Fisica tecnica - Trasmissione del calore - 43 pagg.

(Scriviamo il laplaciano di θ):

∇²θ = div (∇θ)

d²θ = (d²θ/dx²) i + (d²θ/dy²) j + (d²θ/dz²) k

∫_S v → • n̂ ds = ∫_v div v → dv

S superficie chiusa e presente un campo vettoriale v → (x, y, z)

Vuol dire che S è chiusa

Teorema divergenza o di teorema di Stokes

Vi in questo caso è uscente

n̂ normale alla superficie può essere entrante o uscente

Esempio: v → = x i

Densità di flusso di (x) grandezza

∫_S x i n̂ ds

= Φ out_x (i verso l'esterno) = Φ in_x (i verso l'interno)

Per teorema divergenza = Φ out_x = ∫_v div x i dv

• Trasmissione del calore

• Meccanismi di scambio termico (o di trasporto)
• Il trasporto nella materia → può avvenire in due modi
• Il trasporto nel vuoto (che vedremo più avanti) in più modi

• Meccanismi di trasporto nella materia:
• I^o modo: collisione molecolare → Livello microscopico → Conduzione termica
• Avviene per propagazione di vibrazioni tra le molecole che costituiscono il mezzo materiale
• Non c'è spostamento di porzioni macroscopiche del mezzo
• Diffusione di un liquido all'interno di un altro liquido
• L'inchiostro nell'acqua
• II^o modo: collisione turbolenta → Livello macroscópico → Convezione termica
• C'è spostamento di porzioni macroscopiche del mezzo
• Stesso esperimento dell'inchiostro nell'acqua ma usando un cucchiaino per velocizzare il processo

• Continuo materiale → porzione dello spazio in cui la materia è presente in continuità
• (Solido o liquido in quiete) (Non puntuale)
• Principio dell'equilibrio locale:
• Isoliamo idealmente un volumetto infinitesimo all'interno del continuo
• Ad ogni istante della trasformazione il volumetto avrà valori ben definiti delle grandezze termodinamiche
• Il principio dell'equilibrio locale postula che per ogni δV il tempo proprio di rilassamento è molto più piccolo rispetto alle interazioni tra il volumetto e il continuo

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Per spiegare meglio come avviene la conduzione termica ovvero il passaggio di calore (temperatura) mettendo a contatto due volumetti compiendo trasformazioni quasi statiche.

Conduzione termica:

Prendiamo un cilindro di materiale solido rivestito con isolante ⇒ no dispersioni/guadagni.

Si verrà a formare un campo di temperature.

Manteniamo sulla faccia di sinistra una temperatura uniforme T1 e sulla faccia di destra T2.

T = T(x)

Ipott. T1 ≥ T2 quindi noi mi aspetto: ∂T/∂x < 0 perché il profilo decrescente.

• Postulato di Fourier:

Densità di flusso di calore

q̇ = -λ ∂T/∂x

↓ segno che segue il crescere o il decrescere della temperatura

Caso monodimensionale

Fourier: |q̇| = λ ⋅ grad T

• λ: conducibilità termica
• Se λ = cost ⇒ il mezzo è omogeneo, ovvero isotropo
• Se il mezzo è omogeneo con isotropo ⇒ λ = cost
• λ = f.1(x,y,z)

q̇ = -λ ∂T/∂x = -λ ( ∂T/∂y ∂T/∂z )

↝ nel mezzo non isotropo oppure anistropo ↝ caso tridimensionale

• Dimensione conduttività termica [λ]

[λ] = [S ̇q] / [grad T]

↓ ↓

[W/m²] / [K/m] = ↓↓ = W/m² · m/K = ↓ = [W/mK]

• [λ]

1. Dipende dalla sostanza e dalla temperatura

Sostanza: λ → gas → λ ∝ √T/M_m (∝ proposizionale)

Si usa nei vetricamera

Più un gas ha T alta più conduce, più T bassa meno conduce.

Aria secca, M_m = 29 g/mole ⇒ λ ≅ 0.026 W/m⋅K

Arfon↑, M_m ≅ 40 g/mole ⇒ λ ≅ 0.03 ÷ 0.05 W/m⋅K

• Fluidi ↔ valori intermedi ↔ ordine tra 0.1 e 5/10 W/m⋅K
• Solidi:
  • Metalli ↔ la conduzione ha sia componente reticolare che elettronica ↔ λ ≅ 100/300 W/m⋅K
  • Non metallici ↔ la conduzione ha solo componente reticolare

Materiali porosi o non omogenei → λ equivalente

• λ di una composizione di materiali
• Matone forato: matone + aria poro

Analogie:

Q/A (T₁-T₂) ⇔ ΔV

I = ΔV/R_q Legge di Ohm

Corrente (Flusso o corrente elettrica)

R_Q = ρ ⋅ l/A

R_Q = V₁/I

Resistività elettrica

Φ̇ ⇔ ΔT ⇔ ΔV

R_Q ⇔ R_Q

Flusso termico Φ̇ = λ ⋅ A (T₁-T₂)/l = ΔT/R

Resistenza termica

R_Q = d_n/A

Flusso corrente I = ΔV/R_Q

Resistenza termica unitaria

R = ΔT/Q̇ = l/W

R_Q = ρ ⋅ l/A

Resistenze in serie:

λ₁ λ₂

Φ̇₁ ⇔ Φ̇₂

(T₁) (T₂)

X=0 T=T₁ π=0

X=λ₁ T=T₂

dT/dt=0

Ci sono due mezzi solidi ⇒

Ci sono due problemi di Fourier

Devo trovare T: Σ_l q̇ⁱ Φ̇̇

0 λ₁ λ₂ x=0 T=T₁

X=λ₁

(1) d²T/dx²=0 ⇒

X=λ₁ dT/dx|_x=λ1

T(x) = A₁x+B₁ Φ(x) = -λ₁A₁

(2) d²T/dx²=0

⇒ T(x)=A₂x+B₂

Queste due condizioni sono intercambiabili tra il problema (1) e (2)

Prendo un volume a cavallo di λ₁ ⇒ bilancio energetico per questo volume:

dE/dt = Σⁱ Φ̇ⁱⁿ + Σⁱ Φ̇^out

- sorgenti assenti ⇒ π̇=0

- I flussi Φ̇₁ e Φ̇₂ non dipendono da x

Problema (1) + Problema (2)

4 incognite (A₁, B₁, A₂, B₂)

4 equazioni c.c. 2 per problema

Bilancio diventa: dE/dt = Φ̇₁ - Φ̇₂ Regime stazionario

dE/dt = 0 ⇒ Φ̇₁ = Φ̇₂

Osservazione:

Se sono in regime stazionario e in assenza di generazioni

avrò sempre un unico flusso per tutti i mezzi e quindi del sistema: Φ̇ = Φ̇₁ = Φ̇₂ = 0

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x = l/z φ(l/z)

Dim.21

N_D = Fattore di ripartizione verso destra

0 < N_D < 1

N.B. → N_S + N_D = 1

tanto più R_S è grande tanto più grande sarà ϑ₀ e tanto più grande è R_D e tanto più grande sarà ϑ_S, ad una resistenza maggiore corrisponde un flusso maggiore

il segno di ϑ₀ dipende dalle C.C.

visto che siamo in regime stazionario la potenza ϑ_P deve uscire e si ripartisce sulle due superfici ma non 50/50; dipenderà da R_D e R_S

φ_D ϑ₀ + φ_V N_V + φ_S ϑ_S = φ₀ + φ_D N_D

voglio ottenere lo stesso risultato a partire da un altro sistema

Rete termica

R_cd/2

Partiamo da α

Convenzione: flusso positivo se entrante nel nodo

del sistema α⁰, non α^α

Bilancio energetico del nodo centrale della rete α → Σ ϑ_N = 0

φ_ϑ(sup>α) + φ^{i₀ + φ_ϑ(0 = 0}

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