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PULSAZIONE O FREQUENZA ANGOLARE

   

 

 

Si dimostra che l'equazione oraria x t A cos t

2

d x

 

è soluzione dell'equazione del moto kx m 2

dt

k

 

2

solo se m 

Quindi, al contrario di "

A

" , dipende dai parametri fisici

dell'O.A.S. (i.e. k , m )

.

   

Per capire cosa è , poniamo 0 nell'equazione oraria

 

ωt

x(t) = A cos

  

essendo il moto periodic

o x (

t ) x (

t T);

cioè lo sp

osta

m

ento x (

t ) riassume lo stesso valore quando è

trascorso un periodo T Moto oscillatorio 10

 

x (

t ) A cos( t )    

 

 

  

 A cos t A cos t T

 

 

 

   

x (

t T) A cos t T

  

   

    

    

cos t cos t T T 2

(infatti la funzione coseno riprende lo stesso valore quando il suo

argomento s' incrementa di 2 rad)

2 k 1 k

 

     

2 f f 

T m 2 m

quindi è legata al

la frequenza di oscillazione dell'O.A.S.

e dipende da k ed m

. Moto oscillatorio 11

COSTANTE DI FASE

 

 La quantità ( t + ) chiamasi fase del moto.

 La costante di fase dipende dalla posizione x della particella

all’istante iniziale

m t = 0.

Moto oscillatorio 12

Esempio 1:

x  =0

1 

T 

A =

2 2  

1 2

 

1 2

t

2T

T A = A

1 2

-A  

 

  

Se: 0 x (

t ) A cos t

1 1

 

 

  

     

 

x (

t ) A cos t Asen ( t )

2 2  

2 2

l' O.A.S. "2" è in ritardo di fa

se di rispetto all' O.A

.S. "1".

2

Moto oscillatorio 13

Esempio 2:

x T

A

1

A  

2 1 2

 

  0

1 2

0 t 

A A

1 2

-A

2

-A

1 Moto oscillatorio 14

Esempio 3:

x T

A  

 2

1 2

T’ =

0 T/2

t  

  0

1 2

A = A

-A 1 2

T’=T/2 Moto oscillatorio 15

Velocità nel moto armonico semplice

   

 

 

x t A cos t

derivando x (

t ) si ricava la v(

t ):

dx d  

 

   

v(

t ) A cos( t )

dt dt 

 

    

      

 

v(

t ) Asen ( t ) si ricordi che cos sen

 

2

    

  

v t A co s( t )

2 

 x (

t ) A cos( t )

   

Se 0  

 

v

(

t ) A cos( t )

 2

Moto oscillatorio 16

 

cioè la v(

t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla

2

posizione x (

t ). x T

A

0 t

-A v



A

0 t

T/4



A T/2 Moto oscillatorio 17

Accelerazione nel moto armonico semplice

Derivando la v(

t ) di un moto armonico semplice si ricava la

sua accelerazione:

d

v(

t ) d  

  

    

a (

t ) Ase

n ( t )

dt d t

  

  

2

a (

t ) A cos ( t )  

 

 v(

t ) Asen ( t )

   

Se 0    

    

2 2

a (

t ) A co s( t ) Asen ( t )

 2

cioè la a (

t ) è sfasata di in anticipo rispetto alla v

(

t )

.

2 Moto oscillatorio 18

Si confrontino i grafici di x (

t ) , v (

t ) e a (

t ) fissando l'attenzione

sullo sfasame

nto tra i 3 grafici:

x(t) T

A

0 t

– A v(t)

A T/4

A

0 t

A A

a(t)

 A

2 0 t

 A

2 T/2 Moto oscillatorio 19

Considerazioni energetiche dell’ O.A.S.

Dal principio di conservazione dell'energia meccanica:

1 1

   

m 2 2

E E U dove E m v e U ( x ) kx

T c c 2 2

Si è trovato che:

    

     

x A cos( t ) e v A sen ( t )

1   

 

 

2 2 2

E m A sen ( t )

  

c k

2  

2

 e ricordando che

1 m

 

 

 

2 2

U (

t ) k A cos ( t )

  

2

1 1

   

    

   

m 2 2 2 2 2

E m A sen t + kA cos t

T 2 2

k

1 1

   

   

 

    

2 2 2 2

kA sen t co

s t kA

 

2 2

1

Moto oscillatorio 20

 I grafici di E (t ) e U(t ) in funzione del tempo sono i seguenti:

c 1

 m 2

 E kA

E T 2 E (t)

c

U(t)

0 t

T T

2

 1

   

    

 

2 2

Il periodo di cos t e di sen t è del periodo

2

   

   

 

T di cos t e di sen t .

Moto oscillatorio 21

Si rap

presenti E e U in funzione di x

.

c 1 1 1

     

m 2 2 2

E ( x ) E U m

v kx k

A

T c 2 2 2  

1 1 1

     

m 2 2 2 2

E ( x ) E U kA kx k A x

c T 2 2 2

 Il grafico della funzione E (x) è una parabola con la concavità

c

rivolta verso il basso e con il vertice sull’asse di simmetria x = 0.

1

 2

Il grafico della funzione è una parabola con la

U ( x ) kx

2

concavità rivolta verso l’alto e con il vertice sull’asse di

simmetria x = 0. Moto oscillatorio 22

E Tm 2

E =½kA 2

E (x) U(x) = ½kx

c 2 2

E (x) = ½k(A -x )

c

U(x) x

-A x 0 A

Moto oscillatorio 23

   

1 1 k

     

2 2 2 2 2

Si noti che E ( x ) m

v = k A x v A x 0

c 2 2 m

 affinchè la v sia r

e

a

le e non immaginaria, il radicando

 

k      

2 2 2 2

A x 0 A x x A

m

cioè la particella di massa m non può oltrepassa

re gl

i

estremi di oscillazione. -A 0 A

Se per assurdo fosse x A , v sarebbe immaginaria

1

  2

e la E < 0

, af

finchè E (

x ) U ( x ) kA (energi a

c c 2

totale d

el

l' O.A.S.). Moto oscillatorio 24

Oscillatore armonico smorzato

 In un oscillatore armonico reale (altalena o pendolo), si osserva

che l’ampiezza di oscillazione si riduce col tempo.

Quindi il moto di un oscillatore reale è smorzato.

Ciò è dovuto al fatto che in un O.A.S. reale, oltre alla forza

elastica, agisce una forza di attrito che dissipa energia

meccanica, che si trasforma in energia termica.

 v

Questa forza di attrito, in generale, è proporzionale alla , ma è

diretta in verso opposto: 

F = -b

v

“b” chiamasi costante di smorzamento e dipende sia dalle

caratteristiche fisiche del mezzo che dalla forma del corpo

di massa m. F’ F’

Il segno meno di indica che si oppone al moto.

Moto oscillatorio 25

ESEMP IO:

La forza risultante agente su m è:

k 

       

F F F ma kx b v ma

el

2 2

d x dx d x b dx k

      

m b kx 0 x 0

2 2

dt m dt m

dt dt

m k

b  

2

e ricordando che: = 0

m

2

d x b dx 

  

2 x 0 (

1)

0

2 m dt

dt

dove è la frequenza angolare naturale

0

(fre

quenza propr

ia) in assenza d

i smorzamen

to.

Moto oscillatorio 26

 è l’equazione del moto: è un’equazione differenziale

La (1)

lineare del 2° ordine, omogenea, a coefficienti costanti, la cui

soluzione è un moto oscillante dato dalla seguente equazione

oraria: b

 t  

 

2 m

x (

t ) A

e co s( t ) (

2)

sm

dove: A ampiezza del moto;

  pulsazione dell'oscillatore smorzato;

sm

  costante di fase che dipende dalle condizioni in iziali.

Moto oscillatorio 27


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AUTORE

kalamaj

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica Medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (a ciclo unico - 6 anni)
SSD:
Università: Foggia - Unifg
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Capozzi Vito.

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