Fisica Medica - Dinamica Rotazionale

DINAMICA ROTAZIONALE

Dinamica rotazionale 1

Energia cinetica rotazionale di una particella

 Sia m la massa di una particella che ruota su



di una circonf. di raggio R nel piano (x, y),

intorno all’asse z, passante per il centro O della



circonfer., con vel. angolare costante in senso

1

antiorario

z  2

L'energia cinetica di m è E m

v .

c 2

Si ricordi che nel moto circ. uniforme

 

 

v R  

1 1 1

y  

R   

2

2 2 2

E = m

v = m R = mR

m c

v 2 2 2

x 1  2

E = I

c 2

Dinamica rotazionale 2

2

dove la grandezza fisica I = mR chiamasi

momento d’inerzia intorno all’asse

della massa m

di rotazione z.

 Il momento d’inerzia I è l’equivalente della massa



M del moto traslatorio ( M inerzia traslazionale)

2

kg m (S.I.)

  2

I M L 2

gr cm (Gauss)

Dinamica rotazionale 3

Energia cinetica rotazionale e

momento d’inerzia di un corpo rigido

z Si consideri un corpo rigido

v i  

che ruota con co

st .

r m

i intorno ad un asse fisso,

i

 rispetto ad un sistema di

riferimento ine

r

zi al

e.

y

Si consideri il corpo rigido come un aggregato

x 

di particelle m aventi velocità v i

i

1

  2

m : E m v (E di m )

i i i i c i

2

Dinamica rotazionale 4



 

Se r è la distanza di m dall'asse di rotazione v = r

i i i i

1  



 2

m : E = m r

i i i i

2

L' E complessiva del corpo rigido risulta:

c  

n n

1 1

  

 

2 2 2

E m v m r

 

c i i i i

 

2 2

 

i 1 i 1



( è la stessa per tutte le m poichè il corpo è r

igid o

)

.

i

n



 

2

Sia I m r (momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione)

i i



i 1

1 

 2

E I (energia c

inetica di un corpo rigido che ruota con

c 2 

velocità angolare ).

Dinamica rotazionale 5

 I dipende dall’asse di rotazione, dalla forma del corpo rigido

e dalla distribuzione delle masse del corpo rispetto all’asse di

rotazione.



 corpo rigido e per un certo asse di rotazione I = cost.

i

E rotazionale non è altro che la somma delle E traslazionali

c c



delle singole particelle

1 

 2

E I è solo un modo comodo per esprimere l'energia

c 2

cinetica di un corpo rigido in ro

tazione.

Dinamica rotazionale 6

 La massa M di un corpo rigido rappresenta l’inerzia traslazion.

 Il momento d’inerzia I rappresenta l’inerzia rotazionale.

ESEMPI:

a) I - R è lo s

tesso

b) I

1 2

R - M è la stessa

M R 

- I I

M CM 1 2

  

Far ruotare il cilindro di massa M alla velocità è più facile



(occorre meno sforzo) nel caso a

) che in b) i n q

uanto I I .

1 2

Infatti, nel caso a) la massa M è distribuita pi ù vi

cina al

l'

as se

di rotazione di quanto lo sia nel caso b).

Dinamica rotazionale 7

Moto rototraslatorio

 Si consideri un disco di massa M e raggio R che rotola su di un

piano orizzontale, senza strisciare

 

CM CM

CM

R v v

CM CM

A

 Il centro di massa CM si muove di moto traslatorio rettilineo con

velocità v .

CM 

Inoltre, il centro di massa ruota con velocità intorno ad un

asse orizzontale mobile, coincidente con la direttrice del cilindro

a contatto con il piano orizzontale in A.

Dinamica rotazionale 8

 Quindi un disco che rotola ha energia cinetica sia traslatoria del

CM, sia rotazionale intorno all’asse mobile passante per A.

 Si dimostra che l’energia cinetica totale di un corpo che rotola è:

1 1 

 

2 2

E M

v I

c CM CM

2 2

è il momento d’inerzia del disco rispetto ad un asse

dove I CM 

passante per il CM e è la velocità angolare intorno a questo

asse.

 L’attrito statico tra la ruota ed il piano di appoggio è la causa del

rotolamento.

Se non ci fosse questo attrito statico, la ruota scivolerebbe sul

piano, invece di rotolare, come succede quando una strada è

ghiacciata. Dinamica rotazionale 9

 Per fortuna, questo è un attrito statico e non compie lavoro, se il

disco è perfettamente rigido.  P

A B

f f

Infatti, in tal caso il punto di contatto è solo P (fermo) e la forza



di attrito agisce al piano.

Mentre se la sfera rotola, i punti A e B adiacenti a P si spostano

 alla direzione di f e quindi f non compie lavoro.

Dinamica rotazionale 10

Momento di una forza

(a) Forze agenti a differenti Applicazione della stessa

Momento torcente =



angoli sulla maniglia forza ma con diversi

r F rF

 

della porta. bracci, r e r .

A B

(b) Il braccio è definito

come la distanza tra

l’asse di rotazione (il

cardine) e la retta

d’azione della forza. Dinamica rotazionale 11

Momento di una forza

Sia dato un sistema di as si car

tesiani

Oxy

z

.

z  

Sia P xy, in cui giace il vettore

r .

Sia F una forza applicat a al punto

  

r F 

P e sia F giacente nel piano xy.



O Sia l'ango

lo tra le d irezioni di r

y e di F .

r F Si definisce momento della forza F



P (o momento torce

nte

) rispetto al

x punto O chiamato "polo", individuato dal vettore posizione r :

τ = r ×F

0

 



il cui modulo è dato da: r F sen

Dinamica rotazionale 12





z Si osservi che: F F sen

t



F componente tangenziale di F

t 

F componente radiale di F

   r

r F F non causa una rotazione intorno a z;

O r

y F causa la rotazione di P intorno a z.

F t

t

r F

P 

x F

r

 L’efficacia della componente F nel far ruotare il punto P (es.:

t

intorno all’asse z, dipende non solo dal

una maniglia di porta)

suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica la

forza) dal punto O.

Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento di

  

forza r F

0 Dinamica rotazionale 13

Si definisce braccio della forza F ,

z la distanza r tra la retta d'azione



della F ed il polo "O":

