Fisica Medica - Dinamica Rotazionale
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z Si osservi che: F F sen
t
F componente tangenziale di F
t
F componente radiale di F
r
r F F non causa una rotazione intorno a z;
O r
y F causa la rotazione di P intorno a z.
F t
t
r F
P
x F
r
L’efficacia della componente F nel far ruotare il punto P (es.:
t
intorno all’asse z, dipende non solo dal
una maniglia di porta)
suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica la
forza) dal punto O.
Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento di
forza r F
0 Dinamica rotazionale 13
Si definisce braccio della forza F ,
z la distanza r tra la retta d'azione
della F ed il polo "O":
r r sen
r F
r sen F r F
O
y
r Il momento è in pratica l'azione
F
r
di rotazio ne o di torsione esercitata
x dalla F su di un corpo rigido.
2
Esempio: quando si fa ruotare la ruota di una bicicletta con la mano,
si sta applicando proprio un mo
m
ento di u
na forz
a.
2 2 2
Dimensione di : r F L F L MLT L MT
N m (da non confondere con J: lavoro)
Uni
t à di misura di : dyne cm
Dinamica rotazionale 14
(a) Un idraulico può esercitare un momento torcente maggiore
usando una chiave inglese con un braccio lungo.
Anche una chiave per smontare le ruote di un’auto può avere
(b) un braccio lungo per aumentare il momento torcente
Dinamica rotazionale 15
Momento torcente di un bicipite. Il bicipite esercita una forza
sull’avambraccio,
verticale che viene piegato nella maniera
mostrata in figura (a) e (b) Dinamica rotazionale 16
Coppia di forze
Una coppia di forze è un sistema di due
A forze F e F uguali in modulo ma
1 2
F 2 aventi versi opposti e agenti su ret te / / .
b
r 2 F
1
B La risultante R F F 0
1 2
m
oto traslatorio .
r 1 Si consideri un polo "O" e si calcoli il
O
momento di F e F r
ispetto al
1 2
O
p
olo:
r F r F r F r F r r F
1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1
O O 1 O 2
ed essendo r b r b r r b F 0
2 1 1 2 1
O
Dinamica rotazionale 17
Il vettore b chiamasi vettore braccio della coppia di forze.
Essendo F e F su due rette // b 0 0
1 2 O
La coppia di forze produce quindi un effetto di rotazione.
Esempio: quando si fa ruotare il cacciavite con la mano, si sta
applicando proprio un momento di forza attraverso una coppia
di forze.
Il vettore braccio b è indipendente dalla posizione del polo "O"
il momento della coppia è indipendente dal punto rispetto a cui
si calcola . Dinamica rotazionale 18
Equazione del moto rotatorio di un corpo rigido
intorno ad un asse fisso (2ª eq. cardinale della mecc.)
Il momento di una forza F è la causa della rotazione di un corpo
rigido (es.: porta che ruota attorno ai car
dini).
Se applichiamo ad un corpo rigido un 0 rispetto a
d un ass e
fisso di rotazione del corpo rigido varia nel tempo
una accelerazione angolare 0 attorno a
ll'asse di rotazio ne.
Si dimostra che:
I
a a
(2 equazione di Newton per la rotazione, nota come 2 equazione
cardinale della meccanica)
.
Dinamica rotazionale 19
L’equazione è l’equivalente rotazionale della 2ª
I legge
di Newton ed è valida per la rotazione di un corpo rigido intorno
ad un asse fisso.
Il momento d’inerzia I, che è una misura dell’inerzia rotazionale
di un corpo, ha nel moto rotazionale lo stesso ruolo della massa
F ma
m nel moto traslazionale .
Dinamica rotazionale 20
DIMOSTRAZIONE Si consideri una particella di massa
y m fissa all'estremità di un'asta di
F F
t lunghezza r che possa ruotare in
F
r
m un piano xy intorno all'asse z
r m descrive una circonferenza di
x centro "O" e raggio "
r ".
O
Sia F una forza agente su m
, F xy. F sia la componente
t
tangenziale di F e F sia la compon ente ra
diale di F .
r
Solo la componente F può far variare la d
i m intorno
t
all'asse z 0
.
Sia il momento di F rispetto al polo "O": r F
O
Se F xy z se F 0, m ruota intorno
t
O
a z con accelerazione ang
olare .
Dinamica rotazionale 21
Il mome
nto di F lun go z ha modulo:
r Fsen r F
t
O
a
dalla 2 legg e di Newton: F ma
t t
dove a è la componente tangenziale di a a u a u
t N
t t N
r m a
t
O
L'accelerazione tangenziale a è legata al''accelerazione
t
angolare : a r
t
2
r m r m r I
O
dove I è il momento d'inerzi a di m rispetto al
l'ass e z.
Vettorialmente:
I
O
a
(2 eq. cardinale della mec
canic
a).
Dinamica rotazionale 22
Questa legge, pur essendo stata ricavata per il caso particolare di
una singola particella rotante intorno ad un asse fisso (es.: z), è
valida per qualsiasi corpo rigido rotante intorno ad u n asse fisso,
perchè ogni corpo rigido può essere considerato come
un'aggregazione di particel
le.
In tal caso I è il momento d ' inerzia del corpo rigido
.
Controllo delle dim
ens i oni :
2
r F L M L T
2 2
I I M L T Dinamica rotazionale 23
Momento angolare
Una pattinatrice compie una piroetta sul ghiaccio: in (a) I è più
ω ω
grande e è piccolo; in (b) I è minore, mentre è maggiore
Dinamica rotazionale 24
Momento angolare di una particella
Si consideri una particella di massa
z
m
, avente quantità di moto p m v ,
che si muove nel pi ano xy
.
l r p mr v
p ha componenti p e p
r
O
p p p .
y
p r
r
p psen m
v
sen
p
m p
x r
Si definisce momento angolare (o momento della quantità di mot o )
l di una particella m
, rispetto all'origine "O", il vettore così definito:
l r p r m v mr v
Dinamica rotazionale 25
Il modulo di l è: l m r v sen
è l'angolo in radianti tra la direzione di r e di p
.
2
Essendo v r l m r r sen mr sen
Si ricordi che se una particell
a ruota con velo
cità angolare
intorno ad un asse a distanza r , il suo momento d'inerzia è
z
2
I m
r .
2
In tal caso l m
r se
n I
2 y
R m v
x
Dinamica rotazionale 26
m
2 1
S.I. [m kg kg m s J s]
s
Unità di misura di l : cm
2 1
Gauss [cm gr gr cm s erg s ]
s
Se p xy il vettore l non è // asse z.
La direzione di l è sempre al piano formato da r e p
.
Dinamica rotazionale 27
Esempi : momento angolare l per una particella
a) Particella libera :
Sia m una particella libera ( forze su m )
m se F ma a 0 v cost.
v
b
l r p mr v il modulo l
r
O
l mr v
sen rsen m
v
essendo rsen b
l =
m v b cos t.
infatti, durante il moto della par
ticel
la m
,
le tre grandezze m
, v, b sono cost anti.
Dinamica rotazionale 28
b) Moto circolare uniforme : l
O v
r m
l r p mr v
P circonferenza: r v (angolo tra r e v).
2
l mr v
sen mr v
se
n mr
v
2
2
essendo la v tangenziale: v r l m r I
dove è la velocità angolare; I é il momento d'inerzia di m
rispetto a
ll'asse z passante per il centro O.
N.
B.: l e sono due vettori paralleli.
Dinamica rotazionale 29
Relazione tra l e
Si è detto che la 2ª legge di Newton si può anche
F ma
esprimere come: p
F
t
Sappiamo che la forza è la causa del moto traslazionale di un
punto materiale. Per analogia, essendo la causa del moto
rotazionale di un corpo intorno ad un asse di rotazione,
l’equazione del moto rotatorio si può anche scrivere
I
(essendo I il momento d’inerzia):
l
t
Questa relazione è quindi l’equivalente rotazionale della 2ª legge
di Newton. Dinamica rotazionale 30
Dimostriamo che le relazioni: l
I e
t
sono equivalenti.
ω
Se un oggetto ha velocità angolare per t = 0 e velocità
0
ω Δt, si ha un’accelerazione angolare α:
angolare dopo
0
t t
l I
Si è visto che
I I
l I I 0
0 I I
t t t t t
Quindi, se un corpo ruota intorno ad un asse fisso:
l dl
I
t dt
Dinamica rotazionale 31
Relazione tra l e
Sia l r p m r v [definizione di momento angolare]
derivando ambo i membri rispetto a t :
dl d dr dp dp
= r p = p r v p r
dt dt dt dt dt
si osservi che v e p sono due vettori // v p 0
dl dp
r
dt dt dp
a
si ricordi che la 2 legge di Newton si può scrivere: F d
t
dl
r F dove F è la risultante delle forze agenti su m
.
d
t Dinamica rotazionale 32
Questa rela
zione è corre
tta l e sono riferiti allo stesso
polo (p
unto "O").
Si noti che l e sono sempre due vettori //.
dl
a
La relazione è l'equivalente rotazionale de
lla 2 legge
dt d p
di Newton scritta come F dt
dl
L'eq. vettoriale si scompone in tre equazioni scalari:
dt dl dt
x x
dl
dl dt
y y
dt dl dt
z z
Dinamica rotazionale 33
Momento angolare di un sistema di particelle
Sia dato un sistema di N particelle di massa m , ciascuna si
i
muova con velocità v e quindi quantità di moto p m v
i i
i
a cui corrisponde un l r p rispetto ad un polo "O".
i
i i
Si de
finisce momento angolare totale L del sistema rispetto
ad "O": N N
L = l +
l +..........
+
l = l r p
i
1 2 N i i
i 1 i 1
Le l possono variare nel tempo durante il moto del sistema, sia
i
per la presenza di F che per effetto di F al sistema
int ext
Dinamica rotazionale 34
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