Riassunto esame Fisica I, prof. Raso, libro consigliato Elementi di Fisica I, Mazzoldi, Nigro, Voci

E C A

F I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

O N

A L

E

M EE

CC

CC

AA

NN

II

CC

AA

M E C C A N

I

C A

Nel moto piano l’accelerazione deve influire sia sul modulo che sulla direzione di Si definisce vettore

v.

accelerazione media il vettore = ∆v/∆t. Si definisce inoltre il vettore accelerazione vettoriale come derivata

a m

della velocità vettoriale rispetto al tempo, o come derivata seconda del raggio vettore rispetto al tempo. Si ha

dunque . Il vettore può anche essere scomposto come somma di due componenti vettoriali:

= + a

2 2

a a a

x y

l’accelerazione tangenziale , che agisce nella stessa direzione di sul suo modulo, e accelerazione normale

a v

t

, che agisce lungo la normale di sulla sua direzione. Si ha = + = (dv/dt)u + (v /R)u , con R raggio di

2

a v a a a

n t n t n

curvatura, ossia il raggio della circonferenza osculatrice (tangente al grafico verso la sua concavità).

L’accelerazione normale è anche detta centripeta, poiché punta verso il centro di curvatura. Vale .

= +

2 2

a a a

t n

Si chiama moto circolare un moto piano la cui traiettoria è una circonferenza. Si evince allora che

l’accelerazione normale è sempre diversa da zero, in quanto la velocità varia, istante per istante, in direzione.

I moti proiettati sugli assi cartesiani sono due moti armonici di eguale ampiezza (R) e fase iniziale, ma sfasati

di π/2. Assumendo un sistema di riferimento polare (r,θ), con r = R costante, e polo sul centro del cerchio, si

può ridurre la descrizione bidimensionale del moto ad una unidimensionale con la funzione θ(t). Definiamo:

= ∆θ/∆t .

Velocità angolare media: ω m

Velocità angolare istantanea: ω = dθ/dt .

Accelerazione angolare media: α = ∆ω/∆t .

m

Accelerazione angolare istantanea: α = dω/dt = d θ/dt .

2 2

La rappresentazione in coordinate cartesiane è legata a θ(t) secondo le formule:

) ; = Rsin(θ(t)) = Rsin(ωt+θ )

= Rcos(θ(t)) = Rcos(ωt+θ y(t)

x(t) 0 0

Il moto circolare ha periodo T=2πR/v = 2π/ω. Infatti ω = v/R. Si ha inoltre α = a /R.

t

Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo, e vale α = a = 0. Per cui risulta:

t

ω

= = =

2 2

ˆ ˆ

a a ( v / R )

u ( R )

u

n n n

+ ωt, ed s(t)= s + vt.

Le leggi orarie del moto circolare uniforme sono θ(t) = θ 0 0

Nel moto circolare uniformemente accelerato α è costante, ovvero at è costante. Valgono le seguenti:

( ) ( ) ( )

ω ω α θ θ ω α ω

= + = + + = 2

2

t t ; t t ½ t ; a t R

0 0 0 n

Nonostante la comodità dell’uso di θ(t) sia innegabile, è bene notare che non fornisce informazioni su .

a n

Si chiama moto parabolico un moto piano la cui traiettoria è rappresentata da una parabola. L’unica

accelerazione in gioco è I moti proiettati sugli assi sono un M.R.U. ed un M.R.U.A. Si trova che:

g. ( ) θ θ

= + −

ˆ ˆ

v t ( v cos )

u ( v sin gt )

u

0 x 0 y

con θ angolo di lancio e v velocità iniziale. Dunque v = v cosθ, v = v sinθ – gt. Ne segue che:

0 x 0 y 0

M.R.U. x(t) = x + (v cosθ)t .

0 0

M.R.U.A. y(t) = y + (v sinθ)t – ½ gt .

2

0 0

La funzione y(x) che descrive la traiettoria viene ricavata eliminando il parametro t dalle precedenti leggi

orarie. Supponendo x =y =0, si ottiene y(x)=xtanθ – (g/(2v cos θ))x e t = x/v cosθ. Si definisce la

2 2 2 gittata

0 0 0 0

distanza percorsa dal corpo prima di arrivare alla stessa quota di partenza, e si trova imponendo y(x)=0.

Sviluppando: x =0 oppure x = v sin(2θ)/g. Dalla precedente si evince che la gittata massima si ha, in

2

0

G G

qualsiasi caso, con un angolo di lancio pari a 45°. Sostituendo x sull’equazione che definisce t, si trova il

G

tempo di gittata. Inoltre la quota massima si trova sempre a metà gittata: x = x /2, y = y(x ).

max max max

G

M o t

o g e n

e r a l

e n

e l

l

o s

p

a z i

o (

2 . 4 )

M o t

o g e n

e r a l

e n

e l

l

o s

p

a z i

o (

2 . 4 )

È palese che un moto nel piano è un caso particolare di moto nello spazio, dove una delle tre coordinate è

costante. Dunque tutte le considerazioni fatte sul moto nel piano possono estendersi al moto nello spazio,

considerando una ulteriore coordinata. Consideriamo due sistemi di riferimento cartesiani RC(O,x,y,z) ed

RC’(O’,x’,y’,z’), con il secondo in movimento. Sia P un punto nello spazio, = = Valgono allora:

r OP, r’ O’P.

= + ; = + (O’O= -

r’ r OO’ r r’ O’O OO’)

Diamo i teoremi delle velocità relative e accelerazioni relative:

a

) = ’+v’+(ωxr) , con velocità di P in RC, ’ velocità di traslazione del sistema mobile rispetto ad

a

) v v v v

0 0

RC, la velocità di P in RC’, velocità di rotazione di RC’ rispetto ad RC.

v’ ω

b ) = +a’+(dω/dt)xr’ + + 2ωxv’, con accelerazione di P in RC, accelerazione del sistema

b ) a a’ ωx(ωxr’) a a’

0 0

mobile rispetto ad RC, accelerazione di P in RC’. Si definiscono =a’ +(dω/dt)xr’+ωx(ωxr’) forza

a’ a t 0

di trascinamento, ed = 2ωxv’ forza di Coriolis.

a c R S – C S 5

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

F I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

O N

A L

E

M EE

CC

CC

AA

NN

II

CC

AA

M E C C A N

I

C A

D

D

I N

A M I C

A D

E

L P

U

N

T

O

C

a p i

t o l

o 3 . I N

A M I C

A D

E

L P

U

N

T

O

L e g g i d

i N

e w

t

o n (

3 . 1 )

L e g g i d

i N

e w

t

o n (

3 . 1 )

La forza è la grandezza fisica che esprime e misura le interazioni tra i sistemi fisici. Per misurare la forza si

utilizza un dinamometro, che consiste in una molla a cui si attacca un corpo. Dalla massa del corpo e

misurando la deformazione della molla è possibile misurare il modulo della forza. La prima legge di

Newton afferma che un corpo preserva il suo stato di quiete o di M.R.U. se non agiscono forze esterne su di

esso. Un sistema di riferimento dicesi inerziale (S.R.I.) se obbedisce rigorosamente al principio di inerzia,

ossia alla I legge di Newton. La seconda legge di Newton esprime la formulazione quantitativa del legame

tra la forza e lo stato di moto: = ma. La II legge è valida sola nella classe dei S.R.I. ed è applicabile solo se la

F

velocità dei punti considerati è molto minore di quella della luce. Inoltre contiene come caso particolare la

prima, ovvero il caso in cui la risultante di tutte le forze applicate su un corpo è nulla. La massa (inerziale) è

una grandezza scalare e additiva che esprime quantitativamente l’inerzia di un corpo. In altre parole è la

proprietà di un corpo di opporsi alla variazione del suo stato di moto (a 1/m). si noti come = ma

F =

∝

) sia una legge vettoriale, e dunque costituisce in realtà le tre equazioni seguenti:

2 2

r/dt

=m(d 2 2 2

d x d y d z

= = =

; ;

F m F m F m

x y z

2 2 2

dt dt dt

Secondo il principio di sovrapposizione delle forze la risultante di un insieme di forze applicate ad un punto

materiale produce la somma vettoriale delle accelerazioni prodotte da ognuna di esse indipendentemente

(∑F = m∑a ). Un corpo dicesi isolato se non agiscono forze su di esso (è in quiete o in M.R.U.). È possibile

i i

trovare un reale corpo isolato unicamente nello spazio cosmico. La terza legge di Newton esprime il

principio di azione e reazione delle forze. Se un corpo esercita una forza su un altro, questo eserciterà una

forza uguale e contraria sul primo. Le dette forze hanno modulo e direzioni uguali, ma verso opposto.

F o r z e , v i

n

c

o l

i

, a t

t

r i

t

i ( 3 . 2 )

F o r z e , v i

n

c

o l

i

, a t

t

r i

t

i ( 3 . 2 )

Tutte le forze sono riconducibili a due interazioni fondamentali: l’interazione gravitazionale e l’interazione

elettromagnetica. A livello nucleare e sub-nucleare si parla invece di interazioni nucleari forti e deboli. Se la

risultante delle forze applicate è nulla (e v =0), allora si dice che il corpo è in Si osserva che

equilibrio statico.

0

in uno stesso luogo tutti i corpi assumono, se lasciati liberi, la stessa accelerazione, detta di gravità

(qualunque sia la massa inerziale). Pertanto la forza peso risulta proporzionale alla massa e si ha La

P P=mg.

forza peso cambia dunque a seconda della gravità agente su un dato luogo.

Se un corpo A esercita una forza (o più forze la cui risultante è su un corpo B, ed entrambi sono fermi,

F F)

deve esserci una forza tale che La forza che B esercita su A dicesi In generale la

N F+N=0. N reazione vincolare.

reazione vincolare non è calcolabile a priori con una formula data, ma deve essere calcolata caso per caso

dall’esame delle condizioni fisiche. Le forz