Fisica Medica - Dinamica Rotazionale





z Si osservi che: F F sen

t



F componente tangenziale di F

t 

F componente radiale di F

   r

r F F non causa una rotazione intorno a z;

O r

y F causa la rotazione di P intorno a z.

F t

t

r F

P 

x F

r

 L’efficacia della componente F nel far ruotare il punto P (es.:

t

intorno all’asse z, dipende non solo dal

una maniglia di porta)

suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica la

forza) dal punto O.

Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento di

  

forza r F

0 Dinamica rotazionale 13

Si definisce braccio della forza F ,

z la distanza r tra la retta d'azione



della F ed il polo "O":



 

r r sen

   

r F  

 

r sen F r F



O 

y

r Il momento è in pratica l'azione

F

r

  di rotazio ne o di torsione esercitata

x dalla F su di un corpo rigido.

 2

Esempio: quando si fa ruotare la ruota di una bicicletta con la mano,

si sta applicando proprio un mo

m

ento di u

na forz

a.

    

   

   

2 2 2

Dimensione di : r F L F L MLT L MT

N m (da non confondere con J: lavoro)



Uni

t à di misura di : dyne cm

Dinamica rotazionale 14

(a) Un idraulico può esercitare un momento torcente maggiore

usando una chiave inglese con un braccio lungo.

Anche una chiave per smontare le ruote di un’auto può avere

(b) un braccio lungo per aumentare il momento torcente

Dinamica rotazionale 15

Momento torcente di un bicipite. Il bicipite esercita una forza

sull’avambraccio,

verticale che viene piegato nella maniera

mostrata in figura (a) e (b) Dinamica rotazionale 16

Coppia di forze

Una coppia di forze è un sistema di due

A forze F e F uguali in modulo ma

1 2

F 2 aventi versi opposti e agenti su ret te / / .

b

r 2 F    

1

B La risultante R F F 0

1 2

 m

oto traslatorio .

r 1 Si consideri un polo "O" e si calcoli il

O 

momento di F e F r

ispetto al

1 2

O

p

olo:  

  

            

r F r F r F r F r r F

1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1

O O 1 O 2 

        

ed essendo r b r b r r b F 0

2 1 1 2 1

O

Dinamica rotazionale 17

Il vettore b chiamasi vettore braccio della coppia di forze.



   

Essendo F e F su due rette // b 0 0

1 2 O

 La coppia di forze produce quindi un effetto di rotazione.

Esempio: quando si fa ruotare il cacciavite con la mano, si sta

applicando proprio un momento di forza attraverso una coppia

di forze. 

Il vettore braccio b è indipendente dalla posizione del polo "O"

il momento della coppia è indipendente dal punto rispetto a cui



si calcola . Dinamica rotazionale 18

Equazione del moto rotatorio di un corpo rigido

intorno ad un asse fisso (2ª eq. cardinale della mecc.)

Il momento di una forza F è la causa della rotazione di un corpo

rigido (es.: porta che ruota attorno ai car

dini).

 

Se applichiamo ad un corpo rigido un 0 rispetto a

d un ass e



 

fisso di rotazione del corpo rigido varia nel tempo



 

una accelerazione angolare 0 attorno a

ll'asse di rotazio ne.

Si dimostra che:  

 I

a a

(2 equazione di Newton per la rotazione, nota come 2 equazione

cardinale della meccanica)

.

Dinamica rotazionale 19

 



 L’equazione è l’equivalente rotazionale della 2ª

I legge

di Newton ed è valida per la rotazione di un corpo rigido intorno

ad un asse fisso.

 Il momento d’inerzia I, che è una misura dell’inerzia rotazionale

di un corpo, ha nel moto rotazionale lo stesso ruolo della massa

 



F ma

m nel moto traslazionale .

Dinamica rotazionale 20

 DIMOSTRAZIONE Si consideri una particella di massa

y m fissa all'estremità di un'asta di

F F

t  lunghezza r che possa ruotare in

F

r 

m un piano xy intorno all'asse z

r m descrive una circonferenza di



 x centro "O" e raggio "

r ".

O  

Sia F una forza agente su m

, F xy. F sia la componente

t

tangenziale di F e F sia la compon ente ra

diale di F .

r 

Solo la componente F può far variare la d

i m intorno

t



  

all'asse z 0

.

   

Sia il momento di F rispetto al polo "O": r F

O



     

Se F xy z se F 0, m ruota intorno

t

O 

a z con accelerazione ang

olare .

Dinamica rotazionale 21

Il mome

nto di F lun go z ha modulo:

 

 

r Fsen r F

t

O 

a

dalla 2 legg e di Newton: F ma

t t   

dove a è la componente tangenziale di a a u a u

t N

t t N

  r m a

t

O

L'accelerazione tangenziale a è legata al''accelerazione

t

 

 

angolare : a r

t  

 

   

  

2

r m r m r I

O

dove I è il momento d'inerzi a di m rispetto al

l'ass e z.

Vettorialmente:  

 I

O

a

(2 eq. cardinale della mec

canic

a).

Dinamica rotazionale 22

Questa legge, pur essendo stata ricavata per il caso particolare di

una singola particella rotante intorno ad un asse fisso (es.: z), è

valida per qualsiasi corpo rigido rotante intorno ad u n asse fisso,

perchè ogni corpo rigido può essere considerato come

un'aggregazione di particel

le.

In tal caso I è il momento d ' inerzia del corpo rigido

.

Controllo delle dim

ens i oni :

    

 

  2

r F L M L T

    

  

  2 2

I I M L T Dinamica rotazionale 23

Momento angolare

Una pattinatrice compie una piroetta sul ghiaccio: in (a) I è più

ω ω

grande e è piccolo; in (b) I è minore, mentre è maggiore

Dinamica rotazionale 24

Momento angolare di una particella

Si consideri una particella di massa

z 

m

, avente quantità di moto p m v ,

che si muove nel pi ano xy

.

   

l r p mr v 

p ha componenti p e p 

r

O  

p p p .

y 

p r



r  

 

p psen m

v

sen

p

 

m p

x r

Si definisce momento angolare (o momento della quantità di mot o )

l di una particella m

, rispetto all'origine "O", il vettore così definito:

     

l r p r m v mr v

Dinamica rotazionale 25





Il modulo di l è: l m r v sen

 è l'angolo in radianti tra la direzione di r e di p

.

 

    

    2

Essendo v r l m r r sen mr sen



Si ricordi che se una particell

a ruota con velo

cità angolare

intorno ad un asse a distanza r , il suo momento d'inerzia è

z

 2

I m

r . 

 

 

2

In tal caso l m

r se

n I 

2 y

R m v

x

Dinamica rotazionale 26

m 

 

2 1

S.I. [m kg kg m s J s]

s

Unità di misura di l : cm 

 

2 1

Gauss [cm gr gr cm s erg s ]

s

  

Se p xy il vettore l non è // asse z.



La direzione di l è sempre al piano formato da r e p

.

Dinamica rotazionale 27

Esempi : momento angolare l per una particella

a) Particella libera : 

Sia m una particella libera ( forze su m )

      

m se F ma a 0 v cost.

 v

b     

l r p mr v il modulo l

r

O  

 

 

l mr v

sen rsen m

v

 

  

essendo rsen b 

l =

m v b cos t.

infatti, durante il moto della par

ticel

la m

,

le tre grandezze m

, v, b sono cost anti.

Dinamica rotazionale 28

b) Moto circolare uniforme : l 

 

O v

r m

   

l r p mr v





    

P circonferenza: r v (angolo tra r e v).

2





  

l mr v

sen mr v

se

n mr

v

2

  

   

2

essendo la v tangenziale: v r l m r I



dove è la velocità angolare; I é il momento d'inerzia di m

rispetto a

ll'asse z passante per il centro O.



N.

B.: l e sono due vettori paralleli.

Dinamica rotazionale 29



Relazione tra l e



 Si è detto che la 2ª legge di Newton si può anche

F ma

esprimere come:  p



F 

t

 Sappiamo che la forza è la causa del moto traslazionale di un



punto materiale. Per analogia, essendo la causa del moto

rotazionale di un corpo intorno ad un asse di rotazione,

 



l’equazione del moto rotatorio si può anche scrivere

I

(essendo I il momento d’inerzia):

 l

  

t

 Questa relazione è quindi l’equivalente rotazionale della 2ª legge

di Newton. Dinamica rotazionale 30

 Dimostriamo che le relazioni:  l

  

 

I e 

t

sono equivalenti.

 ω

Se un oggetto ha velocità angolare per t = 0 e velocità

0

ω Δt, si ha un’accelerazione angolare α:

angolare dopo   

 

   0

 

t t



 

 l I

Si è visto che    

  

 

  

  

I I

l I I 0

 

     

0 I I

    

t t t t t

 Quindi, se un corpo ruota intorno ad un asse fisso:

 l dl

 

  

I 

t dt

Dinamica rotazionale 31



Relazione tra l e

 

   

Sia l r p m r v [definizione di momento angolare]

derivando ambo i membri rispetto a t :

 

dl d dr dp dp

       

= r p = p r v p r

dt dt dt dt dt

  

si osservi che v e p sono due vettori // v p 0

dl dp

  

r

dt dt dp

 

a

si ricordi che la 2 legge di Newton si può scrivere: F d

t

dl 

  

r F dove F è la risultante delle forze agenti su m

.

d

t Dinamica rotazionale 32





Questa rela

zione è corre

tta l e sono riferiti allo stesso

polo (p

unto "O").



Si noti che l e sono sempre due vettori //.

dl

  a

La relazione è l'equivalente rotazionale de

lla 2 legge

dt d p



di Newton scritta come F dt

dl

 

L'eq. vettoriale si scompone in tre equazioni scalari:

dt   dl dt

x x

dl

 

   dl dt

y y

dt   dl dt

z z

Dinamica rotazionale 33

Momento angolare di un sistema di particelle

Sia dato un sistema di N particelle di massa m , ciascuna si

i 

muova con velocità v e quindi quantità di moto p m v

i i

i

 

a cui corrisponde un l r p rispetto ad un polo "O".

i

i i

Si de

finisce momento angolare totale L del sistema rispetto

ad "O": N N

 

 

L = l +

l +..........

+

l = l r p

i

1 2 N i i

 

i 1 i 1

Le l possono variare nel tempo durante il moto del sistema, sia

i 

per la presenza di F che per effetto di F al sistema

int ext

Dinamica rotazionale 34