Fisica Medica - moto oscillatorio

MOTO OSCILLATORIO

Moto oscillatorio 1

Definizioni

 MOTO PERIODICO: si ripete ad intervalli uguali di tempo

(es.: moto circolare uniforme, rotazione di un pianeta).

 MOTO OSCILLATORIO: è un moto periodico in cui si

ripercorre la stessa traiettoria muovendosi avanti e

indietro sullo stesso percorso (es.: moto del pendolo).

Moto oscillatorio 2

Oscillatore armonico semplice

Si consideri una particella di

k m massa m oscillante tra due punti

 

x e x in presenza di una

-x O +x m m

m m    

for

za elasti ca: F x kx

 

F kx

m Un punto materiale che si

-x O +x

m m muove con questo tipo di forza

 

F kx chiamasi : oscillato re armonico

m semplice (O.A.S.).

x

-x O +x

m m

Moto oscillatorio 3

 L’oscillatore armonico semplice è importante per due motivi:

a) ogni problema in cui esistono delle oscillazioni si riduce ad un

intorno all’origine;

O.A.S. per piccole ampiezze di vibrazione

b) O.A.S. si incontrano in tutti i campi della Fisica : Meccanica,

Acustica, Ottica, Elettromagnetismo, Fisica nucleare, Medicina

nucleare etc.). Moto oscillatorio 4

Equazione del moto di un O.A.S.

   

Per la seconda legge di Newton: F m a c

on F kxi

  2

d

v d dx d x

      

 

(in modulo

) F kx ma m m m

  2

dt dt dt dt

2 2

d x d x

    

F m kx m

2 2

dt dt

2 2

d x d x k

    

m kx x

2 2 m

dt d t

Quindi per ogni m soggetta a

d una forza di richiamo, vale tale

equazione del moto. Moto oscillatorio 5

Equazione oraria dell’ O.A.S.

   

L'equazione oraria x t dell'O.A.S. deve essere una f t tale che

 

la sua derivata seconda è la stessa x t cambiata di segno, a parte

   

 

la costante k / m

. Le funzioni f t sen t e f t cos t

sodd

isfano questa proprietà. Infatti :

d

     



   

se f t sen t f t sen t cos t

dt

d

   

   

f t cos t se

n t

dt

d

     



    

se f t cos t f t cos t sen t

dt

d

   

    

f t sen t cos t

dt

Moto oscillatorio 6

 

L'equazione oraria x t dell'O.A.

S. è in generale:

   

 

 

x t A cos t

 

 

A

, , sono delle costanti così def inite:



A ampiezza dell'oscilla

zione

  pulzazione oppur

e frequenza ango

lare

  costante di fase del moto

x

x = A T

m 0 t

-x = -A

m Moto oscillatorio 7

 

Significato fisico di A, ,

 

Abbiamo visto che l'equazione oraria x t dell'O.A.S. è in generale:

   

 

 

x t A cos t

AMPIEZZA DI OSCILLAZIONE A

 

    

 

Per t 0, , 2 .......... n :

 

 

     

cos t 1 x(t) A

A rappresenta il max val

ore dello sposta

mento x nei due versi

opp

o

sti, durante l'oscillazione di m

.

Moto oscillatorio 8

 “A” dipende dall’energia impressa all’oscillazione

x

A’ T

A 

x’(t) = A’ cos( t)

0 

x(t) = A cos( t)

t

-A

-A’ 

I due moti armonici x'(t) e x(t) hanno la stessa , ma

ampiezza diversa. Moto oscillatorio 9



PULSAZIONE O FREQUENZA ANGOLARE

   

 

 

Si dimostra che l'equazione oraria x t A cos t

2

d x

 

è soluzione dell'equazione del moto kx m 2

dt

k

 

2

solo se m 

Quindi, al contrario di "

A

" , dipende dai parametri fisici

dell'O.A.S. (i.e. k , m )

.

   

Per capire cosa è , poniamo 0 nell'equazione oraria

 

ωt

x(t) = A cos

  

essendo il moto periodic

o x (

t ) x (

t T);

cioè lo sp

osta

m

ento x (

t ) riassume lo stesso valore quando è



trascorso un periodo T Moto oscillatorio 10



 

x (

t ) A cos( t )    

 

 

  

 A cos t A cos t T

 

 



 

   

x (

t T) A cos t T

  

   

    

    

cos t cos t T T 2

(infatti la funzione coseno riprende lo ste