Fondamenti di Automatica

Problema di controllo

Un processo si deve comportare in modo prevedibile agendo opportunamente sulle variabili a disposizione che ne influenzano il comportamento.

L'andamento viene determinato da un "controllore o regolatore".

Più formalmente: il problema di controllo è imporre che l'andamento nel tempo di alcune variabili di processo (controllate sono funzioni del tempo) sia il più possibile simile a quella di alcune variabili assegnate (riferimento o set-point) agendo su altre variabili (manipolabili o di controllo).

Esempio: auto in piano: controllo di velocità e traiettoria.

• Traiettoria: si impone posizione agendo su velocità
• Velocità: si impone velocità agendo su acceleratore

Disturbo: è una variabile non manipolabile che agisce sul processo dall'esterno e che non può essere misurata. Esempio: pendenze stradali.

Il controllo deve essere efficace in presenza di disturbi.

Classificazione controller

• Naturali: il processo è dotato di un meccanismo di auto-regolazione
• Artificiali: il processo è inserito in sistema di processo
  • Manuali: esercizio dell'uomo
  • Automatici

Controlli Automatici, esempi:

• CLIMATIZZAZIONE
  • temperatura ambiente - variabile controllata
  • temperatura desiderata - variabile di riferimento
  • splitter - variabili di controllo
  • temperature esterne, isolazione - disturbi

Automatico: sviluppo di metodi quanto più possibile indipendenti del contesto applicativo

SISTEMA REALE → leggi costitutive

MODELLO MATEMATICO _{(+problema dinamico)} → teoria dei sistemi

PROGETTARE CONTROLLER → controlli automatici

REALIZZAZIONE CONTROLLER E INTERFACCIA

Classificazione controller

• Amello aperto (feedforward): il controller usa solo il set point ed, eventualmente, il disturbo
• Amello chiuso (retroazione) (feedback): utilizza il set point e le variabili di controllo

Confronto

• A.A
• A.C.
• Riserva variabili controller: NON RICHIESTA, NECESSARIA
• Robustezza: bassa, alta
• Reiezione disturbi: bassa, alta

Esempio: Controllo testa di un braccio robot

τ = coppia

Ogni giunto ha 2 g.d.l.

L'end effector si può muovere in 3D

Obiettivo: movimento con (X_d(t), Y_d(t), Z_d(t)) set-point

Variabili controllate: x, y, z non sono misurabili. Problema

Di controllo: τ₁, τ₂, τ₃

Misurate: θ₁, θ₂, θ₃ uso gli encoders

Per risolvere il problema passo da x_d, y_d, z_d con la cinematica inversa

Sistemi dinamici

le delle variabili di ingresso e di uscita

• ingressi u₁(t) ∈ ℝ ... u_m(t) ∈ ℝ, m n° di ingressi
• uscite y₁ ∈ ℝ ... y_p ∈ ℝ, p n° di uscite

Osservazioni

• Ingressi/uscite = interfaccia con il mondo
• Ingressi = cause, uscite = effetti ; possono essere
• Ingressi Afflussi, uscite efflussi (non necessariamente)

Basta conoscere gli ingressi in un intervallo per calcolare le uscite? In generale NO, es.

condensatore

_{i = c dv/dc}

x₁ = v

Variabili di Stato (o stati)

variabili del processo la cui conoscenza all’istante t, unita a quella degli ingressi tra t₀ e t, permette di calcolare y₁ ... y_p

• stati : x₁(t) ∈ ℝ ... x_n(t) ∈ ℝ, n n° di stati

Equazioni di Stato

Insieme di equazioni differenziali del primo ordine

ẋ₁(t) = f₁( x₁(t), ... x_n(t), u₁(t), ... u_m(t), t)

• insieme stati
• dati t₀ e assegnare gli stati in _x0 per avere gli stati per t > t₀

LTI SISO 2^o ordine strettamente proprio

ẋ = Ax + Bu Y = Cx + Du A = -1/RC   B = 1/RC D = 0   C = 1

Sistemi meccanici M.A.S.A.

u = F   ingresso Y = x   uscita Stato: x₁ = x, x₂ = v ẋ₁ = x₂ ẋ₂ = -K/M x₁ - d/M x₂

Sistemi dinamico

ẋ₁ = x₂ ẋ₂ = -K/M x₁ - 0/M x₂ + u/M Y = x₁

LTI SISO 2^o ordine strettamente proprio

ẋ = Ax + Bu Y = Cx + Bu D = 0   C = [A = [0 1][-K/M -d/M] B = u [0 1/M]

ẋ = 0 perché x̄ è costante

Sviluppiamo f e g nelle loro approssimazioni di Taylor del 1° ordine attorno a (x̄, ū)

δx(t) = f(x̄, ū) + ∂f/∂x |_{(x̄, ū)} δx(t) + ∂f/∂u |_{(x̄, ū)} δu(t)

δy(t) = g(x̄, ū) + ∂g/∂x |_{(x̄, ū)} δx(t) + ∂g/∂u |_{(x̄, ū)} δu(t)

Notazione Jacobiana:

se f(x, u): ℝ^m→ℝⁿ , ∂f/∂x |_{(x̄, ū)}

[ ∂f₁/∂x₁ ... ∂f₁/∂xₘ ]

[ ... ... ]

[ ∂fₙ/∂x₁ ... ∂fₙ/∂xₘ ]

Analogamente per gli altri Jacobiani

∂f/∂u |_{(x̄, ū)} [ ∂f₁/∂u₁ ... ∂f₁/∂uₘ ]

[ ... ... ]

[ ∂fₙ/∂u₁ ... ∂fₙ/∂uₘ ]

poniamo A = ∂f/∂x |_{(x̄, ū)} B = ∂f/∂u |_{(x̄, ū)}

C = ∂g/∂x |_{(x̄, ū)} D = ∂g/∂u |_{(x̄, ū)}

Ricordando che f(x̄, ū) = 0 e ȳ = g(x̄, ū) si ottiene

• δx(t) = A δx(t) + B δu(t)
• δy(t) = C δx(t) + D δu(t)
• δg(t) = δx₀

Def ȳ_L : ȳ_L è il sistema linearizzato da NL e NLZ

ottenuto dell'equilibrio (x̄, ū)

a: _{ε δ} esiste anche δ = ε

• a e asintoticamente stabile

b: _{ε b}

• b is instabile; ∀ x ∈ (b, c) e stabile

c: _{c ε}

• c e stabile ⟹ ∀ x ∈ (b, c] e stable

d: _{d ε}

• d e instabile

Esempio

λ_i semplice.

• λ_i ∈ ℝ ← e^λ_it

λ = ξ_i + jω

Im λ_i

Forte dell'inviluppo

Frequenza della pulsazione

Lemma

• Se Re(λ_i) < 0, tutti i modi associati a λ sono infinitesimi per t→∞
• Se Re(λ_i) > 0, tutti i modi associati a λ sono illimitati.
• Se Re(λ_i) = 0 e n_i = ∀i, tutti i modi associati a λ_i sono limitati.
• Se Re(λ_i) = 0 e n_i > ∀i esiste un modo illimitato associato a λ_i.

Esempio calcolo modi

• λ_i = 2 n_i = ∀i = 2 → modo : e^2t

Verifica:

Rappresentazione di sist. lineari LTI 12/3/15

.

\(\dot{x} = Ax + Bu\)

\(y = Cx + Du\)

.

Sia \(T \in \mathbb{R}^{n \times n}\) non singolare

\[ \hat{x}(t) = T \, x(t) \]

Vogliamo equazioni sistema dinamico con stato \(\hat{x}(t)\)

\(\dot{\hat{x}} = T \dot{x} = T Ax + T Bu = \underline{TA} \, \hat{x} + \underline{TB} u \)

= \( A \hat{x} + B u \)

\[ y = CT^{-1}\hat{x} + Du = \hat{C} \hat{x} + \hat{D}u \]

.

Il sistema \((A, B ,C, D)\) è equivalente a \(( \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) \) nel senso che se

\(x(t) = \Phi(t,t_0,x_0,u)\)

\(\Rightarrow \hat{x}(t) = \hat{\Phi}(t,t_0,\hat{x}_0,u)\) Allora

\(\boxed{\text{la funzione di trasformazione di} \, ( \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D}) }\)

\(\hat{x}(t) = Tx(t)\), \(\hat{x}(t_0) = T x_0\), e le uscite sono identiche

.

Osservazione

• A e \(\hat{A}\) sono simili ⇒ uguali autovalori

• La scelta dello stato di un sistema non è unica

.

esempio:

\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \, , \, T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \, \Rightarrow \, \hat{x} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 \end{bmatrix} \, = \, T\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_1 \end{bmatrix}\)