Fisica Medica - moto oscillatorio

Moto oscillatorio

Moto oscillatorio 1

Definizioni

• Moto periodico: si ripete ad intervalli uguali di tempo (es.: moto circolare uniforme, rotazione di un pianeta).
• Moto oscillatorio: è un moto periodico in cui si ripercorre la stessa traiettoria muovendosi avanti e indietro sullo stesso percorso (es.: moto del pendolo).

Moto oscillatorio 2

Oscillatore armonico semplice

Si consideri una particella di k m massa m oscillante tra due punti  x e x in presenza di una -x O +x m mm m     forza elastica: F x kx F kxm Un punto materiale che si -x O +xm m muove con questo tipo di forza  F kx chiamasi: oscillatore armonico semplice (O.A.S.). x-x O +xm m

Moto oscillatorio 3

L’oscillatore armonico semplice è importante per due motivi:

a) ogni problema in cui esistono delle oscillazioni si riduce ad un O.A.S. per piccole ampiezze di vibrazione intorno all’origine;

b) O.A.S. si incontrano in tutti i campi della Fisica: Meccanica, Acustica, Ottica, Elettromagnetismo, Fisica nucleare, Medicina nucleare etc.).

Moto oscillatorio 4

Equazione del moto di un O.A.S.

   Per la seconda legge di Newton: F m a con F kxi  2dv d dx d x       (in modulo) F kx ma m m m  2dt dt dt dt² 2d x d x    F m kx m2 2dt dt² 2d x d x k    m kx x2 2 mdt d t

Quindi per ogni m soggetta ad una forza di richiamo, vale tale equazione del moto.

Moto oscillatorio 5

Equazione oraria dell’O.A.S.

   L'equazione oraria x t dell'O.A.S. deve essere una f t tale che  la sua derivata seconda è la stessa x t cambiata di segno, a parte     la costante k / m. Le funzioni f t sen t e f t cos t soddisfano questa proprietà. Infatti:

d        se f t sen t f t sen t cos t dtd      f t cos t sen tdt

         se f t cos t f t cos t sen t dtd       f t sen t cos tdt

Moto oscillatorio 6

 L'equazione oraria x t dell'O.A.S. è in generale:      x t A cos t

  A, , sono delle costanti così definite:

• A ampiezza dell'oscillazione
•   pulzazione oppure frequenza angolare
•   costante di fase del moto

xx = A Tm 0 t-x = -Am

Moto oscillatorio 7

Significato fisico di A, , 

 Abbiamo visto che l'equazione oraria x t dell'O.A.S. è in generale:      x t A cos t

Ampiezza di oscillazione A

      Per t 0, , 2 .......... n:        cos t 1 x(t) A

A rappresenta il max valore dello spostamento x nei due versi opposti, durante l'oscillazione di m.

Moto oscillatorio 8

“A” dipende dall’energia impressa all’oscillazione xA’ TA x’(t) = A’ cos( t)0 x(t) = A cos( t)t-A-A’ I due moti armonici x'(t) e x(t) hanno la stessa , ma ampiezza diversa.

Moto oscillatorio 9

Pulsazione o frequenza angolare

      Si dimostra che l'equazione oraria x t A cos t 2d x è soluzione dell'equazione del moto kx m 2dt k 2 solo se m 

Quindi, al contrario di "A",  dipende dai parametri fisici dell'O.A.S. (i.e. k, m).

   Per capire cosa è , poniamo 0 nell'equazione oraria  ωtx(t) = A cos   essendo il moto periodico x (t ) x (t T); cioè lo spostamento x (t ) riassume lo stesso valore quando è trascorso un periodo T

Moto oscillatorio 10

 x (t ) A cos( t )         A cos t A cos t T       x (t T) A cos t T              cos t cos t T T 2(infatti la funzione coseno riprende lo ste