Fisica Medica - Moto Oscillatorio

Moto oscillatorio

A A1 2-A2-A1 Moto oscillatorio 14Esempio 3:x TA   21 2T’ =0 T/2t    01 2A = A-A 1 2T’=T/2 Moto oscillatorio 15Velocità nel moto armonico semplice     x t A cos tderivando x (t ) si ricava la v(t ):dx d      v(t ) A cos( t )dt dt             v(t ) Asen ( t ) si ricordi che cos sen 2      v t A co s( t )2  x (t ) A cos( t )   Se 0   v(t ) A cos( t ) 2Moto oscillatorio 16 cioè la v(t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla2posizione x (t ). x TA0 t-A vA0 tT/4A T/2 Moto oscillatorio 17Accelerazione nel moto armonico sempliceDerivando la v(t ) di un moto armonico semplice si ricava lasua accelerazione:dv(t ) d        a (t ) Asen ( t )dt d t    2a (t ) A cos ( t )    v(t ) Asen (

t )   Se 0        2 2a (t ) A co s( t ) Asen ( t ) 2cioè la a (t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla v(t ).

2 Moto oscillatorio 18Si confrontino i grafici di x (t ) , v (t ) e a (t ) fissando l'attenzionesullo sfasamento tra i 3 grafici:

x(t) TA0 t– A v(t)A T/4A0 tA Aa(t) A2 0 t A2 T/2 Moto oscillatorio 19Considerazioni energetiche dell' O.A.S.Dal principio di conservazione dell'energia meccanica:

1 1   m 2 2E E U dove E m v e U ( x ) kxT c c 2 2Si è trovato che:         x A cos( t ) e v A sen ( t )1     2 2 2E m A sen ( t )  c k2  2 e ricordando che1 m   2 2U (t ) k A cos ( t )  21 1          m 2 2 2 2 2E m A sen t + kA cos tT 2 2k1 1           2 2 2 2kA

sen t cos t kA 2 21Moto oscillatorio 20 I grafici di E (t ) e U(t ) in funzione del tempo sono i seguenti:

c 1 m 2 E kAE T 2 E (t)cU(t)0 tT T2 1        2 2Il periodo di cos t e di sen t è del periodo2       T di cos t e di sen t .

Moto oscillatorio 21Si rappresenti E e U in funzione di x.

c 1 1 1     m 2 2 2E ( x ) E U mv kx kAT c 2 2 2  1 1 1     m 2 2 2 2E ( x ) E U kA kx k A xc T 2 2 2 Il grafico della funzione E (x) è una parabola con la concavitàcrivolta verso il basso e con il vertice sull’asse di simmetria x = 0.1 2Il grafico della funzione è una parabola con laU ( x ) kx2concavità rivolta verso l’alto e con il vertice sull’asse disimmetria x = 0. Moto oscillatorio 22E Tm 2E =½kA 2E (x) U(x) = ½kxc 2 2E (x) = ½k(A -x )cU(x) x-A x 0 AMoto oscillatorio 23   1 1 k

• −
• ⟶
• ≉
• − ≥ 2 2 2 2
• Si noti che E ( x ) mv = k A x v A x 0c 2 2 m⟶ affinché la v sia reale e non immaginaria, il radicando ⠰ k − ≥ ⠰ ≥ ⠱ 2 2 2 2A x 0 A x x A
• Mcioè la particella di massa m non può oltrepassare gli estremi di oscillazione. -A 0 A > 0
• Se per assurdo fosse x A , v sarebbe immaginaria1 ⟶ ⠰ 2e la E < 0, affinché E (x ) U ( x ) kA (energia totale dell'O.A.S.). Moto oscillatorio 24 Oscillatore armonico smorzato
• In un oscillatore armonico reale (altalena o pendolo), si osserva che l'ampiezza di oscillazione si riduce col tempo. Quindi il moto di un oscillatore reale è smorzato. Ciò è dovuto al fatto che in un O.A.S. reale, oltre alla forza elastica, agisce una forza di attrito che dissipa energia meccanica, che si trasforma in energia termica.
• Questa forza di attrito, in generale, è proporzionale alla velocità, ma è diretta in verso opposto: F = -bv. "b" chiamasi

oscillatorio 27

Dalla soluzione risulta che: 2k b   (3)sm 2m 4 m

La (2) è l'equazione oraria di un M.A.S. la cui ampiezza bt A exp decresce esponenzialmente nel tempo. 2 m 

Si osservi che l'effetto dello smorzamento (i.e. b 0) è quello diridurre sia l'ampiezza che la frequenza di oscillazione:    ; .0 0 Moto oscillatorio 28b t   2 m

Il grafico di x (t ) Ae cos( t ) è:smx x (t) -bt/2mA Ae 2k b  sm 2m 4 m0 t 2 sm T-A T

Se b 0 (assenza di smorzamento), l'equazione oraria x (t )dell'oscillatote smorzato si riduce a quella di un O.A.S.:  x (t ) A cos( t ). Moto oscillatorio 292k b k     Inoltre, se b 0 sm 02m m4 mSe il coefficiente di smorzamento b è molto grande, tale che2b k  > b 2 km , allora diviene una pulsazionesm2 m4 mi mmagin ari a . In tal caso, la massa m non può oscillare e se lasi sposta

in x A lasciandola poi libera, essa si avvicina lentamente alla posizione di equilibrio x₀ e vi si arresta. x(t) = 2k b< > (i.e. b² km )²m 4 m0 t

Moto oscillatorio 30

Si è visto che per un O.A.S. l'energia meccanica totale è: 1 = m 2E kA .T 2m

Se l'oscillatore è smorzato, E non è costante, ma diminuisce nel tempo: ^{k bt} = -m 2 ^{E A expT} 2 mmET1 2kA2 t

Moto oscillatorio 31

Moto oscillatorio 32

Oscillazioni forzate e risonanza

Si è discusso di oscillazioni libere o naturali di un corpo di massa m soggetto ad una forza di richiamo.

Può anche esserci una sollecitazione periodica esterna applicata alla massa m, del tipo: ω = F F cos text 0 ext

In tal caso il sistema compie oscillazioni forzate.

Esempio: altalena θ Fextm

Moto oscillatorio 33

ω

Esempio F extextk m vF' x

Esistono 3 forze agenti su m:

= -F kx el l'equazione del moto (o di Newton)

F bv =