Riassunto Fisica II - Elettromagnetismo

Interazione Elettrostatica

Legge di Coulomb

(nel vuoto)

F = k_e * (q₁q₂ / r²) * u_r

[N]

k_e = 8.9874 N m²/C²

Principio di conservazione della carica

La carica netta totale di un sistema isolato non cambia.

Principio di sovrapposizione degli effetti

L'interazione elettrostatica si somma in modo lineare.

Campo elettrico

– forze che agisce su carica di prova unitaria E = F/q

indipendente da valore o segno di q⁰

Distribuzione di carica – E = ∫ (ρ d³r')/(4πε₀ |r-r'|²)

[E] = C/m

Il campo elettrostatico è conservativo

1. ∮ E · ds = 0
2. Esiste V(r) tale che ∫_A^B E · ds = -(V_B – V_A)

Potenziale lavoro fatto su carica di prova

V = E – grad V

Potenziale – carica puntiforme V(r) = q/(4πε₀ r)

Distribuzione di carica V(r) = 1/(4πε₀) ∫ ρ d³r'

Lavoro

L_AB = -qΔV_AB = -ΔE_pot

F – grad E_pot

Superfici Equipotenziali

Stesso potenziale elettrico in ogni punto.

Legge di Gauss

∮ E · ds = Σ_i q_i/ε₀

Forma differenziale

div E = ρ/ε₀

Equazione di Poisson

legge di gauss + conservatività

Densità superficiale di carica σ = dq/dA

[σ] = C/m²

Distribuzione di carica piana uniforme indefinita

E = σ/(2ε₀)

Da piani infiniti uniformemente carichi

E – E₀

INTERAZIONE ELETTROSTATICA

LEGGE DI COULOMB

^F = k_e ^q₁q₂/_{r² r̂}

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA

La carica netta totale di un sistema isolato non cambia.

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

L'interazione elettrostatica si somma in modo lineare.

Campo elettrico → forza che agisce su carica di prova unitaria:

_F/^q₀ = _q1(4πϵ₀r²)^-1 _r̂

distribuzione di carica:

^E = ∫ _^ρ(ŕ⁾/^{4πε₀(r-ŕ)2} dV

[^E] = C/m

Il campo elettrostatico è conservativo

• ∮ ^E·ds = 0
• Esiste V(r) tale che ∫_A^{B E}·d_s = -(V_B-V_A)

*Potenziale* carica puntiforme V(r) = q/(4πε₀r)

Lavoro: W_AB = -qΔV_AB = -ΔE_pot

^F = -∇E_pot

Superfici equipotenziali → stesso potenziale elettrico in ogni punto.

LEGGE DI GAUSS

Forma integrale ∮ ^E·d^s = Σ_i q_i/ε₀

Forma differenziale ∇·^E = ^ρ/_ε0

Legge di Gauss + conservatività = EQUAZIONE DI POISSON

σ = ^dq/_dA

Densità superficiale di carica σ =

Distribuzione di carica piana uniforme indefinita:

^E =

Conduttore in campo elettrico

• le cariche si dispongono sulle superfici, creando un campo elettrico interno che, all'equilibrio, annulla il campo esterno.
• Campo misurato = nullo all'interno, perpendicolare alle superfici

Condensatore

Q = C · ΔV   C: capacità

[C] =      = F (Farad)

Lavoro per caricare un condensatore

W_e = ½ Q ΔV = ½ C(ΔV)² = W energia del campo elettrostatico

Densità di energia del campo elettrostatico

w = ½ ε₀ E²

In presenza di un dielettrico → C = ε_r C₀

    ε₀ → E =     ε₀

Polarizzazione

P = ε₀ χ_e E

Q = P · S

Campo elettrico in un materiale

E_M = E + P/ε₀

E =      +     

E_M = E0/ (1 + χ_e )

Legge di Gauss

∫ dS = Q/ε₀

Corrente Elettrica

I = ΔQ/Δt

[I] = C/s = A (Ampere)

Densità di corrente

j = nqq

[j] = A/m²

Legge di Ohm

ΔV = R · I

E · L = R · I · S

ρ = R · S/L

Potenza Elettrica

P = I ΔV = RI²

INTERAZIONE MAGNETICA

FORZA DI LORENTZ

\(\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}\)

\([\vec{B}] = \frac{N s}{C m} = T\) (tesla)

\(\vec{F} = m \vec{a} = q \vec{v} \times \vec{B} \Rightarrow \vec{v} \; \text{non compie lavoro} \; (\vec{B} \; \text{non compie lavoro})\)

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

LEGGE DI AMPERE - LAPLACE

Sperimentale (Bornet)

\(\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q \vec{v} \times \hat{u_r}}{|\vec{F} - \vec{r}|^2}\)

Legge di Biot - Savart

Campo magnetico generato da corrente rettilinea di lunghezza infinita:

\(\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \hat{u_\theta}\)

LEGGE DI GAUSS

Forma integrale

\(\Phi_B (\vec{S}) = \oint_S \vec{B} \cdot \; d\vec{s} = 0\)

Forma differenziale

\(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)

LEGGE DI AMPERE

Forma integrale

\(\oint_\gamma \vec{B} \cdot \; d\vec{e} = \mu_0 I_\gamma\)

Forma differenziale

\(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}\)

SOLENOIDE

Campo magnetico interno

\(\vec{B} = \frac{N}{L} \cdot n \cdot \vec{I}\)

CAMPO ELETTROMAGNETICO nel tempo

LEGGE DI FARADAY - HENRY / LEGGE DELL'INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

fem = - d/dt ∫_S(_c(t)) B · dS → ∮ E · dl = - d/dt ∫_S(_P) B · dS

Forma differenziale:

∇ x E = - ∂B/∂t

AUTOINDUZIONE

∅_S(c)(t) = L i

L = ∫_S(c) (μ₀/4π) (∮ (dr̅ x ûr)/r² - r̅'²) û_n dS

Coefficiente di autoinduzione [L] = Wb/A = H

fem. autoindotta: V_L = -L di/dt

La legge di Ohm diventa V₀ + V_L - L di/dt = R i

(legge di Ohm per circuiti RL)

Lavoro fatto dal generatore all'accensione e disperso in B:

W_S = ∫ L i di = ½ L i²

Accensione circuito:

i(t) = V₀/R (1 - e^-Rt/L)

CIRCUITI ACCOPPIATI

∅₁ (B₂) = M i₂ ⇒ M = H

∅₂ (B₁) = M i₁

M₁₁ = ∫ (b²/2) i₂² + ¼ L₁ i₁² + M i₁ i₂

PROPRIETÀ MAGNETICHE DELLA MATERIA

Vettore magnetizzazione - momento di dipolo magnetico per unità di volume

M = n m̅ / m

[M] = A/m

1 elettrone ⇒ m̅ = -S x ɡ

(dipoli magnetici microscopici)

Se c'è un ɡ, sua spin assegna coppia che tende a mettere m̅ ‖ B

I elettroni che si muovono in verso opposto → dipolo magnetico

(materiali privi di momento magnetico)

Momento di dipolo magnetico totale:

M(S·ɡ) = M̄·S

Materiali paramagnetici ⟨∇·M⟩_microscopico ≈ T_θ0^M

Campo magnetizzato

_B = μ₀(_H + _M), _H = _B/μ₀

Materiale: ferromagnetico

Energia del campo elettromagnetico:W_E = 1/2 ε₀ E²W_B = B²/μ₀ μ_r

Legge di Ampere-Maxwell

∮_S j · d_S = -dq/dt∮_S ρ d_S = -q = ε₀ ∮_S E · d_S

Densità di corrente generalizzata

Legge di Ampere - MaxwellForma integrale ∮_S B · d_l = μ₀ ∮_S(cp) J_tForma differenziale ∇ x _B = μ₀ J_t + μ₀ ε₀ ∂_E/∂_t

Equazioni di Maxwell

I) ∮_S ε₀ E = q/ε₀

II) ∮_S B · d_l = 0

IV) ∇ x _B = -∂_B/∂_t

III) ∮_S E · d_l = -∂_B/∂_t

ONDE ELETTROMAGNETICHE

Riscittura legge di Faraday-Henry

F-H: ∮E ⃗ ·dℓ⃗ = -d/dt ∫S(t) B ⃗ ·dS ⃗

d/dt ∮E ⃗ ·dℓ⃗ = -dB/dt ⌠∂E/∂t. (non dipende dal tempo)

Riscittura legge di Ampère-Maxwell

A-H: ∮B ⃗ ·dℓ⃗ = μ₀I + μ₀ϵ₀d/dt∫S(t) E ⃗ ·dS ⃗

-d²E/dx² = μ₀ϵ₀d²E/dt² - d²B/dx²

μ₀ϵ₀d²E/dt² = d²B/dx²

d²E/dx²=-μ₀ϵ₀d²E/dt²

d²B/dx²=-μ₀ϵ₀d²B/dt²

d²/dx² = μ₀ϵ₀d²/dt²

d²Ε/dx²=-1/c²d²Ε/dt² = μ₀ϵ₀d²E/dt²

EQUAZIONE DI D'ALEMBERT (EQUAZIONE D'ONDA)

Sol: f(x+ct)+f(x-ct) (progressiva, regressiva)

d²E/dx²=μ₀ϵ₀d²E/dt²

E(x,t)=E₀cos(kx⎯ωt)+E(x⎯ct) B(x⎯ct), E(x⎯ct)

• E(x,t)= E ̲ ₀sin[k(x⎯ct)]
• B(x,t)= B ̲ ₀sin[k(x⎯ct)]

c = 1/sqrt(μ₀ϵ₀) c=3·10⁸ m/s VELOCITA DI PROPAGAZIONE DELLE ONDI E.M. NEL VUOTO

⌈E⃗⊥B⃗, ⌈E ̂, B ̂

E=CB (modulo)

λ=c

ν=1/T

FRONTI D'ONDA → superfici che ad ogni istante t presentano la stessa fase

RAGGIO - direzione di propagazione, ⊥ fronti d'onda

SORGENTE DELL'ONDA: dipolo oscillante → ONDA SINUSOIDALE

p(t) = p₀ sin (ω t) → frequenza controllata dalla sorgente

NEL MEZZO:

μ₀ → μ_rμ₀

ε₀ → ε_rε₀

= 1 / √(μ₀ε₀)

= c / √(μ_rε_r)

μ_rε_r 1

= c / √(ε_r)

n: INDICE DI RIFRAZIONE

TEOREMA di POYNTING

Volume V circondato da superficie S, con dentro N cariche in moto / unità di vol

= Fa su q ℰ̲ → potenza → q ℰ̲ · v̲

= ℰ forza → q ℰ̲ · v̲ → potenza → q v̲ x B̲ · v̲ = 0

Solo ℰ̲ fa lavoro

⇒ Potenza in volume:

∫_v q ℰ̲ · v̲ dV = ∫_v 1 / μ₀ ℰ̲ dV

Dalla (IV) di Maxwell Macros: j̲ → ∫_v 1 / μ₀ ∇̲ · (ℰ̲ x B̲) dV - ∂ / ∂t ∫_v (B² / 2μ₀ + ε₀ ℰ² / 2) dV

/sub> 1/2 · ∂B² / ∂t

= μ₀ ε₀ ∂ℰ² / ∂t

= >

∂ / ∂t ∫_v (B² / 2μ₀ + ℰ² / 2) dV = - ∫_v j̲ · ℰ̲ dV - ∫_s ℰxB / μ₀ dS

----------------------------------------------------------

variazione en elettrica e magnetica nelle volume

lavoro sulle cariche

flusso di energia EM che passa nella superficie S

energia di fluire con il campo IL CAMPO EM TRASPORTA ENERGIA

Vettore di Poynting

ℰxB̲ / μ₀

ENERGIA E.M. "FLUENTE" (W_em energia "residente")

= > ℰ → q ℰ̲ → ΔW = ∫ ℰ̲ dV

= > q ℰ → v̲ → ∫_v 1/ε₀ ℰ̲ · v̲

= 0

Ho cariche in moto con F̲ = q v̲ x B̲ → j̲ → F̲ = q v̲ x B̲

= direzione e verso di propagazione

F̲ esprime su superficie

ΔW / Δt = q E v

Δp = qvB = qv ℰ̲ = q Δp = ΔW / c

Δp = W_em / c

= > p = (W_em) / c QUANTITÀ DI MOTO DELL'ONDA E.M.

Assorbimento totale → F̲ su = W̲_em

Riflessione totale → F̲ su = 2 W_em

Potenza media per unità di superficie

1/T ∫₀^T |Ē × B̅|/μ₀ dt = E₀²/2cμ₀

Sfera -> = E₀²/4πr²

Esperimento di Hertz (1886)

Tutta l'energia viene riflessa

E(x,t) = E₀ e^i(kx-wt) - E₀ e^-i(kx+wt)

B_z(x,t) = B₀ e^i(kx-wt) + B₀ e^-i(kx+wt)

B_(x,t) = 2B₀sin(wt)cos(kx)

Se vedo spirale nei nodi la corrente in esso ė ammolle

Distanza tra i nodi cos 2π/λ x = 0 x = λ/2

λ

Misurata per la prima volta

Elettromagnetismo e relatività

y', y'n x₀, x_yO

vedo fermi (sorgente è ricevente fermi) l₀ = c Δt₀

l = c Δt₀

Contrazione delle lunghezze