FONDAMENTI DI AUTOMATICA
TEORIA + ESEMPI
TEORIA + DIMOSTRAZIONI + ESEMPI:
- MODELLI IU e VS
- MODI
- MODELLI IU → DOMINIO DEL TEMPO
- DOMINIO DI LAPLACE
- MODELLI VS → DOMINIO DEL TEMPO
- DOMINIO DI LAPLACE
- SVILUPPO DI SYLVESTER per eAt
- SIGNIFICATO DELLE MATRICI
- RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI
- STABILITÀ NEL TEMPO CONTINUO
- STATI DI EQUILIBRIO
- CRITERIO DEGLI AUTOVALORI
- DECOMPOSIZIONE COMPLETA DI KALMAN
SOLO ESEMPI:
- CRITERIO DI ROUTH
- RAGGIUNGIBILITÀ E CONTROLLABILITÀ + KALMAN
- OSSERVABILITÀ E DETERMINABILITÀ + KALMAN
- DUALITÀ
- RETROAZIONE DELLO STATO
- SISTEMI A TEMPO DISCRETO
- CRITERIO DI JURY
+ ESAMI 2016/2017 SVOLTI
NOTA - I TEMI D'ESAME SVOLTI
SONO FRUTTO DELLA PREPARAZIONE
PERSONALE DELLO STUDENTE.
NON SE NE GARANTISCE
L'ESATTEZZA NEI CALCOLI E
NELLO SVOLGIMENTO.
POSSONO COMUNQUE RISULTARE
UTILI PER UN CONFRONTO
CRITICO DURANTE LA
PREPARAZIONE DELL'ESAME.
ẋ₁(t)
ẋ₂(t)
ẋₙ(t)
MATRICE DELLA DINAMICA A (m×m)
MATRICE DEGLI INGRESSI B (m×r)
y₁(t)
y₂(t)
yₚ(t)
MATRICE DELLE USCITE C (p×m)
ordine
MATRICE DI TRASMISSIONE D (p×r)
dice come l'ingresso influenza l'uscita
n.b. se moltiplichi (riga×colonna) ai ottiene la forma precedente
FORMA COMPATTA
{ẋ(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
{y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)
con A(t) = n×n
B(t) = m×r
C(t) = p×m
D(t) = p×r
Le moltiplicazioni si possono fare e si ottengono dimensioni equivalenti
- ẋ(t) = f (x(t), u(t), X)
- {ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
- {y(t) = Cx(t) + Du(t)
coeff. costante che non dipende
in stazionario non c'è dipendenza esplicita dal tempo
nel caso IV-MIMO si ottengono p eq. lineari a coeff. costanti
le x con anche le altre
Schemi a Blocchi
u(t)
c'è scritto: u(t) k x1 di voci faccio l'integralequando c'è sarebbe ktu(t) = t
Esempio: Sistema Idraulico
u(t): portata volumetrica d'uscitaportata volumetrica d'ingresso [m3/s]
xi = livello del serbatoio i-esimo [m]y(t) ≡ volume tot. dei 3 serbatoi
Le portate volumetriche di 1 e 2 sono gli ingressi del 3.
I 3 serbatoi sono uguali e cilindrici di sezione = A.
Voglio sapere come varia la portata ed il volume tot. dei 3 serbatoi al variare della portata volumetrica d'ingresso.
Nel 1º serbatoio → v1(t) = A1 x1(t) ≡ A x1(t)
Nel 2º serbatoio → v2(t) = A2 x2(t) ≡ A x2(t)
Nel 3º serbatoio → v3(t) = A3 x3(t) ≡ A x3(t)
y(t) = v1(t) + v2(t) + v3(t) = A x1(t) + A x2(t) + A x3(t)
Velocità ≡ Portata volumetrica sezione
Livello = ∫0t Velocità dt ≡ ∫0t Portata volumetrica dt sezione
Nel serbatoio 1 la portata in ingresso e in uscita ma si deve conoscere la storia, cioè qual era la portata precedente del serbatoio
x1(t) - x1(0) = ∫0t u(τ)/A dτ - ∫0t k x1(τ) dτ/A
variazione ai livelli causata dai liquidi che esce
ŷ2(t) = Ra/La y2(t) + k/La y1(t) - y3(t) - 1/La u2(t)
Ra/La y2(t) + k/La y1(t) - y3(t) - 1/La u2(t) = 0
h2 = dipende da ŷ2 dalle sue derivate MA anche dalle altre uscite perchè sistema NON E' LINEARE
ŷ3(t) = k/Jt y1(t) y2(t) - k/Jt y3(t) - 1/Jt u3(t)
Ft y3(t) + y31(t) y31(t) y2(t) + 1/Jt u3(t) = 0
h3
Matrici del modello: ẋ(t) = A · x(t) + ⌠t0 {}
ẋ1(t) = [ 0 ] · x1(t) + 0 ] + [ 0 0 0 ] u1(t) ẋ2(t) -Re/Le 0 + [ k/Lax1(t)x3(t) 0 f{ x(t) } 0 k/Lax1(t)x2(t) ẋ3(t) 0 0 [ 0 -Ft/Jt ] u3(t)
- y(t) = C · x(t)
y1(t) 1 0 0 x1(t) y2(t) 0 1 0 x2(t) y3(t) 0 0 1 x3(t)SCHÉMA A BLOCCHI
MODI NATURALI - GRAFICI
m(t) = eλt
- 1A λ > 0
- 1B λ = 0
- 1C λ < 0
m(t) = t eλt
- 2A λ > 0
- 2B λ = 0 (doppia)
m(t) = tkeλt
tende a schiacciarsi a zero
vincola convergenza di eλt
MODI APERIODICI
Costante di tempo τ
τ ≠ 1⁄λ → λ = 1⁄τ → m(t) = (±1⁄τ)t
NOTA - Se λ < 0 → τ = -1⁄λ > 0
- Se λ > 0 → τ = -1⁄λ < 0
MODI PSEUDOPERIODICI
Costante di tempo: τ ≠ 1⁄Re[λ]
Pulsazione naturale: ωn ≠ √(Re[λ])2 + (Im[λ])2
Coefficiente di smorzamento: ξ ≠ 1⁄τ·ωn → -Re[λ]⁄ωn
sinθ = -Re[λ]⁄ωn ≡ ξ → θ = arcsin(ξ)
RELAZIONE TRA ξ e ωn
Re[λ] = -ξ·ωn
Im[λ] = 1 - ξ²·ωn
ξ = sinθ ⇨ ξ ∈ [0, 1]
Modelli IU: Analisi nel dominio di Laplace
Y(s) = Yf(s) + Yg(s) = I(s) p(s) + b(s) p(s) u(s)
con W(s) b(s) p(s)
Per il passaggio dal dominio del tempo a quello di Laplace:
ℒ {u(t)} ≜ U(s) ℒ {y(t)} = Y(s)
1A m > m (molteplicità unitaria)
W(s) = Ri s-p1 + R2 s-p2... + Rm s-pm = Σi=1m Ri s-pi
ℒ-1 Ri s-pi = Riepit ℒ-1 δ1(t)
ω(t) = ℒ-1 [W(s)] = Σm Riepit δ1(t)
Ri = lims→pi (s-pi)·W(s)
1B m > m (molteplicità maggiore di 1)
W(s) = R1 β-p1... + Ri,vi-1 s-piυi... + Rr s-pr
= Σk=0υi-1 Ri,k (s-pi)k+1
ℒ-1 Ri,k (s-pi)k+1 = Συi-1 Ri,k tk k! epit δ-1(t)
Per Pi, Pt molti:vi
Ri,k = 1 υi-1! · dυi-1 dsυi-1 [(s-pi)υi P(s)]
Ri = Re[Ri] + j Im[Ri] = |Ri| ejϕi
2 m = m
W(s) = k·p(s) + R(s) p(s) = k + R(s) p(s)
ω(t) = ℒ-1[w(s)] = ℒ-1[R(s)/p(s)] = k·ℒ-1[1] + ℒ-1[R(s)/p(s)] = k·δ(t) + ℒ-1[R(s) p(s)]
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