Fondamenti di Automatica - Parte 1

Fondamenti di Automatica

Controllo: imporre un comportamento desiderato

Automatico: senza intervento umano

Esempio

• Orologio a campana (di Ctesibio)
• Incubatrice (Drebbel)
• Regolatore a pale (Watt)

Nel regolatore a sfere rotanti, con la velocità le sfere si allontanano per forza centrifuga. Il galleggiante sale e regola la quantità di vapore e conseguentemente la velocità.

Amplificatore a retroazione (Black)

Voglio comunicare il segnale a grande distanza, in una linea che attenua.

Viene amplificato anche il disturbo nelle amplificazioni successive. Riduciamo il rotore pur a ₁/_b, ottengo una copia del disturbo; essendo al disturbo lo togli. Il disturbo nella seconda amplificazione si picolo perché il segnale è piccolo.

Il problema è che nella realtà le variazioni di temperatura, invecchiamento dei componenti, e non funzionano bene.

Schema di compensazione del disturbo a retroazione di Black

Se g_b >> 1, amplissimo g ₁/_b, e si forma implicita piccola di retroazione.

Se esplicito y = g _u + d 1/₁/_{gb 4} + 4_{+gb}}

β è piccolo, amplificazione >> 1

Problema di Controllo

Elementi Fondamentali ciò che voglio controllare

Indichiamo il sistema con "P" o "M", u(t) segnale IN, y(t) segnale OUT

Esempio:

In un sistema termico T(t) temperatura P(t) potenza. Variabili in funzione di t.

Vediamo quindi quali è la causa e quale l'effetto?

La potenza è la causa u(t), la temperatura è l'effetto y(t)

|y(t) = A_Ly(t)| relazione lineare non vale quasi mai. È un sistema statico, l'effetto è rimasto nello stesso istante t.

Formulazione del Problema di Controllo

Determinare il valore di y_c (controllo) così che l'uscita di y risulta prossimo a y^o qualunque sia il valore di variabili indipendenti-incerte q

Non conosco esattamente tutte le cause, la potenza è una causa manipolabile, e altre non conosco il comportamento e non posso modificarle.

q ingresso non manipolabile

u ingresso manipolabile

Posso misurare q e agire in base al suo valore.

Esempio:

Nel riscaldamento centralizzato misura la temperatura esterna e regola in base a quella l'accensione e lo spegnimento caldaia.

Anello aperto quindi non considera l'uscita.

Effettua una misura anche sull'uscita.

Posso evitare il controllo sull'uscita ma anche se ci fosse fanno ben M non è dato di avere sempre il stesso effetto.

Misurando e correggendo ho un risultato migliore

Sensori: strumenti di misura

Attuatori: strumenti di manipolazione

̄X = [0 1 0] X(t) + [0] u(t) 0 0 1 0 0 0 0 1/m₁

Form Compta

L'insieme delle due equazioni si dice come EVOIVE lo stato. E' una funzione completa, l'uscita è solo sulla componente.

Non potrai usare solo y(t) = L(t → ∞ t) perché avere un sistema, do solo non troleo svrelato a funzione di ingresso i uscita, e te dificili lettura.

Esempi: Circuito Elettrico

V_R = V_L2 = V_L1

j_R = R x j_R

I = i_R = i_L + i_R

j_C = 1/C

V_C = V_R

State del sistema

x(t) = [V_R(t)]

[-I](t)

x₂ = 1/L x₁(t) - x₂(t)

j(t) - x₁(t)

Per avere g(t) V ≥ t₀, Dove u(t) V ≥ t₀

x(t) = [x₂(t)]

[x₁(t)]

Proprietà

Linearità

c₁f₁(t) + c₂f₂(t) → c₁F₁(s) + c₂F₂(s)

Traslazione nel dominio del tempo

L{f(t-a)1(t-a)} = e^-asF(s) a > 0

Proprietà traslazione nel dominio della frequenza

L{f(t)e^at} = F(s-a)

Derivata nel dominio del tempo

L{df(t)/dt} = sF(s) - f(0^-)

Integrale

L{∫ f(t)dt} = F(s)/s

L{f(t)*F(s)} L{g(t)} G(s)

f*g(t) = ∫ f(a)g(t-a)da = ∫ g(a)f(t-a)da

L{f(t)g(t)} = F(s)G(s)

Teorema del valore finale

lim_t→+∞ f(t) = lim_s→0 sF(s)

Esempio:

f(t) = e^-3t1(t)

F(s) = 1/(s+3)

lim_s→0 sF(s) = lim_s→0 s/(s+3) = 0

SISTEMI LINEARI I/S/O LTI

x(t) = Ax + Bu y = Cx + Du

x(s) = (sI-A)^-1 x₀ + (sI-A)^-1 BU(s) y(s) = C(sI-A)^-1 x₀ + [C(sI-A)^-1 B + D] U(s)

G(s) = C(sI-A)^-1B + D È un operatore dei polinomi

SISTEMI LINEARI I/U LTI

a_ny⁽ⁿ⁾(t) + a_n-1y^(n-1)(t) + ... + a₁y(t) = b₀u(t) + b₁u⁽¹⁾(t) + ... Y(s) = L{y(t)} L[y] = y(s)

Stato iniziale y₀ = 0 possimo ora C(s) = Y(s)/U(s) = ... Ci permette di trovare ecc.

G(s) = Y(s)/U(s) = C(sI-A)^-1B + D

PROPRIETÀ della Funzione di Trasferimento (F.d.T)

• Non dipende dal particolare ingresso u(t) utilizzato
• Non dipende dallo stato dello stato x(t), poichè potrta cambiare costantemente, questo non puo cambiare
• G(s) = c caratteristica del sistema

● Caso λ ∈ ℂ λ = σ + jω

Re{λ} < 0

m = 0

m = 1

m = 2

Re{λ} = 0

Re{λ} > 0

Il moto inerziale t^me^λt è convergente se il lim_t→∞ t^me^λt = 0

è limitato se Re{σ} < 0 t.c. |t^me^λt| < c ∀t ≥ 0

Non limitato altrimenti.

Un moto inerziale è CONVERGENTE se Re{σ} < 0, è LIMITATO ↔ ∃c

se Re{σ} = 0 e m = 0 con molteplicità algebraica = 1.

STABILITÀ

\(\bar{X}(t) = \psi(t, K_0, \bar{u}) \quad \bar{X}(t)\) - traiettoria nominale

Studiamo le perturbazioni di \(\bar{X}(t)\) (infatti non sempre possiamo partire in esperienza con

le stesse condizioni iniziali)

• Perturbazione di K₀
• u(t)
• dei sistemi stessi (stabilità strutturale)

SISTEMI LT

Uso sovrapposizione degli effetti

X(t) = \(\varphi(t, \bar{x}_0, \bar{u}) + \varphi(t, \Delta x_0, 0) + \varphi(t, 0, \Delta u)\)

\(\bar{X}(t)\)

effetto di Δx₀ effetto di Δu

1. L'andamento delle perturbazioni è UNIVERSALE in corrispondenza di \(\bar{X}(t)\)
2. è una CARATTERISTICA del sistema

se un sistema lineare vale che se è attrattivo è anche stabile, cioè non è vero

per sistemi non lineari.

Consideriamo la stabilità (punto 1.

Nel caso di un sistema LTI = TC questo equivale a dire che comunque io scelga

     ∆x₀ con ||∆x₀|| ≤ δ ho || e^At ∆x₀|| ≤ ε     ∀ t ≥ 0   ∃T ||T e^Dt T^-1 ∆x₀|| ≤ ε     ∀ t ≥ 0

Quindi per un sistema marginalmente stabile ∃ T invertibile t.c.

A= T D T^-1    D= (

       λ₁t    00     λ_nt)

molticò significa uguale e questo giustifica;

e^Dt = (

       λ¹t   0        e^t        0 )

per sistem MARGINALMENTE STABILE posso ottenere K= ||T|| ||T^-1|| ed ottengo||e^∆At ∆x₀|| = ||T e^Dt T^-1σ=||e^∆Dt e^2t

Che succede se il sistema non è marginalmente stabile?λ non è verificata se ho un λ t.c. R [λ] > 0Perché ho un percorrioni e^at che è divergenteesempio:A = ( -1 0       0 -1 )

Lineare ogni MOTO goda delle stesse proprietà

Per sistemi NON LINEARI NON valgono le considerazioni faile in precedenza. In particolarnon si può parlare di stabilità bel sistema quindi diversi mot staure diverse proprietà.

Inoltre non vel che Attrattività => Stabilità.