Appunti di Fisica I sul moto oscillatorio

Moto oscillatorio

Se la forza che agisce su una particella varia col tempo, anche l’accelerazione della particella varia col tempo, e le equazioni della cinematica non si possono usare. Un particolare tipo di moto periodico avviene quando la forza che agisce su una particella è sempre diretta verso la posizione di equilibrio e proporzionale alla distanza della particella dalla posizione di equilibrio. Quando questo tipo di forza agisce su una particella, essa mostra un moto armonico semplice, che ci servirà come un modello di analisi per una vasta classe di problemi sulle oscillazioni.

Moto di un corpo collegato a una molla

Per il moto armonico semplice, si considera un blocco di massa m attaccato all’estremità di una molla con il blocco libero di muoversi su una superficie orizzontale priva di attrito, come in figura. Se la molla non è né allungata né compressa, il blocco è fermo nella posizione chiamata posizione di equilibrio del sistema, che si identifica come x = 0, come in figura b. Si sa che tale sistema oscilla avanti e indietro se perturbato dalla sua posizione di equilibrio.

Si può comprendere qualitativamente il moto oscillante del blocco nella figura ricordando anzitutto che quando il blocco viene portato in una posizione x, la molla esercita sul blocco una forza che è proporzionale alla posizione ed è data dalla legge di Hooke:
= − Si chiama F forza di richiamo poiché essa è sempre diretta verso la posizione di equilibrio e quindi si oppone allo spostamento del blocco dall’equilibrio.

Forza di richiamo

Cioè, quando il blocco è spostato a destra di x = 0 nella figura a, la posizione è positiva e la forza di richiamo è diretta verso sinistra. Quando il blocco è spostato alla sinistra di x = 0 come in figura c, la posizione è negativa e la forza di richiamo è diretta verso destra. Quando il blocco è spostato dalla posizione di equilibrio ed è lasciato libero di muoversi, la particella è soggetta a una forza risultante e ha quindi un’accelerazione.

Applicando la seconda legge di Newton al moto del blocco e prendendo dall’equazione precedente la forza risultante nella direzione x, si otterrà:
= − Cioè, l’accelerazione del blocco è proporzionale alla sua posizione e il verso dell’accelerazione è opposto a quello dello spostamento del blocco dal punto di equilibrio. Si dice che sistemi che si comportano in questo modo esibiscono un moto armonico semplice.

Ciclo di oscillazione

Un corpo si muove di moto armonico semplice quando la sua accelerazione è proporzionale alla sua posizione ed ha verso opposto allo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio. Se il blocco nella figura precedente è spostato nella posizione x = A e rilasciato da fermo, la sua accelerazione iniziale è -kA/m. Quando il blocco passa per la posizione di equilibrio x = 0, la sua accelerazione è nulla. In quell’istante, il modulo della sua velocità è massimo poiché l’accelerazione cambia di segno. Il blocco allora continua a muoversi a sinistra della sua posizione di equilibrio con un’accelerazione positiva e infine raggiunge la posizione x = -A; in tale istante, la sua accelerazione è +kA/m. Il blocco completa un intero ciclo del suo moto ritornando alla posizione iniziale, passando ancora per x = 0 con velocità massima. Quindi, il blocco oscilla fra i due punti di inversione x = ±A. In assenza di attrito, poiché la forza esercitata dalla molla è conservativa, questo moto ideale continuerà per sempre. I sistemi reali sono generalmente soggetti all’attrito, e quindi non possono oscillare per sempre.

Modello di analisi: particella in moto armonico semplice

Il moto descritto precedentemente è così frequente che per descrivere simili situazioni si introduce il modello di una particella in moto armonico semplice. Per sviluppare una rappresentazione matematica di questo modello, si sceglie x come l’asse lungo il quale avviene l’oscillazione; quindi si evita il pedice x nella notazione successiva. Si ricorda che, per definizione, a = dv/dt = d²x/dt², e quindi si può esprimere l’equazione precedente come:

2 = −2
Se si sostituisce il rapporto k/m con il simbolo ω si ha:
2 = 2 ω
e l’equazione precedente si può scrivere nella forma:
d²x/dt² = −ω²x

Soluzione matematica

Si trova una soluzione matematica dell’equazione precedente, cioè, una funzione x(t) che soddisfi l’equazione differenziale del secondo ordine e rappresenti matematicamente la posizione della particella in funzione del tempo. Si cerca una funzione x(t) la cui derivata seconda sia uguale alla funzione stessa originaria di segno negativo e moltiplicata per ω². La funzione coseno che segue è una soluzione dell’equazione differenziale:

x(t) = A cos(ωt + Φ)
dove A, ω, e Φ sono delle costanti. Per dimostrare esplicitamente che questa soluzione soddisfa l’equazione, si noti che:

d²x/dt² = −ω² A cos(ωt + Φ)