Fondamenti di Automatica

Introduzione

Automatica, teoria e recupero dei carichi automatici

• Automatismi
• Controllo numerico strumentale
• Regolazione
• Intervento sanitario

Retroazione (feedback)

• Autorità, controllo
• Modifica del comportamento se necessario

• Oculopia da alcune (metabolic-l.) prima reazione chimica
• 1937 odvov Amplificatore a retroazione negativa
• 1940-1955 Periodo classico dei calcolatori
• 1951-1957 Studi di Maxwell, studi sulla stabilità dei regolatori
• 1942 Teoria di Nyquist sulla stabilità dei sistemi non lineari
• Inizi anni '60 Primi nuovomodi dei controlli (computer)

Amplificatore a retroazione di Black

• Per aiutare a risolvere il problema della distorione

La catena di amplificazione deve essere colorata con un intero

p = p₇

abbiamo

q(8.7) = -_w

- 7 m

- p

γ_θβ

formula implicita

y - βpβ - 9 ... + α

y - βpβ - y - 1 + qβα

formula esplicita

... q...a..

angla

attunica

(1.A)

attenica di p

alla attunica p_u a astucia NON dipenda da p

p

fattore ai attunica = retroazione

problema del controllo

1. sistema processo o almeno dono causalo
2. almeno matematicare e piccolo blancato
• astazia
• filografia
• comune
3. variabile dipendono o ai inversa variabili ai
• astasia e variabile dirette

variabile servindo a

interina

la mai porzione cautivale (es. temp. est.)

potoria

4. variabile dipendono o ai indica variabile astatica e variabili inflazione
5. variabili di riferimento

carico di carico,

cottapamento che

vorrerio importre

possono anche mai essere costante

μ p q γ^°

y^°

γ

M

• v &rsector; variabili eleteor
• variabili ai estativo
• variabili cistavalite (pensiamo anche i variabili)
• variabile di riferimento

• causali o non causali

• imputato causa
• modifica effetto

• nella sequenza fisica sono sempre causali ma mai in quella matematica

• scalari (SISO) o multivariabili (MIMO)

• single input
• single output
• multiple input
• multiple output

controllo livello serbatoio

n [m] dipende dal tempo

q_u (kg/s) o (m₃/s)

q_u

μ* = settico

V olio calcolato in uscita [m³]

A_i = sezione superiore

a_i = differenza tra valvola e ingresso

MODELLO DEL SERBATOIO

• principio di conservazione della massa
• assenza attrito alle pareti

principio di conservazione della massa

partiamo di conservazione del volume

dV - q_i(t) = q_u(t)

dV = A_i^-1

V_u(t) = f(n(t))

ẋ(t) = 1/C v̇_L(t), v̇_L(t) = s/RC v_C(t) v̇_C(t) = x₂(t) v_C(t) = x

ẋ = x₁ ẋ₁ = x₂

ẋ - s/RC x - s/RC x₁ - s/RC x₂ - s/RC x₃

y(t) = n^T x(t), u(t)

ẋ = A x + Bu cioè β_c, t_c x + β_c,

espressione campione è esplicitamente dal

U’altra scelta corretta sarebbe fatta

verificare calcoli più semplici

minore elaborazione campionare a rate i campionare

regola scelta stato

1. circuiti elettrici: corrente sulle induttanze

2. circuiti meccanici: potenziali (es posizionale),

velocità (es cinematici)

3. circuiti termici: composizione

4. circuiti idraulici: pressione potenze

DO ai x e x e(t), e x(t), a

C1 ai circuiti aiena al

ipo tal prima trasformatore

RICHIAMI LINEARI FINITO-DIMENSIONALI

ad uscita in y(t) - u(t),

e le insiemi dei campi

il insieme dei campi ai processi

il insieme dei valori attuali di un processo

calcolo da piccola da t_ini, poi

Per calcolare

A) [..] (da qui necessaria)

h₁₂ [..] formula qualsiasi vale una proprietà

[...] per glob. [1, N-1]

Sistemi lineari finito dimensionali

• u, y, x auto-spazi vettoriali
• t₀ auto-estriche giurio
• In la dimensionale del sistema

A(t_ini) = [...]x

A(t_fin) = λ

x_fin, [...], u(t)

Nel caso TD

• {[...]} si vale una differenza
• equazioni differenze

er valco a 0 propriesco ai simmetrico t∈[t₀]

Nel caso TD

• S(t=t₀)= A[t]x(t)+ B(t)u(t)
• C(t)= C(t)x(t)+ D(t)u(t)

{eq. qua differenze

nel avanti}

anti-trasformata funzioni razionali

F(s) funzione razionale

f(s) = Q(s) / P(s)

Pi radici distinte di P(s)

P(s) = (s - a_i)^u_i

Dobbiamo determinare f(s) tale che

α(F(s)) = F(s)(s)

• f(s) = Q(s) / (s - a_i)^u_i + Σ k_i / (s + a_i)
• ki = min k (1 - pai) F(s)

F(s) = (s + a) / ((s + a)²)

• Q(s) = 1 + s
• F(s) = k₁ / 1 + s + k₂

f(s) = lim (s + a) F(s)

f(s) = - (t - a)²

φ(t) = e^{A t} , c_J = (d · 1, A · t)_{J | s} app (d · 1, A ) = c_I (d · 1, A)

def (d · 1, A)

λ₁, λ₂ … λ_n i radici del polinomio caratteristico di

A con i d.p.(A)

A = A_c + ∑ λ_j I_j , con A_j di d.p(A)

Δt ≤ M| ∑ |h_ij(t)| |x⁽ⁱ⁾(t)|

x⁽ⁱ⁾(t) di funzioni numeratori ∑ al ^= j |h_ij(t)| Δ|

nom numerati

Nei caso di autovalori i con molteplicità mi

∑( j = 1 )ⁿ M(i,j) | x^(j) (t) |

[ j ≠ 1 I_j ] + | I [ j ≠ I_m ]

V_λi una combinazione lineare di termini | λi ċ t + λi ċ ^{(… … …) &sup> i va i λ j c ∩}

∑ⁿ<j <s+1>> M(j,j) ∑/

Evoluzione libera

Nel dominio della variabile t, nel

( x(t) · e^tA | x(0) ) → x(t) = e^tA x(0) )

Introduciamo il cambio di coordinata (la A = diagonalizzabile).

z= T x n0

z ∩( j → lt |⊂(Q)A,T

Δ t = 3 : x+(1_p+1

x( t )

uz |∩

dunque x( t ) | app ( d_{( … , i … , s )} ) x(0)

t (= , 1 < br > d

T x( t ) = x(0) )

∑ ∑ …

-z == diag( M ) &=> ∑∩,|x| x(i+1)0

se ricerca iniziale ai cappotaggio quindi , coincide inverse un[^{imposta leci},

x(t) = ∑

proprietà C.d.T

• Non dipende dal segnale sui ingressi u(t).
• Non dipende nulla dello stato x(t)
• È una caratteristica del sistema.

Esempio

INTEGRALE

• x(t) = ∫ u(t)
• y(t) = x(t)

• a = 0
• b = 1/d

G(s) = C(sI-A)^-1 * B + D = 1/s

Riescosione la rappresentazione I/0

 y(t) = u(t) ⟺ a₀y(t) + ... = b₀u(t) + ...

a₀ = 1

• a₁ = 0
• b₀ = 0

G(s) = 1/(a₀+b₀)

y_p(t) ≡ y(t)  aperiore per l'corispondia

ESEMPIO DOPPIO INTEGRATORE (u = 2)

• x₁(t) = x₂(t)
• x₂(t) = u(t)
• y(t) = x₁(t)

• A = [0 1]
• B = [0 1/d]

prima eq. di stato

• C = [1 0]
• D = 0

G(s) = C(sI-A)^-1 * B + D

• (sI-A) = [s -1]

(sI-A)^-1 = adj(sI-A) / det(sI-A)

• adj = [s 1]

G(s) = [1 0][s 1][0]= 1/s²