Appunti di Fisica I sul moto oscillatorio

ARMONICO SEMPLICE

Il moto descritto precedentemente è così frequente che per descrivere simili situazioni si introduce il modello di una particella in moto armonico

semplice. Per sviluppare una rappresentazione matematica di questo modello, si sceglie x come l’asse lungo il quale avviene l’oscillazione; quindi si

evita il pedice x nella notazione successiva. Si ricorda che, per definizione, a = dv/dt = d x/dt , e quindi si può esprimere l’equazione precedente

2 2

come:

2 = −

2

Se si sostituisce il rapporto k/m con il simbolo ω si ha:

2

2 =

e l’equazione precedente si può scrivere nella forma:

2

2

= −

2

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

Si trova una soluzione matematica dell’equazione precedente, cioè, una funzione x(t) che soddisfi l’equazione differenziale del secondo ordine e

rappresenti matematicamente la posizione della particella in funzione del tempo. Si cerca una funzione x(t) la cui derivata seconda sia uguale alla

funzione stessa originaria di segno negativo e moltiplicata per ω . La funzione coseno che segue è una soluzione dell’equazione differenziale:

2

( )

( ) = cos + 2

dove A, ω, e Φ sono delle costanti. Per dimostrare esplicitamente che questa soluzione soddisfa l’equazione , si noti che:

2

= −

2

( ) ( )

= cos + = − sin +

2 ( ) ( )

2

= − sin + = − cos +

2 2

( ) ( ) ( )

Confrontando le equazioni e , si nota che d x/dt = - ω x e

2 2 2

2

( ) = cos + = − sin + = − cos +

2

2

l’equazione è soddisfatta.

2

= −

2

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

I parametri A, ω, e Φ sono costanti del moto. Per dare significato fisico a queste

costanti, è conveniente predisporre una rappresentazione grafica del moto disegnando

un grafico di x in funzione di t, come in figura a. Per prima cosa si nota che A, detta

ampiezza del moto, è semplicemente il valore massimo della posizione della particella

nella direzione x sia positiva che negativa. La costante ω si chiama frequenza

angolare e ha unità di radianti al secondo (rad/s). Essa è una misura della rapidità

con cui si verificano le oscillazioni; maggiore è il numero di oscillazioni nell’unità di

tempo, più alto è il valore di ω. Dall’equazione , la frequenza angolare è:

2 =

=

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

L’angolo costante Φ si chiama costante di fase (o angolo di fase iniziale) e,

insieme con l’ampiezza A, è determinato unicamente dalla posizione e dalla velocità

della particella a t = 0. Se la particella si trova nella sua posizione massima x = A a t

= 0, la costante di fase è Φ = 0 e la rappresentazione grafica del moto è mostrata

nella figura b. La quantità (ωt + Φ) è detta fase del moto. Si noti che la funzione x(t)

è periodica e il suo valore è lo stesso ogni volta che ωt aumenta di 2π radianti. Il

periodo T del moto è il tempo necessario alla particella per compiere un ciclo

completo del suo moto, come nella figura precedente. Cioè, i valori di x e v per la

particella al tempo t sono uguali ai valori di x e v al tempo t + T. Siccome la fase

aumenta di 2π radianti nell’intervallo di tempo T:

[ ] ( )

( )+

+ − + =2

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

Semplificando l’espressione precedente, si ha che ωT = 2π:

2

=

L’inverso del periodo si chiama frequenza f del moto. Mentre il periodo è l’intervallo di tempo per una oscillazione, la frequenza rappresenta il numero di oscillazioni che la particella compie nell’unità di tempo:

1

= = 2

Le unità di f sono i cicli per secondo, o hertz (Hz). Riordinando l’equazione precedente si ha:

2

=2 =

Possiamo usare le equazioni precedenti segnate in rosso per esprimere il periodo e la frequenza del moto di una particella in moto armonico semplice in funzione delle caratteristiche m e k del sistema come:

( )

2

= =2

1 1

= =

2

Cioè, il periodo e la frequenza dipendono soltanto dalla massa della particella e dalla costante elastica della molla, e non dipendono dai parametri del moto, come A oppure Φ.

Due grafici x -t per particelle che si muovono di Un grafico x -t per una particella che si muove di moto

moto armonico semplice. Le ampiezze e le armonico semplice. In un istante particolare, la

frequenze per queste due particelle sono diverse. posizione della particella è indicata da A nel grafico.

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE ( ) ( )

Si può ottenere la velocità e l’accelerazione di una particella sottoposta a un moto armonico semplice dalle equazioni e

= cos + = − sin +

2 ( ) ( ) :

2

= − sin + = − cos +

2 ( )

= = − +

2 2

= = − ( + )

2 ( )

Dall’equazione si nota che, poiché le funzioni seno e coseno oscillano fra ± 1, i valori estremi di v sono ± ωA. Similmente, l’equazione

= = − +

2 ( ) dice che i valori estremi dell’accelerazione sono ± ω A. Quindi, i valori massimi della velocità e dell’accelerazione sono:

2

2

= = − +

2

= =

2

= =

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

La figura a è un grafico della posizione in funzione del tempo per un valore

arbitrario della costante di fase. Le curve associate velocità-tempo e

accelerazione-tempo sono illustrate nelle figure b e c rispettivamente. Esse

mostrano che la fase della velocità differisce dalla fase della posizione di π/2 rad,

ossia 90°. Cioè, quando x è un massimo o un minimo, la velocità è zero.

Analogamente, quando x è zero, la velocità è massima. Inoltre, si noti che la fase

dell’accelerazione differisce dalla fase della posizione di π radianti, ossia 180°.

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

Si suppone di far iniziare il moto tirando il blocco fino a una distanza A

dalla posizione di equilibrio e di rilasciarlo da fermo a t = 0, come nella

figura in basso. Bisogna allora che le soluzioni per x(t) e v(t) obbediscano

alle condizioni iniziali x(0) = A e v(0) = 0:

(0) = =

(0) = − =0

Queste condizioni sono soddisfatte se scegliamo Φ = 0, dando x =

Acosωt come soluzione. Per provare questa soluzione, si nota che essa

soddisfa la condizione x(0) = A, poiché cos0 = 1.

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

L’accelerazione raggiunge i suoi valori estremi di A quando la posizione ha i suoi valori estremi di ±A.

2

∓ω

Inoltre, la velocità ha i suoi valori estremi di ±ωA, quando x = 0. Quindi, la soluzione quantitativa concorda

con la descrizione qualitativa del sistema. Si considera un’altra possibilità. Si suppone che il sistema stia

oscillando e di definire t = 0 l’istante in cui il blocco passa per la posizione distesa della molla muovendosi

verso destra, come in figura. Si deve richiedere che la soluzione per x(t) e v(t) obbedisca alle condizioni

iniziali x(0) = 0 e v(0) = vi:

(0) = =0

(0) = − =

La prima di queste condizioni ci dice che Φ = ± π/2. Con questo valore di Φ, la seconda condizione ci

dice che A = /ω. Poiché la velocità iniziale è positiva e l’ampiezza deve essere positiva, bisogna avere

∓v i

che Φ = - π/2. Quindi, la soluzione è data da:

( )

= cos −

2

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO

ARMONICO SEMPLICE

La figura b mostra i grafici di posizione, velocità e

accelerazione in funzione del tempo per questa scelta di

t = 0. Si noti che queste curve sono le stesse di quelle

in figura a, ma spostate verso destra di un quarto di

ciclo. Ciò è descritto matematicamente dalla costante di

fase Φ = -π/2, che è un quarto di un ciclo completo di

2π. ENERGIA DI UN OSCILLATORE ARMONICO

SEMPLICE

Si esamina l’energia meccanica di un sistema in cui una particella si muove di moto armonico semplice, come il sistema blocco-molla in figura. Poiché la superficie è priva d’attrito,

( )

il sistema è isolato e l’energia meccanica totale del sistema è costante. Si usa l’equazione per esprimere l’energia cinetica del blocco come:

= = − +

1 1 ( )

2 2 2 2

= = +

2 2 2 ( )

L’energia potenziale elastica immagazzinata nella molla per ogni allungamento x è data da ½kx . usando l’equazione si ha:

2

2 = = − +

2

1 1 ( )

2 2

= = +

2

2 2

Vediamo che K e U sono sempre grandezze positive o nulle. Siccome ω = k/m, si può esprimere l’energia totale dell’oscillatore armonico semplice come:

2

1 [ ]

( ) ( )

2 2

= + = + + +

2

2

Dall’id