Fondamenti di automatica

TEORIA DI

FONDAMENTI DI

AUTOMATICA

Modelli di stato

Ingresso u(t) ed uscita y(t) sono legati da una coppia di equazioni

x(t) = f(x(t), u(t))

y = h(x(t), u(t))

dove x(t) è un vettore puntato ad n₀ Feur*°+6

Sistemi lineari

ẋ = Ax + bu

y = cx + du

Le componenti del mio vettore di stato x(t) dipendono dal problema, e in particolare scegliamo come var. di stato:

• in sistemi elettrici: tutte le correnti che attraversano le L, e tutte le tensioni ai capi dei condensatori;
• in sistemi meccanici: tutte le posizioni e tutte le velocità dalla massa in gioco; se il corpo è in rotazione prendo le posizioni e le velocità angolari;
• in sistemi termici: c: l'esistenza di tutte le T dei componenti.

Siccome la mia ẋ è la derivata dalla singola comp. di x(t), e vita ricavarda puelle deriv. dalle forme fisiche:

V_C = 1/C i_C

i_L = 1/L V_L

V_R = R i_R

Equazioni dell'astronomico, e ai ceingio

1. Se ho un nodo del tipo allora i₁ - i₂ - i₃ = 0

Quindi scelgo le variabili, le decivo e furlu in che devo scrivano in funzione di X₁... X_m ed u.

Quindi se per esempio ho x_1̇ = dx₁ + βx₂ + &

x_2̇ = βx₁

Altre formu* fisiche da ricandum:

y posizione → ẏ = velocitä

y velocitä → ẏ = accellerazione = T_TOT/M

θ postene angolare → θ ̇= velocitä englure

ωi velocitä angolare → ω = acc. angolare = T - J ̇ω̇

Analisi della funzione di trasferimento W(s)

Andiamo ad analizzare W(s) = c (sI - A)^-1 b + d.

Voglio capire cos’è il termine (sI - A)^-1, dunque prima noto che (sI - A)^-1 = Adj (sI - A) / det (sI - A) dove sopra ho un polinomio dando molteplice riga di (sI - A)^-1 b = N(s) polinomio di grado m dell’A. Dunque posso riscrivere W(s) = N(s) / d + d e potrò vedere che W(s) è una funzione razionale.

FUNZIONI RAZIONALI

Una funzione razionale è una qualunque funzione di può essere espressa come rapporto di polinomi. W(s) = (N(s) / D(s)) = (N(s) / d ps) / (D(s) / d) Diciamo che W(s) è coprima se N e D non hanno zeri comuni.

Zeri e poli

Z si dice zero di una funzione razionale se annulla il numeratore di una sua rappresentazione compatta, e si dice polo di una funzione razionale se annulla il denominatore. Inoltre, il grado ridotto re di f è il numero re(f) = deg [xef] - deg [N]. Dunque se prendo la forma W(s) = N(s) + d r(s) / D(s) chi sono i poli? I poli di W(s) sono gli zeri del polinomio caratteristico che non si concilia con il numeratore. Essendo gli zeri di pi(s) autovalori di A, allora significa che l’insieme dei poli di W è un sottoinsieme dello spettro di A. Quindi lo spettro contiene i poli di W(s).

Ripasso matrici

232311201=311312=17469

1^a colonna molteplice 1^o riga = somma di prodotti e ottengo un num. in Q₂₁ poi lo ripeto per le altre1^a “ x 2^a riga = il numero in pos. Q₂₁1^a “ x 3^a riga = “ “ “ Q₃₁

• Risposta indicale sistemi ordine (poli complessi)

H(s) = K piano di analizzare la propria impulsiva, rappresentato la coppia di poli: ( ï₂ + 1 -o)omega_n(1 -ï₂) omega_d = omega_n radic(e-ï₂)¹

punite: y(t) H(ï) e arcos (H) t = 0_d

Caratteristiche risposta involicale

Facciamo reiferuto ad un sistema chiave, H(ï)Vediamo di tipo rife della:

g(t) = H(ï)

g(t) = H(ï)

Cerco chiave della ito ando lo tripico risposta:H(s) = K¹ radic^rad1 -2₂

Caratteristiche risposta indiriale

H(s)

• e suono uno della della delle uno destra ono

Adesso e ratodo allo specidico pare 3 caratteristiche

da di la quto contrarioH(ï)

tau_{1 t} tempo di redditot

Risposta in frequenza

Supporre di avere un sistema con funzione di trasferimento e di dare un ingresso sinusoidale.

Supporre W(s) BIBO con ingresso sinusoidale così si dedica A=sen(wt+ϕ) |A|.

Che succede all'uscita in regime?

Si dice che l'uscita in regime è:

lim_t→∞[y(t)-Msen(wt+ϕ+θ)] = 0

dove M=|W(jω)| ed θ=Arg[W(jω)].

Quindi guardando il limite, esso mi dice che y_d(t) tenda ad un sinusoidale di frequenza ω

Perciò M e θ caratterizzano perman a risposta.

La parte perman, M a(t)fa cosa: M cos(ωt + ϕ + θ), si dedica uscita e importo o uscita di regere perman c.

Uscita fondda

Se ossia uscita di un prodotto (cosa già visto) come già visto per

.

Se per esempio ho u(t)=Δ(t)ε dθ cos(ωt), Y=uscita e Y_d- L'uscita dovuta e M e

come visto Y_d=W(ω),

e' uscita davanti e di

.

Inoltre L errore di regime perman E=Wy_φ-Wd

sore le stesse cone n è non il meno diante;

IN OGNI ES. CON E E OGNI ES CON Y_d DEVO VERIFICARE LA BIBO!

Ogni volta che con un sin giorno sinusoidale, e poi considero y o e, dovo considerare che

in corrispondenza ad un singola sinusoidale, la importo e L errore di moltiplicatore ridole a Msi dljGyGW...

Dunque se y=y_d+

Storia identica con l'errore Errore Eyo + Ed , considero soppartemante Eyo e Ed; ;

Small gain theorem, high gain theorem

Considero un sistema a catena chiusa.

Small gain theorem

Se in un sistema G BIBO stabile, e lo controllo con un controllore proporzionale K, la catena chiusa sarà BIBO per valori sufficientemente piccoli del guadagno: |W(s)| < KN. Vedo che per valori piccoli di K, alcuni dei i poli di W(s) cioè alcuni zeri di D+KN, saranno intorno **D+KN**

altre di W(s) si spostano di poco rispetto agli zeri di D che sono a sx per ipotesi.

High gain theorem

Considero la catena chiusa sopra disegnata: se N(G) Hurwitziana e se vale almeno una delle 3:

• m-m = 0 ** se i poli tendono tutti agli zeri ** N(G) visti da K piccolo, di cui tutti a sx per ipotesi
• m-m = 2 ** un numero di dispari e di zeri di N(G) e K grandi per ipotesi come sopra
• m-m = 2
• < 0

allora esiste M tale che la catena chiusa è BIBO per ogni K > M. Cioè per valori suff. grandi, la catena è BIBO.

Progetto di C(s)

Tramite ad anello chiuso di zp, puoi progettare K, puoi controllare C(s) puramente proporzionale.

Se va tutto bene, riesco a progettare un tale K, volendo faccio stare tutti i poli in zone di reattività quella buona fai.

A volte puoi non riuscire a spostare i poli in prima regione evitando solo K.

Dovrei quindi modificare la struttura del controllore C(s), aggiungendo poli e zeri.

Per farlo, dovrei prendere il luogo delle radici di: come un insieme di linee di campo elettrico, generato da cariche positive dove ho le crocette, le cariche negative dove ho i pallini.

Dunque il luogo delle radici che vedo come un luogo di linee di campo, che vengono attirate dai pallini e respinte dalle crocette. Ecco che in modo ci sono dove mettere i poli e zeri opportuni del controllore.

Più gli zeri attirano il luogo, più lo respingono, posso usare più zeri per alterare il luogo e regolare funzione desiderata.

NOTA BENE: non posso piantare solo zeri, dovrò aggiungere anche poli, me le metto a sx lontani, in modo che ci sono e non ci facciano.

Se ci dovessero chieders: C tale che ts < 2,3 che di ts < 4,6 perciò d=2 e =2 dunque

devo avere dei poli a sx di -2. Come soddisfo questa cosa? Potrei spostarli facendo variare N(s) quindi più zeri, da testi dovrebbero. Oppure considerando anche G, se G ha dei poli al Num, ci siano più e

tornare nel tal ordine ^abbastanza infilo basta avere N BIBO, dove N = prodotto tra i R+ num di C e G,

Quindi più oli N: G in più poli; at C:?

Metto poli a sx di -2 e poi ci ù

m-m = 0 Così progetto ti numeriche di C: tale che per k piccoli sono a sx anche -2. Per verificato,

devo vedere che _{Pol(i e plurimi)} di Hurwitz, per quei K grandi.

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