Fondamenti di automatica

Fondamenti di Automatica

Riassunto Teoria

Fondamenti di Automatica

Riassunto Teoria

OSSERVABILITA'

• Proprietà che l'influenz._ta l'uscita
• si occupa di A 1

RAGGIUNGIBILITA'

• Proprietà, le cu. armonica può essere isolata
• si occupa di B

RISPOSTA LIBERA DELL'USCITA

ye = C e^At X₀ = C X₀ + CAt X₀ + CA² t² X₀ + CA³ t³ X₀ +...

Sviluppo in serie di ^1o modo naturale

OSSERVABILE

RISPOSTA LIBERA DELLO STATO (SISTEMA)

X_e(t) = e^At

X₀= X₀ + AT X₀ + A² t² X₀ + A^{3 3} X₀

1 OSSERVABILE

¹ non osserv. influenza l'uscita

A non influenzano l'uscita

modo naturale _λ1 = -1

dotato della soluzione dello sviluppo in serie

SYS

• Può essere che parte di esso non dia contributo all'uscita
• detto modi naturali non osserv. autovalori associati non osserv.

- SYS OSS. Se tutti gli autovalori sono osservabili

- SE NON OSS. E' INSTABILE IL SYS INTERO NON E' STABILIZZABILE

SE NON POSSIAMO MISURARLO DELL'Uscita NON POSSIMAO CONTROLLARLO

MODO NATURALI

INSTABILI

(valore > 0 per t →00)

SottoSYS instabile

sys

Da Matrici a EQ di differenziali

A = (3 1 4 -2) B = (1/3 _u1 _u)

(1 -1)

(y) C = (1 -1)

Impianto

• _x'₁ = 3 x₁ + 1 x₂ + 1/3 und
• _x'₂ = 4 x₁ -2 x₂
• Y = 1 x₁ - 1 X₂

X(0) =X₀

Condizione iniziale

Proprietà Matrici

si può moltiplicare rigo x colonna se

m x colonna rigo

1. inverto elementi diagon. princip.
2. cambio segno diagon. second.
3. divido x il det.

se mon diagonale-triang. M. triang. sup. M. triang. inf.

il diagramma a blocchi

uso x determinate le parti oe

Forma Canonica Osservabile

vettore di stato N.B

l’uscita dipende solo dalla parte oss

Osservabilità

in uscita -> non potremmo vedere una parte della dinamica -> cioè alcuni modi naturali che caratterizzano la risposta libera del sys.

Raggiungibilità

Attraverso il forzamento (immesso) u possiamo non raggiungere (eccitare) uno dei modi naturali.

X_g = ∫(A(t-τ) + B(u(τ)))dτ -> integrale di convoluzione

Forma Canonica Raggiungibile

x mettere in risolto le proprietà di R e R

- matrice trasformazione sup -

∀ matrice A, B, C ∃ una T_R ∈ R^r×m nonsingolare t.c.:

A_g = T_e · A · T_e^-1 = (_Ae x (_Ae A_g

B_e = T_e · B

parte RAGG parte non RAGG

C_R = C · T_e^-1

Spazio di stato in 2 parti:

• x̅ = (x̅_e x̅_i)

x̅̇ = A_e x_e + A₂ x_i + b_e u

∀ matrice A, B, C ∃ una Te → immesso il contributo delle armoniche

y = C_e x_e + C₂ x_i

X _g = C(t-τ) -∫ - condizione iniziale

Se il sys e' in forma canonica OSS e' facile identificare sottosys OSS e non OSS

σ{A} = σ{A₂} ∪ σ{A_E}

Se μ=r=m → il sys. si dice raggiungibile

Esempio

• A= ⎛1 2 0⎞
• B= ⎛1⎞ (0)
• C= (1 1 ⎠0)
• X = ⎛X₁⎞
• (X₂)
• 0

Se il sys è in forma canonica Raggi è facile identificare sottosys Raggi e non Raggi.

1. Individuo blocco nullo in B lontano in A con la linea orizzontale
2. Trovo blocco il blocco nullo in A e riporto linea verticale in C

Suppon sottosys _R e _R̅

λ ^{(I 0)}_{(0 I)}= ^{(I 0)}_{(0 λ)}

6∪ autovalori multipli:> sono sulle diagonale principale

1. Matrici diagonali triangolari

oppure det(I - A) = |I - A|

Sistemi_{S R} = {A₁₁