Fondamenti di automatica - prove svolte

A

(

)

A) 1)

(

(A 1)

0) +

0)

((

detHI + +

+ +

P(x) -

=

0

+ +

+ =

0 -

+ -

+

= +

-

= 1)

(

1) 2)

(

(f (1 (

H + (

) 2)) +

1) . 0

+ +

2 =

+

+ +

+

+ =

.

=

= +c

1 +

1 poli 1 -2

0 =

=

= - 3

zouo : , ,

, (zone )

Itsk)

victema instabile t

Il poiché 1 d

è in . .

R

matrici O verificame

calcolare

2 Devo il

zauge

le a

e :

. -(i) I

%

(0 01

10 (y(R) 23

=

(BABA-B) -(

R =

3

A

= ingerai

- - C sistema Nos

+ il

0000

/

0

& zaggiungibile

è

(89

=3 =

10 11)

c =

(

I

-- 2g(0) 3

2

=

0 = sistema Nos

Cx il

0

0

l'uguali onewabile

è

similitudine

enatrice

lor

Troviamo di Tx

T

.

3 z =

:

Kalman che

Da :

so (1)

TAT"

A =

= (

B B

+ =

=

/[2]

T 1g(R)

X di

colore

due

ado le

2 prime

viccome =

ma =

-I

valida

R T

per

sono : I

I

:

Tu us)

autogonale

Prendo complemento che

di con

5 va

V, siamo

sono

come a , IT")

lineamente indipendenti /se ha

T

lo

sono cioé

pieno

sango

sono non

non .

, ,

(i)

(2) S [

(Vz 0

)

. U = v =

-

=

= >

- 0

=

=

0 i)

Quindi I

i

: (i)

")"

(t

Da ant =

= 2g(R)

Allora 2

=

: Bc

Ac 1)

(8 =

E 13/07/2022

Simile del

al

= 3 .

06/05/2022 = Stabile

0) ( 1)

(

( 1) >

P(x)

a . =

+

+ -

=

= -

·

1 . triangolare

matrice

6) Instabile

=>

diagonale

alla

- triangolare

matrice

- Instabile

- =>

diagonale

sulla

A 47

-

)2 Stabile

- =je

(e

12

9) =>

p() =

+

= Reh Ma

.

* 0

=

disgiunti

]

1j

* t Redi4 O

<

c .:

.

A

.

2 >

-

= 12

.. vistema

VER

1)/X-2)

(x-1)(1 il

ottengo p()

Usando Saus e

1 +

= .

. histabile =

1)"

(zF x(0)

Ye(z) c

.

2 z .

-

.

= .

I I

0 ⑤

)"

(zI ↓

1

X + O

=

- I sit

E

X 2

- 1827 ! 3

2

n 1827

= pari

.....

.

= =

↳ fattore pari

11 "E

E(e)

z"(Ye()) ( 1

+

Ye(k) =

=

= :

(6 (k))

(u(k)) z

z

V(z) =

= .

bu(z)

1) " -

c(zi

Yy(z)

.

3 = - c +

[ z

E

Ye(t)

Y(t) yy(z) + =

+ = -

= (1)

(y(t)] z

= S

z" (k)

(k)

y(k) 6 +

= .,

=

Il

sistema e

duale

.

1 : (j)

)

( = Bi 1)

c 20 ,

c

1 Ba =

=

=

Ax =

=

= , ,

Per controllabilità di

verificare la matrice Raggiungibilità

sere :

I

I i

AgBp]

(Ba ApBp

RD =

= 3

01

det));) 70

(Rp) (1) 3-2) Tango

(1) piene

->

1

det 1 = -

=

= . · controllo

forma di

Calcoliamo la canonica : T- Ba

Ba

TT

Ad

T =

ADn .

.

= ,

!

Determino T i))

)( 3)

(x 2x

+

Ax) +

det(ti det

P(t) -

.

=

=

= =

-

x 2x 3x 0

+ +

= - d

↓

↓ do

3 0

al =

=

Qc -

2

= I

(

(2)

I

(

.

T" Rp

RD :

= .

= I O

O

↓ questa

moltiplica per R

matrice perché

duale

del

è . I

%

I

)"

( +

T +

= =

Allora : (i)

(G) T B

Bx =

=

+

Ap

Axc T + ,

=

= . . 1)" 13 3x2

(x

caratteristico 31

Pes(x) /

desiderato

.

2 Il polinomio + +

+

é =

+

=

: d

↓ Bo

B B

3 1

3

= =

=

.

(1-a) T

guadagno di retroazione k

Il =

.

=

: ac]

B- T

(80 - 00 Bia =

.

= ,

, 11]

(7

(101) T =

.

=

Verifica autovalori BK)

(A

di

gli x 3

1 m

+ =

=

sono -

,

: ,

Il dell'osservator

.

3 guadagno è : (i)

=

ko =

= 23/09/2012

del

26/02/2024

Simile del 3

at 3 .

,

.

generale

In :

- (R)

zaugo &

↓ (R) >

Laug

2 u

Zang(R) u

.

1 = . piend

(Rangs Non

piend

(Rango ()

(Ac] A

A =

= [kc] )

[

K

k = = M-Lang(R)

Zong(R)

↓ 24 controllo

la

Non

"Ö)

( *

T" R controllar

= . 10 libera

Pertanto

posso è

(retrationare)

)

( + b

T = c

a ..

2020kc Ac

m

a)

(B

k T

= - . Acango"B]

(Bc AcBc

Rc = ...

R

an]

(Bz T

kc = .

26/02/2024

futto

Già fatto

Già 12345678

O u(t) f

t +

= -

t

u(t) 2

= - 234 678

J

2)

(t

S (t 4)

- -

+ - .. J

6)

(t

S (t 8)

-

+ - .. -

↓ ↓

234 678

(t (t

(6

(t) 2) s))

2) (t

6

U = - 8)[d

· 8)]

-

- (t

(t 6

- 6)

(

.. -, Ug(t) t

. - -

= + - .,

-

-

012345678 012345678

f 6)

(t

(t 4)

6 - -

-

- -, 4)

S (t 6)

6

(t

Un(t)

456 = - -

- -

. ,

456

(t) 4z(t)

Ug() uz(t) +

u +

= , 6))

(6 8)(6 8)]

(t (t

(t 6

6)

(t

(6 (

u)

2) s)) (t

2) f

(t (t t

6 + + - -

+ -

-

- .,

· - -

- -

- -

= -

.. ., - 8)

( (t

(t 8)6

(t (t

2) S (

(t a) 8)6

(tz) 6)

4) (t

(t f - 6)

2) f t

t

f + +

+ -

+ - -

- -

- - -

- -

- -

-

= ,

. , -

-

· ↓

↓

Id a I

e

↓ (t

b)d

(t 1)

+ - =

-

-da

~ ( (t

8)f 6)

t +

- -

-

2)

(t (t

2) e-a

2 2

+

= - -

- 6)

(t ↳

8)6

(t -

-

- ,

-

2)

(t 4 +

= (t 6)

- (t 2)S-

8 2 M

+ -

-

- ,

-

h)

(t (2)

+ 2))6

((t

= - (t

b) 6)

(

+ - -

-

-

↓ S

(t

S (t

2) 6)

6) [

(t 6) +

= =

- -,

- . ,

(t

4)

[(t (2(36 4)

+ =

- - ↑

, -da ↓ a

3)

(t (t

b)S b)

26 (t

+ -

= ,

=

-, - e

da

↑ La T

en

s

=

e 5

2

↳ .

+ M

& te

"

* +*

* ()

- te" -

+

(s) +

te +

+

~ 2

+ .

+

= e

)

+

= +

3

+

09/12/2022

del

Vedi 3

1

. . (numero

colonne

vettori O

Xno di al

base di 3 pari

presi come

.

2 = atogonali

mancanti quelli

vettori

Eventuali prendo

li

di 0 a

Largo .

già

che no Xno

Kalman

La decomposizione di solo

uguale

è uso

, raggiungibile

completamente

vintema

il

K x(k)

u/k)

(a) k

7 è

.

3 . se

-

: =

piend

IR ha zango

() piens)

(R Vedi

esiste

Se del

ha 06/05/2022

3

vango .

.

15/01/2024 (t) t

6 1)]

1)

[uilt)] (t

(t S.

2 (n

< S

V

i (s) . + =

= -

·

.

1 = -

..

11Xts

to

18

=

(t) 1)) 2(t"

S 1)]

(t (t

S

2(n S

.. +

= -

. -

.

..

-

i da ↓

L

2 = *

+e a) F(s)

f(t e

-

n (t)

S

im ,

1)]

(t

[d

↓ S

-

-, ↓ 2 1)

(1)))

(t (t

1) ((t 1)

2(t

) +

1

+

1 + -

=

+ -

-

-

Allora

1) 1)

J (t (t

(t f(t 1) 1)

16 -

1 2(t

+

+ . -

- - -

- ., 2

[2] 2

S (t)

(t) (t)

2t S

- -

.. L

↓

↓ L

↓ a e

-e

Ze t

+ es ~

-

s'e sh

ses

es s -

1) es 32

(s +

+ t

- -

Uz(s) 2)

- -

&C ets 5" (S

e' 1)

= -1)

~ 2

= (S-1)

.

2 5 S

e -

1)

S(s

52)e2

(53 -

- S e

-

site-s s

S

- = *

15 a) F(s)

f(t

(a e

+

f - sta

(t)

ets ..

et

siy "S

2)

e** S (t

1) 2)

(t +

+ - -

- ..

= -

:C- ]

si

2 - +

E R

1

F()) +

=

= - Si(S 1)

- -

-1) I

(s

fim =

Rc - -

= . -

525-1)

S - 1

ps 1)]/o

↓

-

So

R12 -

~

= sis -

.

R -st])

= se .

( (1) 1)

1)

0 - .

. -

1 ...

-

= (S 1)2

- s

stilsto I

1 :

= i

j

- t

+

= +

"La + da

da es G

e

(t

· (t

1)d 1)

1)

( (t (t

-1)

= +

(t)

S -

+( (t) - -

-

(t)

S ,

- ,

-

+ e ,

-

- -

Unico tutto : y

e

(t et

-

-

** (t

1)d 1)

1)

(t

d (t

1)

1)

(t

S + (t

S 2)

+ - +

- -

- ,

e -

- ,

-

- .. -

- .

e(t

(t

1) -(

(t (

1)d +

( )

+ -

+ +

- -

= , ,

-

-

vinto

Già

.

1 visto

Già

.

2 (SI-1)" Già visto

4(s) di

C poli

Studio

= i

.

3 . t W(S)

↑ t

(S)

Yg(s) c

e

4(s)

w(s) B . .

D

+

= =

- U(S)

W(s)

y(S) U(S)

4