff. costanti

le x con anche le altre

Schemi a Blocchi

u(t)

c'è scritto: u(t) k x1 di voci faccio l'integralequando c'è sarebbe ktu(t) = t

Esempio: Sistema Idraulico

u(t): portata volumetrica d'uscitaportata volumetrica d'ingresso [m3/s]

xi = livello del serbatoio i-esimo [m]y(t) ≡ volume tot. dei 3 serbatoi

Le portate volumetriche di 1 e 2 sono gli ingressi del 3.

I 3 serbatoi sono uguali e cilindrici di sezione = A.

Voglio sapere come varia la portata ed il volume tot. dei 3 serbatoi al variare della portata volumetrica d'ingresso.

Nel 1º serbatoio → v1(t) = A1 x1(t) ≡ A x1(t)

Nel 2º serbatoio → v2(t) = A2 x2(t) ≡ A x2(t)

Nel 3º serbatoio → v3(t) = A3 x3(t) ≡ A x3(t)

y(t) = v1(t) + v2(t) + v3(t) = A x1(t) + A x2(t) + A x3(t)

Velocità ≡ Portata volumetrica sezione

Livello = ∫0t Velocità dt ≡ ∫0t Portata volumetrica dt sezione

Nel serbatoio 1 la portata in ingresso e in uscita ma si deve conoscere la storia, cioè qual era la portata precedente del serbatoio

x1(t) - x1(0) = ∫0t u(τ)/A dτ - ∫0t k x1(τ) dτ/A

variazione ai livelli causata dai liquidi che esce

ŷ2(t) = Ra/La y2(t) + k/La y1(t) - y3(t) - 1/La u2(t)

Ra/La y2(t) + k/La y1(t) - y3(t) - 1/La u2(t) = 0

h2 = dipende da ŷ2 dalle sue derivate MA anche dalle altre uscite perchè sistema NON E' LINEARE

ŷ3(t) = k/Jt y1(t) y2(t) - k/Jt y3(t) - 1/Jt u3(t)

Ft y3(t) + y31(t) y31(t) y2(t) + 1/Jt u3(t) = 0

h3

Matrici del modello: ẋ(t) = A · x(t) + ⌠t0 {}

1(t) = [ 0 ] · x1(t) + 0 ] + [ 0 0 0 ] u1(t) ẋ2(t) -Re/Le 0 + [ k/Lax1(t)x3(t) 0 f{ x(t) } 0 k/Lax1(t)x2(t) ẋ3(t) 0 0 [ 0 -Ft/Jt ] u3(t)

- y(t) = C · x(t)

y1(t) 1 0 0 x1(t) y2(t) 0 1 0 x2(t) y3(t) 0 0 1 x3(t)

SCHÉMA A BLOCCHI

MODI NATURALI - GRAFICI

m(t) = eλt

  • 1A λ > 0
  • 1B λ = 0
  • 1C λ < 0

m(t) = t eλt

  • 2A λ > 0
  • 2B λ = 0 (doppia)

m(t) = tkeλt

tende a schiacciarsi a zero

vincola convergenza di eλt

MODI APERIODICI

Costante di tempo τ

τ ≠ 1λ → λ = 1τ → m(t) = (±1τ)t

NOTA - Se λ < 0 → τ = -1λ > 0

- Se λ > 0 → τ = -1λ < 0

MODI PSEUDOPERIODICI

Costante di tempo: τ ≠ 1Re[λ]

Pulsazione naturale: ωn ≠ √(Re[λ])2 + (Im[λ])2

Coefficiente di smorzamento: ξ ≠ 1τ·ωn → -Re[λ]ωn

sinθ = -Re[λ]ωn ≡ ξ → θ = arcsin(ξ)

RELAZIONE TRA ξ e ωn

Re[λ] = -ξ·ωn

Im[λ] = 1 - ξ²·ωn

ξ = sinθ ⇨ ξ ∈ [0, 1]

Modelli IU: Analisi nel dominio di Laplace

Y(s) = Yf(s) + Yg(s) = I(s) p(s) + b(s) p(s) u(s)

con W(s) b(s) p(s)

Per il passaggio dal dominio del tempo a quello di Laplace:

ℒ {u(t)} ≜ U(s) ℒ {y(t)} = Y(s)

1A m > m (molteplicità unitaria)

W(s) = Ri s-p1 + R2 s-p2... + Rm s-pm = Σi=1m Ri s-pi

-1 Ri s-pi = Riepit-1 δ1(t)

ω(t) = ℒ-1 [W(s)] = Σm Riepit δ1(t)

Ri = lims→pi (s-pi)·W(s)

1B m > m (molteplicità maggiore di 1)

W(s) = R1 β-p1... + Ri,vi-1 s-piυi... + Rr s-pr

= Σk=0υi-1 Ri,k (s-pi)k+1

-1 Ri,k (s-pi)k+1 = Συi-1 Ri,k tk k! epit δ-1(t)

Per Pi, Pt molti:vi

Ri,k = 1 υi-1! · dυi-1 dsυi-1 [(s-pi)υi P(s)]

Ri = Re[Ri] + j Im[Ri] = |Ri| ei

2 m = m

W(s) = k·p(s) + R(s) p(s) = k + R(s) p(s)

ω(t) = ℒ-1[w(s)] = ℒ-1[R(s)/p(s)] = k·ℒ-1[1] + ℒ-1[R(s)/p(s)] = k·δ(t) + ℒ-1[R(s) p(s)]

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I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher andreina.i di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fondamenti di automatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Monteriù Andrea.
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