Fisica Medica - Moto Oscillatorio

Esempio 3:

x T

A  

 2

1 2

T’ =

0 T/2

t  

  0

1 2

A = A

-A 1 2

T’=T/2 Moto oscillatorio 15

Velocità nel moto armonico semplice

   

 

 

x t A cos t

derivando x (

t ) si ricava la v(

t ):

dx d  

 

   

v(

t ) A cos( t )

dt dt 

 

    

      

 

v(

t ) Asen ( t ) si ricordi che cos sen

 

2



    

  

v t A co s( t )

2 



 x (

t ) A cos( t )



   



Se 0  

 

v

(

t ) A cos( t )

 2

Moto oscillatorio 16



 

cioè la v(

t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla

2

posizione x (

t ). x T

A

0 t

-A v



A

0 t

T/4



A T/2 Moto oscillatorio 17

Accelerazione nel moto armonico semplice

Derivando la v(

t ) di un moto armonico semplice si ricava la

sua accelerazione:

d

v(

t ) d  

  

    

a (

t ) Ase

n ( t )

dt d t

  

  

2

a (

t ) A cos ( t )  

 

 v(

t ) Asen ( t )



   



Se 0    

    

2 2

a (

t ) A co s( t ) Asen ( t )

 2



cioè la a (

t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla v

(

t )

.

2 Moto oscillatorio 18

Si confrontino i grafici di x (

t ) , v (

t ) e a (

t ) fissando l'attenzione

sullo sfasame

nto tra i 3 grafici:

x(t) T

A

0 t

– A v(t)

A T/4

A

0 t

A A

a(t)

 A

2 0 t

 A

2 T/2 Moto oscillatorio 19

Considerazioni energetiche dell’ O.A.S.

Dal principio di conservazione dell'energia meccanica:

1 1

   

m 2 2

E E U dove E m v e U ( x ) kx

T c c 2 2

Si è trovato che:

    

     

x A cos( t ) e v A sen ( t )



1   

 

 

2 2 2

E m A sen ( t )

  



c k

2  

2

 e ricordando che

1 m



 

 

 

2 2

U (

t ) k A cos ( t )

  

2

1 1

   

    

   

m 2 2 2 2 2

E m A sen t + kA cos t

T 2 2

k

1 1

   

   

 

    

2 2 2 2

kA sen t co

s t kA

 

2 2

1

Moto oscillatorio 20

 I grafici di E (t ) e U(t ) in funzione del tempo sono i seguenti:

c 1



 m 2

 E kA

E T 2 E (t)

c

U(t)

0 t

T T

2

 1

   

    

 

2 2

Il periodo di cos t e di sen t è del periodo

2

   

   

 

T di cos t e di sen t .

Moto oscillatorio 21

Si rap

presenti E e U in funzione di x

.

c 1 1 1

     

m 2 2 2

E ( x ) E U m

v kx k

A

T c 2 2 2  

1 1 1

     

m 2 2 2 2

E ( x ) E U kA kx k A x

c T 2 2 2

 Il grafico della funzione E (x) è una parabola con la concavità

c

rivolta verso il basso e con il vertice sull’asse di simmetria x = 0.

1



 2

Il grafico della funzione è una parabola con la

U ( x ) kx

2

concavità rivolta verso l’alto e con il vertice sull’asse di

simmetria x = 0. Moto oscillatorio 22

E Tm 2

E =½kA 2

E (x) U(x) = ½kx

c 2 2

E (x) = ½k(A -x )

c

U(x) x

-A x 0 A

Moto oscillatorio 23

   

1 1 k

     

2 2 2 2 2

Si noti che E ( x ) m

v = k A x v A x 0

c 2 2 m

 affinchè la v sia r

e

a

le e non immaginaria, il radicando

 

k      

2 2 2 2

A x 0 A x x A

m

cioè la particella di massa m non può oltrepassa

re gl

i

estremi di oscillazione. -A 0 A



Se per assurdo fosse x A , v sarebbe immaginaria

1

  2

e la E < 0

, af

finchè E (

x ) U ( x ) kA (energi a

c c 2

totale d

el

l' O.A.S.). Moto oscillatorio 24

Oscillatore armonico smorzato

 In un oscillatore armonico reale (altalena o pendolo), si osserva

che l’ampiezza di oscillazione si riduce col tempo.

Quindi il moto di un oscillatore reale è smorzato.

Ciò è dovuto al fatto che in un O.A.S. reale, oltre alla forza

elastica, agisce una forza di attrito che dissipa energia

meccanica, che si trasforma in energia termica.

 v

Questa forza di attrito, in generale, è proporzionale alla , ma è

diretta in verso opposto: 

F = -b

v

“b” chiamasi costante di smorzamento e dipende sia dalle

caratteristiche fisiche del mezzo che dalla forma del corpo

di massa m. F’ F’

Il segno meno di indica che si oppone al moto.

Moto oscillatorio 25

ESEMP IO:

La forza risultante agente su m è:

k 

       

F F F ma kx b v ma

el

2 2

d x dx d x b dx k

      

m b kx 0 x 0

2 2

dt m dt m

dt dt

m k

b  

2

e ricordando che: = 0

m

2

d x b dx 

  

2 x 0 (

1)

0

2 m dt

dt



dove è la frequenza angolare naturale

0

(fre

quenza propr

ia) in assenza d

i smorzamen

to.

Moto oscillatorio 26

 è l’equazione del moto: è un’equazione differenziale

La (1)

lineare del 2° ordine, omogenea, a coefficienti costanti, la cui

soluzione è un moto oscillante dato dalla seguente equazione

oraria: b

 t  

 

2 m

x (

t ) A

e co s( t ) (

2)

sm



dove: A ampiezza del moto;

  pulsazione dell'oscillatore smorzato;

sm

  costante di fase che dipende dalle condizioni in iziali.

Moto oscillatorio 27

Dalla soluzione risulta che: 2

k b

   (3

)

sm 2

m 4 m

La (2) è l'equazione oraria di un M.A.S. la cui ampiezza

 

bt



 

A exp decresce esponenzialm

ente nel tempo.

 

2 m 

Si osservi che l'effetto dello smorzamento (i.e. b 0) è quello di

ridurre sia l'ampiezza che la frequenza di oscillazione:

   

 

; .

0 0 Moto oscillatorio 28

b

 t  

 

2 m

Il grafico di x (

t ) Ae cos( t ) è:

sm

x x (t) -bt/2m

A Ae 2

k b

  

sm 2

m 4 m

0 

t 2

 

sm T

-A T



Se b 0 (assenz

a di sm

orzam

e

n

t

o)

, l'equazione oraria x (

t )

dell'oscillatote smorzato si riduce a quella di un O.A.S

.:

 

 

x (

t ) A co

s

( t )

. Moto oscillatorio 29

2

k b k

 

     

Inoltre, se b 0 sm 0

2

m m

4 m

Se il coefficiente di smorzamento b è molto grand

e, tale che

2

b k 

 

> b 2 km , allora diviene una pulsazione

sm

2 m

4 m

i mmagin ari a . In tal c

aso, la massa m non può oscillare e se la



si sposta in x A lasciandola poi libera, essa si avvicina



lentamente alla posizione di equilibrio x 0 e vi si arresta.

x(t) 2

k b

 

(i.e. b 2 km )

2

m 4 m

0 t

Moto oscillatorio 30

Si è visto che per un O.A.S. l'energia meccanica totale è:

1



m 2

E kA .

T 2

m

Se l'oscillatore è smorzato, E non è costante, ma diminuisce

T

nel tempo:  

k bt

 

m 2  

E A exp

T  

2 m

m

E

T

1 2

kA

2 t

Moto oscillatorio 31

Moto oscillatorio 32