Riassunto esame Fisica I, prof. Raso, libro consigliato Elementi di Fisica I, Mazzoldi, Nigro, Voci

F I I G

II

SS

II

CC

AA PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

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A L

E

M EE

CC

CC

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NN

II

CC

AA

M E C C A N

I

C A

E

E

L E

M E

N T

I B

A S

E

C

a p i

t o l

o 1 . L E

M E

N T

I B

A S

E

L e u

n

i

t

à d

i m i

s

u

r a (

1 . 1 )

L e u

n

i

t

à d

i m i

s

u

r a (

1 . 1 )

Grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (SI):

Lunghezza Metro m

Tempo Secondo s

Massa Chilogrammo kg

Temperatura Kelvin K

Intensità di corrente Ampére A

Intensità luminosa Candela cd

Quantità di materia Mole mol

Grandezze Meccaniche (I)

Lunghezza m Grandezze Termodinamiche

Tempo s

Massa kg Quantità di materia mol

Velocità m/s Temperatura K

Accelerazione m/s Calore J

2

Velocità angolare rad/s Calore specifico J / (kg K)

Acc. angolare rad/s Cal. Spec. molare J / (mol K)

2

Periodo s Capacità termica J / K

Frequenza s = Hz Calore latente J / kg

-1

Pulsazione rad/s Entropia J / K

Coeff. di dilatazione K

-1

Grandezze Meccaniche (II) Conducibilità term. J / (m s K)

Forza kg m/s = N

2

Quantità di moto N s

Lavoro Kg m /s = N m

2 2 Le leggi fisiche sono equazioni tra grandezze; dal

Energia N m = J punto di vista dell’unità di misura, i due membri

Potenza J/s devono essere omogenei. Dunque condizione

Momento Angolare J s necessaria per la correttezza di una equazione

“ di una forza N m fisica è che i due membri abbiano la stessa unità di

“ di inerzia kg m misura.

2

Densità volumetrica kg / m

3

Pressione N/m = Pa

2

C

a l

c

o l

o v e t

t

o r i

a l

e (

1 . 2 )

C

a l

c

o l

o v e t

t

o r i

a l

e (

1 . 2 )

Le grandezze per cui basta un solo numero per essere definite diconsi grandezze scalari, e le operazioni che

si eseguono su di esse seguono le leggi dell’algebra. Le grandezze per le quali abbiamo bisogno di più

numeri (coordinate) oppure di modulo, direzione e verso, diconsi grandezze vettoriali. Tutti i vettori aventi

modulo, direzione e verso uguali diconsi vettori equipollenti.

Il prodotto di un vettore per uno scalare m ha come risultato un altro vettore con la stessa direzione di

a b a,

il modulo m volte quello di e, lo stesso verso di se m>0, verso opposto se m<0 : = ma .

a a b

Dati due vettori e il vettore definito da = + dicesi somma, o vettore risultante, di e Se due (o

a b, c c a b a b.

più) vettori sono dati in coordinate, basta sommarle ordinatamente. Se invece sono dati con modulo,

direzione e verso, si usi il metodo del parallelogramma. Dati due vettori e si definisce prodotto scalare

a b

la quantità s definita da s = = ab cosθ, indicando con θ l’angolo formato dai due vettori se applicati nello

a●b

stesso punto. Si noti che bcosθ è la proiezione di su La quantità s è dunque uno scalare. Il prodotto

b a.

scalare gode della proprietà commutativa, distributiva ed è nullo se i due vettori sono ortogonali, massimo

, a , a ) e ,b ,b ) si ha: s= = a b + a b + a b .

se paralleli. Se abbiamo b(b a●b

a(a

x y z x y z x x y y z z

Dati e si definisce prodotto vettoriale il vettore definito da = x con le seguenti caratteristiche:

a b c c a b,

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

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SS

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II

OO

NN

AA

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EE

F I I G

I

S

I

C A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S T I

O N

A L

E

M EE

CC

CC

AA

NN

II

CC

AA

M E C C A N

I

C A

Direzione di perpendicolare al piano individuato da e

c a b.

Verso definito dalla regola della mano destra.

Modulo definito da c = ab sinθ.

Gode della proprietà anticommutativa, cioè: x -(b x .

a b = a)

Gode della proprietà distributiva, cioè: (a + = (a x + (b x ≠ x(a + .

b)x c c) c) c b)

Non vale la proprietà associativa e non può essere definito in uno spazio 2-dimensionale.

È nullo se massimo se è ortogonale a

a//b, a b.

Se due vettori e sono definiti in coordinate in un riferimento RC(O, allora il modulo di

i, j, k)

a b c,

definito da = x sarà dato dal seguente determinante:

c a b

Un vettore può dipendere dal tempo secondo una legge precisa Le operazioni tipiche del calcolo

a a(t).

infinitesimale possono estendersi al calcolo vettoriale. Consideriamo in due tempi vicini tra loro. Avremo

a

allora e Se calcoliamo il limite per ∆t 0 del rapporto incrementale otteniamo la derivata di in t.

a(t) a(t+∆t). a

La derivata di un vettore è un vettore. Se è dato in componenti cartesiane, si ha:

a da

da

da da

= + +

y

x z

ˆ ˆ ˆ

u u u

x y z

dt dt dt dt

Valgono, per il calcolo differenziale vettoriale le seguenti regole:

d(a+b)/dt = da/dt + db/dt.

1 .

1 . ∈

d(mv)/dt = m dv/dt , con costante.

ℝ

m

2 .

2 . ∈

d(mv)/dt = (dm/dt)v + m dv/dt, con in funzione di t.

ℝ

m

3 .

3 . d(a●b)/dt = [(da/dt)●b] + [a●( db/dt)].

4 .

4 . d(a x = [(da/dt) x + [a x( db/dt)] {in questo caso è necessario rispettare l’ordine dei prodotti}.

b)/dt b]

5 .

5 .

Anche per l’integrazione valgono le stesse considerazioni fatte per la derivata di un vettore. Si definisce

allora integrale definito di da t a t il vettore = ∫a(t)dt. Se è dato in componenti cartesiane risulta:

a(t) A a(t)

1 2

t t t

∫ ∫ ∫

= + +

2 2 2

ˆ ˆ ˆ

A u a (

t ) dt u a (

t ) dt u a (

t ) dt

x x y y z z

t t t

1 1 1

Sia C una curva generica, A e B due punti su di essa. Sia s una coordinata curvilinea che individua, per ogni

punto P di C (da A a B) un vettore Sia ds un vettore infinitesimo tangente C in un suo punto P.

a(s).

Calcoliamo: = a(s) ds cosθ. Si consideri lo stesso prodotto scalare per ogni ds calcolato per ogni ,

∈

a(s)●ds P C

da A a B. Si definisce allora di lungo C da A a B lo scalare:

a

integrale di linea B

∫ i

a ( s ) ds

A

L’integrale di linea dipende da C e dalla sua orientazione. Risulta infatti che l’integrale percorso da A a B è

l’opposto dell’integrale percorso da B ad A. Se la curva è chiusa si parla di di lungo la linea

a

circuitazione

∫

chiusa Γ e si denota con Γ

R

e l

a z i

o n

i t

r i

g o n

o m e t

r i

c

h

e , s

i s

t

e m i d i r i

f e r i m e n

t

o , e r r o r i (

1 . 3 )

R

e l

a z i

o n

i t

r i

g o n

o m e t

r i

c

h

e , s

i s

t

e m i d i r i

f e r i m e n

t

o , e r r o r i (

1 . 3 )

Teoremi sul triangolo rettangolo (Fig. A) :

b = a sinβ = a cosγ

a = c / sinγ = c /cos β

c = b tanγ = b cotanβ

Teoremi sui triangoli qualunque (Fig. B) :

Teorema dei seni: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ

Teorema di Carnot: a = b +c - 2bc cosα

2 2 2 A B

Detto α un angolo in gradi sessagesimali, e β in radianti, per convertire gradi in radianti e viceversa, basta

α β π

= .

risolvere la proporzione: : 360 : 2

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

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M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

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M

E C A L

A U D I

O C I M

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E

M EE

CC

CC

AA

NN

II

CC

AA

M E C C A N

I

C A

Dato un sistema di riferimento cartesiano RC(O, e un sistema di riferimento polare, un generico punto P

x, y)

ha rispettivamente coordinate del tipo P = P(P , P ) e P=(r, θ), e valgono le seguenti relazioni:

x y ( ) ( )

θ θ π

θ

θ = = +

= +

=

= 2 2

; ; ; (se ; (se

arctan y / x arctan y / x

r x y

y r sin

x r cos x>0) x<0)

Dato un sistema di riferimento cartesiano RC(O, e un sistema di riferimento polare, un generico punto

x, y, z)

P ha rispettivamente coordinate del tipo P=P(P ,P ,P ), P=(r,θ,ϕ) con 0<θ<π, e valgono le seguenti relazioni:

x y z  

z

θ

θ φ θ φ θ =

= = = = + +  

2 2 2

; ; ; ; ;

arccos

x r y r z r r x y z

sin cos sin sin cos  

+ +

2 2 2

x y z

 

   

y y

φ φ π

= = +

(se ; (se

arctan arctan

   

x>0) x<0)  

  x

x

Si ricordi che le grandezze scalari e vettoriali sono indipendenti dal sistema di riferimento fissato.

Per quanto l’uomo possa adottare strumenti sempre più precisi è impossibile eliminare totalmente gli errori

di misura. Durante una misura si incorre in due tipi di errori. Il primo è l’errore sistematico, dovuto agli

strumenti utilizzati. Si valuta cambiando strumento (non esiste una trattazione analitica). Il secondo è

l’errore statistico, che consiste negli errori durante la misurazione. Più volte si esegue una misura, più

preciso sarà il risultato. Effettuate n misurazioni, l’errore statistico S sarà dato da:

misura, ed X media aritmetica delle n misure effettuate. Ogni misura si può allora riscrivere

con X i-esima

i

come X ± S. Il numero di cifre con cui viene specificata è detto numero di cifre significative, ed è legato

i

all’errore stimato, ad esempio: 5,2 ± 0,2 m ; 5,20 ± 0,18 m ; 5,189 ± 0,179 m .

Una operazione matematica non deve aumentare il numero di cifre significative.

R S – C S 3

II

CC

CC

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DD

OO CC

II

M

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AA

UU

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II

OO CC

II

M

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R S – C S

M M

I

C C A R D

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M

E C A L

A U D I

O C I M

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RR

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AA EE

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NN

AA

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I

S

I

C A P

E R N

G

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N

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A E S T I

O N

A L

E

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M E C C A N

I

C A

C

C

I N E M

A T

I C

A

C

a p i

t o l

o 2 . I N E M

A T

I C

A

N

o z i

o n

i p

r e l

i

m i

n

a r i ( 2 . 1 )

N

o z i

o n

i p

r e l

i

m i

n

a r i ( 2 . 1 )

Si definisce un corpo privo di dimensione, ovvero che rappresenta dimensioni trascurabili

punto materiale

rispetto allo spazio in cui può muoversi. Dicesi il luogo dei punti occupati successivamente dal

traiettoria

punto in movimento, e, in generale, costituisce una curva continua nello spazio. Dicesi il moto durante

quiete

il quale le coordinate restano costanti, e quindi velocità e accelerazione sono nulle. Il moto di un corpo è

determinato se è nota la sua posizione in funzione del tempo. Il moto rettilineo di un punto è descrivibile da

una sola coordinata x in funzione di t, x(t). Dicesi un riferimento cartesiano avente t come

diagramma orario

ascissa, e lo spazio x come ordinata, sul quale rappresentiamo la funzione x(t), che si chiama legge oraria.

Siano t e t due diversi istanti di tempo, x e x le posizioni rispettive di un punto materiale (x =x(t ) ;

1 2 1 2 1 1

=x(t )). Si definisce velocità media v il rapporto tra lo spostamento ∆x e ∆t. Siano t e t , x e x , come in

x

2 2 m 1 2 1 2

precedenza. Supponendo ∆t 0, il calcolo precedente fornisce la velocità istantanea all’istante t , e si calcola:

1

v = dx/dt. Dunque se deriviamo la legge oraria otteniamo la funzione v(t). Se è nota v(t), si può ricavare la

funzione x(t) come l’integrale di v(t)dt da t a t, più x , con x posizione del punto all’istante iniziale t .

0 0 0 0

t

∫

= +

x (

t ) x v (

t ) dt

0 t 0

Siano t e t due diversi istanti di tempo, v e v le rispettive velocità istantanee. Si definisce accelerazione

1 2 1 2

media a il rapporto tra la variazione di velocità ∆v e ∆t. Analogamente si definisce accelerazione istantanea

m

a=dv/dt. Dunque se deriviamo v(t) otteniamo la funzione a(t) che definisce l’accelerazione istantanea in

funzione del tempo. Se è nota a(t), si può ricavare la funzione v(t) come:

t

∫

= +

v (

t ) v a (

t )

0 t

0

M o t

i r e t

t

i

l i

n

e i (

2 . 2 )

M o t

i r e t

t

i

l i

n

e i (

2 . 2 )

Si definisce moto rettilineo uniforme (M.R.U.) un moto rettilineo in cui v(t) è una costante (il grafico orario

sarà una retta). Si evince che nel M.R.U. v =v (per ogni t) e l’accelerazione è sempre nulla. Se calcoliamo x(t)

m

come l’integrale definito di v(t) dall’istante iniziale (t = 0) a t, si ottiene sempre: x(t) = x + vt .

0 0

Si definisce moto rettilineo uniformemente accelerato (M.R.U.A.) un moto rettilineo in cui a(t) è costante. La

funzione v(t) è allora lineare, mentre x(t) è quadratica. Si ha dunque, con t = 0:

0

( )

= + = + + 2

v (

t ) v at ; x t x v t ½ at

0 0 0

Un corpo si dice in caduta libera se ha accelerazione costante a = g = ±9,8m/s (la scelta del segno dipende dal

2

S.R.). La quantità g rappresenta l’accelerazione di gravità. In generale le condizioni iniziali del moto verticale

di un corpo sono: x = h, v =0, t =0. In questo caso: v(t) = ± gt ; x(t) = h ± ½ gt . Il tempo di caduta t e la

2

0 0 0 c

velocità al suolo v , sono: t = √(2h/g) ; v = √(2g/h). Si definisce moto armonico semplice un moto rettilineo

c c c

periodico descritto dalla legge: x(t)=Asin(ωt+ϕ), con A (ampiezza), ω(pulsazione) e ϕ(fase iniziale) costanti e

(ωt+ϕ) fase del moto. Un moto che si muove di moto armonico semplice percorre una lunghezza pari a 2A,

con centro nell’origine. Si trovano le seguenti relazioni: Periodo: T=2π/ω ; Frequenza: ν=T =ω/2π ;

-1

dx dv

( ) ( ) ω ω

= =

ω ω φ ω ω φ

= = + = = − + 2

; ; ; .

2 v A a A

v (

t ) Acos t a ( t ) Asin t max max

dt dt

M o t

o n

e l p

i

a n

o (

2 . 3 )

M o t

o n

e l p

i

a n

o (

2 . 3 )

Un moto nel piano è la sovrapposizione di due moti rettilinei. Con il moto nel piano entrano in gioco le

grandezze vettoriali. In realtà grandezze come velocità e accelerazione, nel caso unidimensionale del moto

rettilineo, sono ugualmente vettori, ma con direzione fissata, e verso esplicitato dal segno. Nel moto piano la

traiettoria di un corpo P è una curva. La posizione del punto P può essere individuata da due coordinate.

Queste possono essere o (x(t),y(t)) nel caso di un riferimento RC(O, oppure (r(t), θ(t)) nel caso di

x, y)

riferimento polare. La posizione del punto P può individuarsi per mezzo del raggio vettore

+y(t)u . Siano P e P due posizioni del punto P, rispettivamente al tempo t e t+∆t. Esse sono

OP=r(t)=x(t)u x y 1 2

individuate dai vettori ed con ∆r vettore spostamento. Si definisce velocità media del

r(t) r(t+∆t)=r(t)+∆r,

punto materiale P in ∆t il vettore = ∆r/∆t. Si definisce inoltre il vettore velocità vettoriale come il limite di

v

m

per ∆t 0: = dr/d