Esercizi Fondamenti di Automatica

LE

290 YI air

È (F) (G) (H) (I)

per le seguenti coppie di valori dei parametri e

:

(, (, (, (, (,

) = (1; 2), ) = (−1; 2), ) = (0; 3), ) = (2; 0), ) = (−2; 0),

(, (, (,

) = (3; −1), ) = (0; 0), ) = (−1; −2).

9) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione:

0 0 2

( + 1) = ( ) ()

1 −0,1 1

1 0 1

Determinare tutte le condizioni iniziali che producono evoluzioni libere convergenti e

quelle che producono evoluzioni libere divergenti.

8

ESERCIZIO

d a 2

2 alla aiea atta

bi

bi

H X b d

Xb

bl X

d 4

X

1

a 4

2 gg

o

o Ha

b

X 4

20 IIa.a

atti crisi

da

Xii ZAIFÉ ZAIGI si

a

Ca.b 0,0 relativo

costante

modonaturale b

a

sa nulla

tempo

continuo

Izi

altri due

gli s parte

e imm

e

naturale

modo periodico e

i

b

a 2

1 11 e

D

Xi modo naturale convergente

2 è

Xaba ieri costante

non

e eh

dig

essere

può autovalori complessi

guardo

3 9 nulla

reale reale

reale parte

parte

parte negativa positiva

e

e b

a 2

1 costante

modo naturale divergente non

2 1 2

2,3 Io

ESERCIZIO 9

X 2

o 0,1 1 LATO

XCX X 2

0,1 1

1

da

O 2

CHO 1

CATO

XCX 2 2

1

1 1

XI t ta

2 o

0,1

0,1

II Vi alternante

modo naturale

V3 convergente alternante

naturale

modo divergente non

È alternante

costante

modo

_V2

to 303

Cava

CIVIC

ALKI 2 1

0,1

Traiettoria all'origine

converge

Ca Ca devono essere

e o

Ca

seco Ca O

Ci O

alcol deve proporzionale vi

essere a

calcolo vi

e a o

c

1 Atc V3

0,1

p

Traiettoria diverge 303

cava 2

Civi

ACK 1 V3

0,1 a

Cato ti

secol

devono

secol ti

non e

e su

giacere so

sonzonip eh

v2

su

giacciono

os no

E X citi

1 0,1kt

2C c o.gs

al

Te TIE D

è

È

secol

INSIEMI INVARIANTI traiettoria

di

quadro

1) Si consideri un modello di flusso continuo e sia −

(1 +

() = )

−

l’andamento delle variabili di stato a partire dalle condizioni iniziali .

(2 1)

(0) = V F

 

Il semispazio è invariante per il sistema

≥ 0

1 

 

Il semispazio è invariante per il sistema

≥ 0

2

2) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

0 0

̇ () = ( ) ()

0 0 V F 

 

I. Il semispazio è invariante per il sistema

≥ 0

2

II. 2 

 

Il sottospazio lineare definito dal vettore è invariante per il sistema

= ( )

−1

3) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

0 1

̇ () = ( ) ()

−1 0 V F

I. −2 1

Il sottospazio lineare definito dai vettori e è invariante per il

= ( ) = ( ) 

 

1 2

3 8

sistema 

 

II. Il semispazio è invariante per il sistema

≥ 0 X

1 

 

III. L’insieme definito dall’equazione è invariante per il sistema

2 2

+ ≤ 4

1 2

4) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

0 0 1 0

0 0 0

1

⁄

2

( + 1) = ( ) ()

0 1 0 1

0 0 0

1

⁄

2 V F

I. 0

−1 

 

Il segmento che unisce l’origine al punto è invariante per il sistema

( )

0

1

II. 2 2 4

2 1

1 

 

L’insieme composto dai tre stati è invariante per il sistema

{( ) , ( ) , ( )}

4 2 2

1 2 1 

 

III. Esistono due piani invarianti per il sistema 

 

IV. Esistono tre rette invarianti per il sistema

ESERCIZIO 1

1 È

epartonane che

e iniziali

iniziali nazioni

condizioni partono

e

insieme

aianesto e

ILife libere

le

V2 evoluzioni

da semispazio

i

usarono questo

e e semispazio

rimangono questo

in

7

a gag

a naturale convergente associato a

monto e

E

6 1

moto

È X

naturale

INVARIANTE

non costante o

2 e E INVARIANTE

sé

e I

I e

i 2

ESERCIZIO

1 E INVARIANTE

5) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

−2 0 0

̇ () = ( ) ()

−3 −1 1

1 0 0 V F

I. 0 0

Il sottospazio lineare definito dai vettori e è invariante per il

= ( ) = ( )

1 0 

 

1 2

0 1

sistema

II. 1 

 

Il sottospazio lineare definito dal vettore è invariante per il sistema

= ( )

0

0

III. 0 

 

Il sottospazio lineare definito dal vettore è invariante per il sistema

= ( )

1

0 

 

IV. Esiste un piano invariante per il sistema 

 

V. Esistono due rette invarianti per il sistema

6) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

0 2 1

( + 1) = ( ) ()

0 −1 0

−1 −2 0 V F 

 

I. Il sottospazio lineare definito dall’equazione è invariante per il sistema

= 0

1 

 

II. Il sottospazio lineare definito dall’equazione è invariante per il sistema

= 0

2 

 

III. Il sottospazio lineare definito dall’equazione è invariante per il sistema

= 0

3

IV. = −2 

 

1 2

Il sottospazio lineare definito dalle equazioni è invariante per il sistema

{ = 0

3

V. =0 

 

1

Il sottospazio lineare definito dalle equazioni è invariante per il sistema

{ = 0

2

VI. =0 

 

2

Il sottospazio lineare definito dalle equazioni è invariante per il sistema

{ = 0

3

7) Si consideri il sistema descritto dall’equazione ( + 1) = ().

1 1

1 1 ( )

Sia la soluzione per e quella per

() = ( ) (0) = ( ) () = ( ) (0) = ( ).

2 0

1 1 0 V F

I. 1  

Il vettore è un autovettore della matrice A

( )

1

II. ≥2

1  

L’insieme definito dalle equazioni è invariante per il sistema

{

≥ 3

2  

III. Il semispazio è invariante per il sistema

− ≥ 0

1 2  

IV. Il semispazio è invariante per il sistema

+ ≥ 0

1 2

V. 1 1 (−1 (−1  

Il quadrato con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

1 −1 1 −1

VI. 1 1 (−1 (−1 

 

Il rettangolo con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

2 −2 2 −2

VII. 2 2 (−2 (−2 

 

Il rettangolo con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

1 −1 1 −1

ESERCIZIO 5

1 ma

ma sue

wie definito da

piano quello

proprio una

sia

ti

o autovettori

invariante

piano di

coppia complessi

coniugati

se associati di autovalori

ad una coppia

complessi

coniugati

o la autovalori

ha

matrice reali

3

a dimensione

di

lineari

3

quindi 1

sottospazi

Ii invarianti

w invariante

invarianti

sottospazi piano

a nel

dei autovettori piano

2

e se giacciono

invariante

il è

allora piano

Xi

autovalori 2

1

2

13

autovettone

io 0

E E 1

1

X in

nel da

definito

che

vettore già

questo vedo non piano

giace

componente

perché

wa prima

Wi o

e

autovettone

20

E X nl www

E il

Piano

soautovettone f f

of v3 INVARIANTE

2

ES III Fata Haslam

PCH Cata IIII

di 1

1 X El

1 abaci b

a e E µ

aba ab

a c c

a Y

a

III È D

atleti I

p fà

e p e

µ

È e

X getta fieno

e

d 2C c

f

I secol K

se è

It

4 d 1

II and statista

n

ca tela 12_ 1241 12

e

8) Si consideri il sistema descritto dall’equazione ( + 1) = ().

0

1 1 0

Sia la soluzione per e quella per

() = ( ) (0) = ( ) () = ( ) (0) = ( ).

1

(− )

2 2 1

4 V F

I. L’insieme dei punti descritto dalle seguenti equazioni e disequazioni  

=0

1 è invariante per il sistema

{ 0 ≤ ≤ 1

2

II. L’insieme dei punti descritto dalle seguenti equazioni e disequazioni  

= 0

1 è invariante per il sistema

{ −1 ≤ ≤ 1

2

III. L’insieme dei punti descritto dalle seguenti equazioni e disequazioni  

=1

1 è invariante per il sistema

{ 1 ≤ ≤ 3

2

IV. ≥2  

1

L’insieme definito dalle equazioni è invariante per il sistema

{

≥ 3

2  

V. Il semispazio è invariante per il sistema

− ≥ 0

1 2

VI. 1 1 (−1 (−1 

 

Il quadrato con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

1 −1 1 −1

VII. 1 1 (−1 (−1 

 

Il rettangolo con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

2 −2 2 −2

VIII. 1 1 (−1 (−1 

 

Il rettangolo con vertici , è invariante per il sistema

( ) , ( ) ) , )

5 −5 5 −5

1) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione

1 1 −2

( )

̇ () = ()

0 −1 4

1 1 −2 V F

a. Esistono infiniti stati di equilibrio  

b. Il sistema è marginalmente stabile  

2) Si consideri il modello di trasferimento di risorse descritto dal seguente grafo

2

1 1 3 2 V F

a. L ’origine dello