Fisica Medica - Dinamica Rotazionale

Dinamica rotazionale

CM CMCMR v vCM CMA Il centro di massa CM si muove di moto traslatorio rettilineo con velocità v .CM Inoltre, il centro di massa ruota con velocità intorno ad un asse orizzontale mobile, coincidente con la direttrice del cilindro a contatto con il piano orizzontale in A.

Dinamica rotazionale 8 Quindi un disco che rotola ha energia cinetica sia traslatoria del CM, sia rotazionale intorno all’asse mobile passante per A. Si dimostra che l’energia cinetica totale di un corpo che rotola è:1 1  2 2E Mv Ic CM CM2 2è il momento d’inerzia del disco rispetto ad un asse dove I CM passante per il CM e è la velocità angolare intorno a questo asse.

L’attrito statico tra la ruota ed il piano di appoggio è la causa del rotolamento.Se non ci fosse questo attrito statico, la ruota scivolerebbe sul piano, invece di rotolare, come succede quando una strada è ghiacciata. Dinamica rotazionale 9 Per fortuna,

questo è un attrito statico e non compie lavoro, se il disco è perfettamente rigido. ω PA Bf fInfatti, in tal caso il punto di contatto è solo P (fermo) e la forza di attrito agisce al piano.Mentre se la sfera rotola, i punti A e B adiacenti a P si spostano alla direzione di f e quindi f non compie lavoro.Dinamica rotazionale 10Momento di una forza(a) Forze agenti a differenti Applicazione della stessaMomento torcente = angoli sulla maniglia forza ma con diversir F rF d della porta. bracci, r e r .A B(b) Il braccio è definito come la distanza tra l'asse di rotazione (il cardine) e la retta d'azione della forza. Dinamica rotazionale 11Momento di una forzaSia dato un sistema di assi cartesianiOxyz.z ∞ ΠSia P xy, in cui giace il vettore r .Sia F una forza applicata al punto τ = ×r F ΠP e sia F giacente nel piano xy.φO Sia l'angolo tra le direzioni di ry e di F .r F Si definisce momento della forza FφP (o momento

torcente) rispetto alx punto O chiamato "polo", individuato dal vettore posizione r :τ = r ×F0 il cui modulo è dato da: r F senDinamica rotazionale 12z Si osservi che: F F sentF componente tangenziale di Ft F componente radiale di F   rr F F non causa una rotazione intorno a z;O ry F causa la rotazione di P intorno a z.F ttr FP x Fr L’efficacia della componente F nel far ruotare il punto P (es.:tintorno all’asse z, dipende non solo daluna maniglia di porta)suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica laforza) dal punto O.Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento di  forza r F0 Dinamica rotazionale 13Si definisce braccio della forza F ,z la distanza r tra la retta d'azionedella F ed il polo "O": r r sen   r F   r sen F r FO yr Il momento è in pratica l'azioneFr  di rotazio ne o di torsione

esercitatax dalla F su di un corpo rigido.π 2Esempio: quando si fa ruotare la ruota di una bicicletta con la mano,si sta applicando proprio un momento di una forza.[ ] [ ][ ]τ τ − −≡ ≡2 2 2Dimensione di : r F L F L MLT L MTN m (da non confondere con J: lavoro)τUnit à di misura di : dyne cmDinamica rotazionale 14(a) Un idraulico può esercitare un momento torcente maggioreusando una chiave inglese con un braccio lungo.Anche una chiave per smontare le ruote di un’auto può avere(b) un braccio lungo per aumentare il momento torcenteDinamica rotazionale 15Momento torcente di un bicipite. Il bicipite esercita una forzasull’avambraccio,verticale che viene piegato nella manieramostrata in figura (a) e (b) Dinamica rotazionale 16Coppia di forzeUna coppia di forze è un sistema di dueA forze F e F uguali in modulo ma1 2F 2 aventi versi opposti e agenti su ret te / / .br 2 F ≠ ≡1B La risultante R F F 01 2∄

moto traslatorio .r 1

Si consideri un polo "O" e si calcoli il momento di F e F rispetto al polo:

τ = r x F + r x F = r x (F + F) = r x (F - F) = -r x F

Il vettore b chiamasi vettore braccio della coppia di forze.

Essendo F e F su due rette parallele:

τ = -r x F

Essendo F e F su due rette parallele:

τ = -r x F

La coppia di forze produce quindi un effetto di rotazione.

Esempio: quando si fa ruotare il cacciavite con la mano, si sta applicando proprio un momento di forza attraverso una coppia di forze.

Il vettore braccio b è indipendente dalla posizione del polo "O" il momento della coppia è indipendente dal punto rispetto a cui si calcola.

Equazione del moto rotatorio di un corpo rigido intorno ad un asse fisso (2ª eq. cardinale della mecc.)

Il momento di una forza F è la causa della

rotazione di un corpo rigido (es.: porta che ruota attorno ai cardini).

Se applichiamo ad un corpo rigido un momento torcente τ rispetto ad un asse fisso di rotazione del corpo rigido varia nel tempo α ≠ 0 una accelerazione angolare attorno all'asse di rotazione. Si dimostra che: τ = Iα (2° equazione di Newton per la rotazione, nota come 2° equazione cardinale della meccanica).

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τ = α

L'equazione è l'equivalente rotazionale della 2° legge di Newton ed è valida per la rotazione di un corpo rigido intorno a un asse fisso.

Il momento d'inerzia I, che è una misura dell'inerzia rotazionale di un corpo, ha nel moto rotazionale lo stesso ruolo della massa (F = ma) nel moto traslazionale.

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DIMOSTRAZIONE Si consideri una particella di massa y m fissa all'estremità di un'asta di lunghezza r che possa ruotare in un piano xy intorno

meccanica). Dinamica rotazionale 22 Questa legge, pur essendo stata ricavata per il caso particolare di una singola particella rotante intorno ad un asse fisso (es.: z), è valida per qualsiasi corpo rigido rotante intorno ad un asse fisso, perché ogni corpo rigido può essere considerato come un'aggregazione di particelle. In tal caso I è il momento d'inerzia del corpo rigido. Controllo delle dimensioni: [ ] [ ] [ ] τ = = 2r F L M L T [ ] [ ] [ ] α α = = 2 2I I M L T Dinamica rotazionale 23 Momento angolare Una pattinatrice compie una piroetta sul ghiaccio: in (a) I è più grande e ω è piccolo; in (b) I è minore, mentre ω è maggiore Dinamica rotazionale 24 Momento angolare di una particella Si consideri una particella di massa z = m, avente quantità di moto p = mv, che si muove nel piano xy. p = l × r = p + p ⊥ r O = p + p ⊥

Particella libera: Sia m una particella libera (forze su m) φ ⇒ = ⇒ = ⇒ = m se F ma a 0 v cost. φ v