Fisica II - Riassunto esame, prof. Zani

Induzione Elettromagnetica

Legge di Faraday-Henry :

Fem = -dΦ(B)/dt = -d/dt ∮B•ds

• I |ΔV → R = ΔV/I R=ρd/S
• I |ΔV → C = I/dV/dt C=ε₀S/d
• B = μ₀I²/r²
• L = ΔV/di/dt L=μ₀S/d

Circuito RL

• I = V₀/R(1-e^-R/Lt)
• I∞ = V₀/R

Auto Induttanza :

L = Φ/I

Mutuo Induttanza :

M = Φ/I_A [≠#]

P_gm = Fem I

1 = -dΦ/dt I = -L d/dt I = -d/dt(1/2 LI²)

G_m = 1/2 LI²

P_gm > 0, di < 0

P_gm < 0, di > 0 (processo di carica)

• P_gm > 0, di < 0, ΔG_m < 0
• P_gm < 0, di > 0, ΔG_m > 0

Induzione Elettromagnetica

Legge di Faraday-Henry:

Fem = - dΦ/dt = - d/dt ∫ B·ds

• R = ΔV/I
• R = ρ d/S

C = I/(dV/dt)

C = ε₀ S/d

L = ΔV/(dI/dt)

l = μ₀ S/d

L = Φ/I

I = V₀/R (1 - e^{-R/L t})

I = I∞(1 - e^-t/τ)

I∞ = V₀/R

L₁₁ = Φ₁/I₁

M = Φ₂/I₁

P_ggm = Fem I

- dΦ/dt I

C_m = 1/2 I²

P_ggm > 0, dI < 0, ΔG_m < 0

P_ggm < 0, dI > 0, ΔG_m > 0

Visioni possibili:

1. Energia dove ci sono cariche: E_e = ¹⁄₂ q ΔV
2. Energia dove ci sono i campi:
   • dE_e = ¹⁄₂ εE²
   • dE_m = ¹⁄₂ μ0B²
   • E_e = ∫ εEdV
   • E_m = ∫ μ0 mdV

Circuito RC

q = CV_o (1 - e^-t/τ_c) = q_c (1 - e^-t/τ_c)

rifornisce del condensatore nello situazione finale.

Il condensatore carica attraverso. Impedisce che la tensione ai suoi capi diminuisca troppo rapidamente.

^q⁄_qo

τ t

V_c⁄V_s

τ t

I⁄I_o

τ t

V_c⁄V_s

τ t

Grafici per RC.

Equazioni di Maxwell nel Vuoto - Stazionario

Φ(E) = ∮ E ⋅ dS = qₘ / ε₀

Δ(E) : ∮ E ⋅ dl = 0

Φ(B) = ∮ B ⋅ dS = 0

Δ(B) = ∮ B ⋅ dl = μ₀Iₑ

Equazioni di Maxwell nel Vuoto - Tempo Varianti

Φ(E) = ∮ E ⋅ dS = qₘ / ε₀

Δ(E) : ∮ E ⋅ dl = - d/dt ∫ B̅ ⋅ dS̅

Φ(B) = ∮ B ⋅ dS = 0

Δ(B) = ∮ B ⋅ dS = μ₀ [Iₑ + ε₀ d/dt ∫ E̅ ⋅ dS̅]

Equazioni di Maxwell Puntuali

div(E̅) = ρ / ε₀

rot(E̅) = -dB̅/dt

div(B̅) = 0

rot(B̅) = μ₀ ( J̅ + ε₀ dE̅/dt )

Iₑ = ε₀ d/dt ∫ E̅ ⋅ dS̅ = ε₀ dΦ/dt

S̅ = ε₀ dΦ/dt E̅ = ε₀ dE̅/dt

Equazioni delle onde elettromagnetiche

∇²̅ − μ₀ε₀ ∂²̅ / ∂t² = 0

∇²̅ − μ₀ε₀ ∂²̅ / ∂t² = 0

• ∇²ₓ − μ₀ε₀ ∂²ₓ / ∂t² = 0
• ∇²ᵧ − μ₀ε₀ ∂²ᵧ / ∂t² = 0
• ∇² − μ₀ε₀ ∂² / ∂t² = 0
• ∇²ₓ − μ₀ε₀ ∂²ₓ / ∂t² = 0
• ∇²ᵧ − μ₀ε₀ ∂²ᵧ / ∂t² = 0
• ∇² − μ₀ε₀ ∂² / ∂t² = 0

• Onde piane
• Onde progressiva: h(x–vt)
• Onde regressiva: h(x+vt)

Onde piane armoniche

h(x–vt) = h₀ cos [k(x–vt) + φ]

= h₀ cos (kx–ωt + φ)

• Ampiezza d'onda
• Numero d'onda
• Fase iniziale
• Riflessione

Relazione di dispersione: ω = kv

k = 2π/λ λ = v/ν

v = 1/√ε₀μ₀ = c

v_vuoto = 1/√εₚ μₚ

Indice di rifrazione: n = c/v

ν = ω/k = λ/T = 1/Τ

ω = 2π/T = 2πν

k = 2π/λ

λ = c

Fissato lo spazio:

h

Fissato il tempo:

h

Onda che si propaga in una direzione che non coincide con gli assi:

h(_r⃗ ⋅_u⃗_r - υt) = h_osen[k(_r⃗ ⋅_u⃗_r - υt) + φ] = h_osen(kx-ωt+φ)

k: indica anche la direzione di propagazione, vettore d'onda.

Vettori rotanti:

Formula di Eulero:

e^iφ = cos(φ) + i sen(φ)

h = h_o cos(kx-ωt+φ)

~_h = h_o e^i(kx-ωt+φ) = h_o e^i(kx+φ) e^-iωt = ~_ho e^-iωt

~_ho = h_o e^i(kx+φ)

h = Re(~_h)

Onde elettromagnetiche

∇²(⃗ ) - με₀ ∂²(⃗ )/∂t² = 0

∇²(⃗ ) - με₀ ∂²(⃗ )/∂t² = 0

με₀ = 1/v² v = 1/√(με₀) = c

c = c/v = √(με₀)

Onde elettromagnetiche piane

• Nel piano ⃗ B⃗ sono ortogonali
• Relazione sull'intensità: E = cB
• Sono in fase
• Sia la direzione di ⃗ sia la direzione di ⃗ sono ortogonali alla direzione di propagazione

_y = -c B_x

_x = c B_y

Densità di energia elettromagnetica:

U_em = 1/2 ε₀ E² + B₂/2μ₀ = ²

→ C'È TRASPORTO DI ENERGIA E QUANTITÀ DI MOTO.

P_e = _dQe/^dV = ₁/² ε E²   P_m = _dQm/^dV = ₁/² ₁/^μ₀ B²

P_em = P_e + P_m = ₁/² ε E² + ₁/² ₁/^μ₀ B² = ε E² = ₁/^μ₀ B²

c = ^cB/_c = ¹/√_μ0ε0

PRESO UN VOLUME dV CON ONDE ONDE ELETTROMAGNETICHE, L'ANDAMENTO DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO DÀNI CORPO q₀ SUBISCE UNA FORZA DI HEAVISIDE:

F_TOT = F_e + F_m = q₀ (E + j × B) ONDA PIANO

TEOREMA DI POYNTING

Sp = ^{E × B}/_μ0 VETTORE DI POYNTING

∫S_p · dS = - _∂Gm^x/^∂t − _∂Gem/^∂t

SE NEL MATERIALE CI SONO DELLE ONDE ANCHE L'ONDA INTERAGISCE CON L'ONDA TRASFERENDO ENERGIA E L'ONDA NE PERDE UN PO'.

IL FLUSSO VETTORE DEL VETTORE DI POYNTING ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA COMPORTA AD NON ATTINGENDO DI ENERGIA ALL'INTERNO DI TALE SUPERFICIE.

→ PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA.

SE NESSUNA SUPERFICIE NON C'È POTENZIALE:

∫S_p · dS = _∂Gem/^∂t

FLUSSO —→ POSITIVO, CIOÈ AD ENERGIA CHE ENTRA A LIVELLO DI ESSO; L'ONDA PERDE ENERGIA

NEGATIVO L'ONDA ACQUISTA ENERGIA

ATTRAVERSANDO UNA REGIONE DI SPAZIO L'ONDA INTRODUCE L'ENERGIA IN TALE REGIONE E QUANDO SE NE VA L'ENERGIA DELLA REGIONE DIMINUISCE.

Vettore di Poynting

^Sp = E x B / μ₀

Sp = c/μ₀ B = cB = cε₀ cE = cεE

Intensità di un'onda e.m.

I = |Sp| = cεE²

ΔQ = ΔG/c

Polarizzazione

La costruisco secondo il piano di propagazione

• Polarizzazione lineare ΔΦ = 0 / π, ŷ = E_0x sen(kz - ωt) î + E_0y sen(kz - ωt) ĵ
• Polarizzazione ellittica ΔΦ = π/2
• Polarizzazione circolare ΔΦ = ± π/2 con E_0x = E_0y = E₀

Polarizzatori

• Onde polarizzate unicamente:
  • ε//x passa tutto I = I₀
  • ε⊥x non passa I = 0
  • Angolo α Ē₁ = Ē₀ cosα passo con polarizzatore

• Onde non polarizzate: < cos²α > = ½ I_α = I₀ / 2

Interazione elettromagnetica

• Onde su superficie:
  • Incidente: Ē_i = Ē₀senk_ir - ωt + φi|μ₀
  • Riflesso: Ē_r = senk_r r - ωt + φr|μ₀
  • Rifratto: Ē_t = Ē_tsenk_r r - ωt + φt|μ₂

Leggi di Snell

• Per la riflessione → Θ_G = Θ₁
• Per la rifrazione → m₁ senΘ₁ = m₂senΘ₂

• Se m₂ > m₁, l'onda rifratta avrà un angolo più vicino alla normale della superficie.
• Se m₂ < m₁, l'angolo critico rifratto sarà maggiore di quello dell'onda incidente: <Θ critico = r/l > Θ₂ = π / 2 → Rifrazione totale

• ₂ > ₁Θ₂ = π/2 = nsen^m₂/m₁ = nsen(m₂/m₁)

Legge di Fresnel

ɣ_p = \(\dfrac{E_0p}{E_0p}\) = \(\dfrac{m₂cosθ₂ - m₁cosθ₁}{m₁cosθ₂ + m₂cosθ₁}\)

• ɣ_s = \(\dfrac{G_0s}{G_0s}\) = \(\dfrac{m₁cosθ₁ - m₂cosθ₂}{m₁cosθ₁ + m₂cosθ₂}\)

• r_p = \(\dfrac{Ȝm₁cosθ₁}{m₁cosθ₂ + m₂cosθ₁}\)
• R_s = \(\dfrac{Ȝm₂cosθ₁}{m₁cosθ₁ + m₂cosθ₂}\)

θ₁ = 0

ɣ_p = \(\dfrac{T_p(θ₂ - θ₁)}{T_p(θ₂ + θ₁)}\)

ɣ_s = \(\dfrac{sen(θ₂ - θ₁)}{sen(θ₂ + θ₁)}\)

T_p = \(\dfrac{Ȝm₂cosθ₁}{sen(θ₂ + θ₁)cos(θ₂ - θ₁)}\)

T_s = \(\dfrac{Ȝsenθ₁cosθ₁}{sen(θ₂ + θ₁)}\)

ɣ_p = ɣ_s \(\dfrac{M₁ - M₂}{M₁ + M₂}\)

T_p ⬜ T_s \(\dfrac{2m₁}{m₁ + m₂}\)

• Se il coefficiente angolare è positivo, l'onda riflessa (rifratta) avrà lo stesso faso di quella incidente: avrà lo stesso verso rispetto puale superficie

OSS: l'onda trasmessa è sempre in fase con quella incidente

Riflessione Totale

• Angolo di ref. cui Rp è nulla
  • L'onda riflessa risulta polarizzato solo ortogonalmente flu piano d'incidenza

Angolo di Brewster Eh=Өi=arc tg M2/M1

Ogni Onda incidente si divide in riflesso e trasmessa. Per il principio di conservazione:

Ic = Ir + It

Ir/I0 + Ir/I0 = Ρ+T=1

R = (Gr/G0)^2 - y^2

Τ = M1cosӨit * t2

Con la Materia

• Modello atomico
• Indice di rifrazione complessi
• Cosine

Ottica Ondulatoria

Diffrazione o Fase:

ΔΘ = Θ₂ - Θ₁ = (KR₂ - ωt + φ₂) - (KR₁ - ωt + φ₁)

= K(R₂ - R₁) + (φ₂ - φ₁)

Diffrazione osc. continuo ottico

Diff. fase intenso Δφ

Sorgenti:

• CoerentiΔφ costante
• IncoerentiΔφ variabile

Principio di Huygens Fresnel

"Ogni punto o un fronte d'onda è una sorgente di onde sferiche; il nuovo fronte d'onda si ottiene dall'inviluppo di tali onde sferiche."

Interferenza

Esperimento di Young - Schema di interferenze

Punto chiaro→ Interferenza costruttiva

Punto scuro→ Interferenza distruttiva

Fenotuture

L >> d(λ/n ≈ ν)

Distribuzione di intensità:

I = I₁ + I₂ + 2√I₁I₂cos(Δ)

Coerenti: (Sincrone)

Δφ = φ₂ - φ₁ = 0

ΔΘ = Ι₂ - Θ₁ + (KR₂ - ωt + φ₂) - (KR₁ - ωt + φ₁)

≈ KE(R₂ - R₁) = (π/λ) d sen α

Interferenza Costruttiva

ΔΘ = π/λ d sen α - mπ

m ∈ Zsen α = m λ/d

Interferenza Distruttiva

ΔΘ=2π d senα/λ       senα=(2m+1) λ/2d

Corona del pistone usato:

• L=rcosα
• r=L/cosα
• y=rsenα=Ltgα

Frange chiare

y=LTgα≈Lsenα=mλ L/d

Frange scure

y=LTgα≈Lsenα=(2m+1) λ/2d

Rosso

ρ=2 L/d

Intensità Complessiva (Integrato su un periodo, fase piccola α)

<I_tot>=<I₀>cos² ( π d senα/λ )

• I=I₁+I₂+2 I₁ I₂cosΦ
• I₁=I₂=I₀