Fondamenti di automatica

Teoria di fondamenti di automatica

Modelli di stato

L'ingresso u(t) e l'uscita y(t) sono legati da una coppia di equazioni:

x(t) = f(x(t), u(t))
y = h(x(t), u(t))

dove x(t) è un vettore puntato per avere più componenti. In particolare, noi considereremo sistemi lineari che posso descrivere con un altro modo:

ẋ = Ax + bu
y = Cx + du

Le componenti del mio vettore di stato x(t) dipendono dal problema e in particolare sostengono come vari di stato:

• In sistemi elettrici: tutte le correnti che attraversano le L, e tutte le tensioni ai capi dei condensatori;
• In sistemi meccanici: tutte le posizioni e tutte le velocità della massa in gioco; se il corpo è in rotazione, prendo le posizioni o velocità angolari;
• In sistemi termici: le temperature e T dei componenti.

Scriviamo la mia ẋ che è la derivata della singola comp di x(t), e utilizzerò parole deriv. dalle formule fisiche:

V_C = 1/C ∫ i_C
i_L = 1/L ∫ V_L
V_R = R·i_R

Equazioni dell'atomica

A cui aggiungo due principi:

1. Se ho un nodo del tipo ∑ A = ∑ A ottiene i₁ - i₂ - i₃ = 0
2. Se ho una maglia, faccio la conversazione per le tensioni e poi le sommo in senso orario o antiorario, prendendo positive quelle del momento con il p¹ ed al primo esterno.

Quindi scelgo le variabili, le deduce e formo d/dt [x₁ x₂] che devo scrivere in funzione di x₁ … x_m ed u.

Quindi se per esempio ho ẋ₁ = dx + βx + δu + ẋ₂ = δx
ẋ = Ax + bu ⟹ ẋ_i ⟹ | α β | x + | δ | u ⟹ ẋ_i
ẋ_i ⟹ | 0 0 | ⟹ ẋ_i

Altre formule fisiche da ricordare

y posizione ⟹ 𝜐 = velocità
v velocità ⟹ 𝜖 = accelerazione = F_tot/m
θ posizione angolare ⟹ 𝜙 = velocità angolare
ω = velocità angolare ⟹ ω = acc. angolare e τ - J𝜙 = ω
Infatti, ω = J/F_tot dove J è il momento di inerzia e τ il momento torante.

Linearizzazione

Vogliamo linearizzare i sistemi che hanno, per esempio, salti o cammi, e trovarla attorno dei punti di equilibrio.

Punti di equilibrio

Tre vettore x_t è soluzione di equilibrio per il sistema, quando dato un ingresso u_eq costante, se quando il sistema ha condizioni iniziali x_t tale, evolverà nel tempo proprio x_t. Cioè se f(x_eq, u_eq) è tale coppia (x_eq, u_eq) esiste punto di equilibrio, essendo per g(h,x_u), definiamo uscita di equilibrio. Come si trova x_eq? Impongo analisi delle equazioni φ(x,ẋ) = 0 per risolvere, da cui x₁, … x_m trovati saranno x_eq in component: ẋ(t) stato di equilibrio. Quindi:

ẋ = stato di eq ⇔ Aẋ + Bẋ = 0

Prove:
Se Ai è invertibile, cioè detA ≠ 0 allora esiste x_eq = A^-1Bẋ.
Se non è invertibile: cioè detA = 0 posso avere due casi:

• Ho soluzioni infinite se b_i ∈ Imma A dove Imma f è lo spazio generato dalle colonne di A.
• Nessuna soluzione se b_i ∉ Imma A.

Noto per altro le punto (x_t, 0, 0) è punto di equilibrio per qualsiasi sistema lineare, per qualsiasi A e b.

Linearizzare rispetto ai punti di equilibrio

Per farlo, dobbiamo introdurre i segnali differenza: dato punto Δx = x - x_t Δu... (continua)