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PULSAZIONE O FREQUENZA ANGOLARE
Si dimostra che l'equazione oraria x(t) = A cos(ωt + φ) è soluzione dell'equazione del moto kx''(t) + mω^2x(t) = 0 solo se mω^2 = k. Quindi, al contrario di "A", dipende dai parametri fisici dell'O.A.S. (i.e. k, m). Per capire cosa è ω, poniamo t = 0 nell'equazione oraria: x(0) = A cos(φ) = A Essendo il moto periodico, x(t) = x(t + T); cioè lo spostamento x(t) riassume lo stesso valore quando è trascorso un periodo T. Moto oscillatorio: x(t) = A cos(ωt) x(t + T) = A cos(ω(t + T)) ωt + ωT = ωt + 2π ωT = 2π Quindi, ω = 2π/T = 2πf, dove f è la frequenza del moto. Quindi, ω^2 = (2πf)^2 = 4π^2f^2 Ma sappiamo che mω^2 = k, quindi: mω^2 = k m(4π^2f^2) = k Quindi, ω è legata alla pulsazione del moto oscillatorio tramite la relazione ω = 2πf e alla costante elastica k e alla massa m tramite la relazione mω^2 = k.alla frequenza di oscillazione dell'O.A.S.e dipende da k ed m. Moto oscillatorio 11COSTANTE DI FASE La quantità ( t + ) chiamasi fase del moto. La costante di fase dipende dalla posizione x della particellaall'istante inizialem t = 0.
Moto oscillatorio 12Esempio 1:x =01 T A =2 2 1 2 1 2t2TT A = A1 2-A Se: 0 x (t ) A cos t1 1 x (t ) A cos t Asen ( t )2 2 2 2l' O.A.S. "2" è in ritardo di fase di rispetto all' O.A.S. "1".2Moto oscillatorio 13Esempio 2:x TA1A 2 1 2 01 20 t A A1 2-A2-A1 Moto oscillatorio 14Esempio 3:x TA 21 2T' =0 T/2t 01 2A = A-A 1 2T'=T/2 Moto oscillatorio 15Velocità nel moto armonico semplice x t A cos tderivando x (t ) si ricava la v(t ):dx d v(t ) A
cos( t )dt dt π⃦⃧ ⃧ω ωϕ α α= - + + = - ⃞⃨⃧⃧v(t ) Asen ( t ) si ricordi che cos sen⃦⃨⃧⃧2π( ) ω ωϕ= + +v t A co s( t )2 ω=⃬ x (t ) A cos( t )ϕ = ⃞ π⃭Se 0 ω ω= +v(t ) A cos( t )⃭⃮ 2Moto oscillatorio 16πϕ =cioè la v(t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla2posizione x (t ). x TA0 t-A v+ωA0 tT/4-ωA T/2 Moto oscillatorio 17Accelerazione nel moto armonico sempliceDerivando la v(t ) di un moto armonico semplice si ricava lasua accelerazione:dv(t ) d [ ]ω ωϕ= = - + ⃞a (t ) Asen ( t )dt d tω ωϕ= - +2a (t ) A cos ( t ) ω ω= -⃬ v(t ) Asen ( t )ϕ = ⃞ π⃭Se 0 ω ω ω ω= - = - +2 2a (t ) A co s( t ) Asen ( t )⃭⃮ 2πcioè la a (t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla v(t ).2 Moto oscillatorio 18Si confrontino i grafici di x (t ) , v (t ) e a (t ) fissando l'attenzionesullo sfasamento tra i
3 grafici: 1. x(t) = A cos(ωA0 t) 2. v(t) = ωA0 A sin(ωA0 t) 3. a(t) = ωA0^2 A cos(ωA0 t) Moto oscillatorio: Considerazioni energetiche dell' O.A.S. Dal principio di conservazione dell'energia meccanica: 1/2 m v^2 + 1/2 k x^2 = E dove E è l'energia totale, m è la massa, v è la velocità, k è la costante elastica del sistema e x è la posizione. Si è trovato che: ω = ωA0 ϕ = ωA0 t x(t) = A cos(ωA0 t) v(t) = A ωA0 sin(ωA0 t) a(t) = -A ωA0^2 cos(ωA0 t) E(t) = 1/2 m A^2 ωA0^2 sin^2(ωA0 t) U(t) = 1/2 k A^2 cos^2(ωA0 t) E(t) + U(t) = 1/2 m A^2 ωA0^2 + 1/2 k A^2 Il periodo di cos(ωA0 t) e di sin(ωA0 t) è del periodo T/2. I grafici di E(t) e U(t) in funzione del tempo sono i seguenti: Grafico di E(t): E(t) = 1/2 m A^2 ωA0^2 sin^2(ωA0 t) 0 ≤ t ≤ T/2 Grafico di U(t): U(t) = 1/2 k A^2 cos^2(ωA0 t) 0 ≤ t ≤ T/2cos t e di sen t .
Moto oscillatorio 21
Si rappresenti E e U in funzione di x.
c = 1
1 = 1 + 1
2
E ( x ) = E - U = mv2 - kx2
2
E ( x ) = E - U = kA - kx2
cT
2
Il grafico della funzione E (x) è una parabola con la concavità rivolta verso il basso e con il vertice sull'asse di simmetria x = 0.
1
2
Il grafico della funzione U ( x ) = kx2 è una parabola con la concavità rivolta verso l'alto e con il vertice sull'asse di simmetria x = 0.
Moto oscillatorio 22
E = Tm = 2E = ½kA
2
E (x) = U(x) = ½kxc
2
E (x) = ½k(A -x )c
U(x) = x-A
x 0 A
Moto oscillatorio 23
k = 1
1 = - 1
2
2
Si noti che E ( x ) = mv2 = k A x v A x 0c
2
m
A x 0 A x x A
mcioè la particella di massa m non può oltrepassare gli estremi di oscillazione. -A 0 A
>
assurdo fosse x A , v sarebbe immaginaria1 2e la E < 0, affinchè E (x ) U ( x ) kA (energi ac c 2totale dell' O.A.S.).
Moto oscillatorio 24Oscillatore armonico smorzato In un oscillatore armonico reale (altalena o pendolo), si osservache l’ampiezza di oscillazione si riduce col tempo.Quindi il moto di un oscillatore reale è smorzato.Ciò è dovuto al fatto che in un O.A.S. reale, oltre alla forzaelastica, agisce una forza di attrito che dissipa energiameccanica, che si trasforma in energia termica.
vQuesta forza di attrito, in generale, è proporzionale alla , ma èdiretta in verso opposto: F = -bv“b” chiamasi costante di smorzamento e dipende sia dallecaratteristiche fisiche del mezzo che dalla forma del corpodi massa m. F’ F’Il segno meno di indica che si oppone al moto.
Moto oscillatorio 25ESEMP IO:La forza risultante agente su m è:k F F F ma kx b v
mael2 2d x dx d x b dx k m b kx 0 x 02 2dt m dt mdt dtm kb 2e ricordando che: = 0m2d x b dx 2 x 0 (1)02 m dtdtdove è la frequenza angolare naturale0(frequenza propria) in assenza di smorzamento.Moto oscillatorio 26 è l'equazione del moto: è un'equazione differenzialeLa (1)lineare del 2° ordine, omogenea, a coefficienti costanti, la cuisoluzione è un moto oscillante dato dalla seguente equazioneoraria: b t 2 mx (t ) Ae co s( t ) (2)smdove: A ampiezza del moto; pulsazione dell'oscillatore smorzato;sm costante di fase che dipende dalle condizioni in iziali.Moto oscillatorio 27Dalla soluzione risulta che: 2k b (3)sm 2m 4 mLa (2) è l'equazione oraria di un M.A.S. la cui ampiezza bt A exp decresce esponenzialmente nel tempo. 2 m Si osservi che l'effetto dello smorzamento (i.e. b 0) è quellodiridurre sia l'ampiezza che la frequenza di oscillazione: ω ≠ ω₀;
Moto oscillatorio 28b - t ω φ = +2 m
Il grafico di x(t) Ae cos(t) è: smx x(t) -bt/2mA Ae 2k bω = -sm 2m 4 m₀ πt 2ω = sm T-A T
Se b = 0 (assenza di smorzamento), l'equazione oraria x(t) dell'oscillatore smorzato si riduce a quella di un O.A.S.: ω φ = +x(t) A cos(t).
Moto oscillatorio 292k b kω ω = ⇒ = - =
Inoltre, se b ≫ 0 (i.e. b ≫ 2km), allora diviene una pulsazione immaginaria. In tal caso, la massa m non può oscillare e se la si sposta in xA lasciandola poi libera, essa si avvicina lentamente alla posizione di equilibrio x₀ e vi si arresta.
x(t) 2k b ≪ (i.e. b ≪ 2km) 2m 4 m₀ t
Moto oscillatorio 30
Si è visto che per un O.A.S. l'energia meccanica totale è: 1 = m 2E kA.T 2m
Se l'oscillatore
è smorza
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