Fisica generale - Meccanica e Dinamica Rotazionale

T R I Ia I

2

   

R     

 

1

mg T ma a g a g



  2 2

 

( 2 )  mg T mR mR

mg T ma 

a

a

  m

R g

 a g

   

a I I

R

 

1 R

2 mR

mR    

I I

  mg

   

1 1 

1 T

2 2 mg

 

  mR mR



      2

( ) 1

T m g a m mg mg mR



2 2

 

  1

I I mR

mR I

 

1 1 

 

  1 I

   

2 2 2

mR mR I

mR

MECCANICA

La Seconda Legge di Newton e il Moto Rotatorio (V) – Esempi (II)

2) Macchina di Atwood

Due masse e con sono collegate da un filo di massa trascurabile che

m m m >m

1 2 1 2

passa nella gola di una carrucola con momento di inerzia e raggio . Se il filo non

I R

scivola si calcolino l

l’accelerazione

accelerazione delle due masse,

masse l

l’accelerazione

accelerazione angolare della

carrucola e la tensione del cavo dal lato di e dal lato di . 

T m T m

1 1 2 2 T

 2

T

Sol. Applicando la II legge di Newton a e rispettivamente, si ottiene 

m m 1 T

1 2 2

 

m g T m a

1 1 1 

  T

T m g m a 1

2 2 2

e applicando la II legge di Newton in forma rotazionale alla carrucola di momento di 2

inerzia si ottiene

I      

a 1

1

 

       

2

T T R I T T R I T T R I

1 2 1 2 1 2

R

Per cui si ottiene il sistema lineare

       

0 0

m a m g T m a T m g m a T m g

1 1 1 1 1 1 1 1 1

            

2 2 2

0 0 m R g

m a m g T m a T m g m R a R T

2 2 2 2 2 2 2 2 2

       

2 2 2 2 2 2

0 0

I a T R T R I a R T R T Ia R T R T

1 2 1 2 1 2

   

2 2 2  

m a T m g m R a R T m R g    

1 1 1 1 1 1    

2 2

  

    m m R I a m m R g

1 2 1 2

   

2 2 2    

2 2 2

m R I a R T m R g m R I a R T m R g

2 1 2 2 1 2

 

  

 2 a m m R g

m m R g   

 1 2

1 2

 

a  

   

2

 

2 R m m R I

m m R I 1 2

1 2 MECCANICA

La Seconda Legge di Newton e il Moto Rotatorio (V’) – Esempi (II’)

segue Macchina di Atwood

… e per le tensioni del cavo  

 

 

2 2

2

m m R m m R m I

    

1 2 1 2 1

1

 

T m g m a m g g

   

1 1 1 1  

 

2 2

 

m m R I m m R I

1 2 1 2

 

 

 

2 2

2

m m R m m R m I

    

1 2 1 2 2

1

 

T m g m a m g g

   

2 2 2 2  

 

2 2

 

m m R I m m R I

1 2 1 2

Si può osservare che la tensione del filo è maggiore dal lato della massa più pesante,

pesante e che

quindi scende, e che la differenza fra e rappresenta quella forza il cui momento è

T T

1 2

responsabile dell’accelerazione angolare della carrucola che presenta un momento di inerzia e

 I

la cui massa quindi non è trascurabile.

M MECCANICA

La Seconda Legge

gg di Newton e il Moto Rotatorio (

(VI)

) – Esempi

mp (

(III)

)

Una sbarretta omogenea può ruotare in un piano verticale attorno ad un

perno senza attrito che si trova ad una estremità della sbarretta.

sbarretta La

sbarretta, inizialmente in quiete in posizione orizzontale, viene lasciata

libera di ruotare.

a) Quali sono l’accelerazione angolare iniziale della sbarretta e

l

l’accelerazione

accelerazione iniziale della sua estremità destra ?

b) Cosa succede se si poggia un piccolo oggetto piatto all’estremità destra della sbarretta quando

la si lascia libera di muoversi ?

Sol. a)

) Dalla forma rotazionale p

per la II Legge

gg di Newton si ottiene

1 3 3 3

g

L g

    

        

2 L g

a L

I M g M L est

2 3 2 2 2

L

L 3

 

b)

) Accade q

quindi che l’estremità della sbarretta accelera con un’accelerazione a g g

2

dato che qualsiasi oggetto cade con un’accelerazione anche il nostro oggetto, posto

g,

all’estremità della sbarretta, non resta in contatto con la medesima.

Ci si pu

può chiedere allora qu

quale è il pun

punto della sbarretta sul

u qu

quale si pu

può m

mettere l’oggetto

gg in

n m

modo

che resti in contatto con la sbarra.

Il punto è localizzato dal fatto che la sua accelerazione iniziale deve essere pari a e quindi deve

g

essere posto ad una distanza dal perno tale che la sua accelerazione tangenziale sia

r 3 2

g



     

a r g r g r L

t 2 3

L

MECCANICA

Momento Angolare (I) 

Dato un punto materiale di massa con vettore posizione che

r

m



si muove con velocità in un sistema di riferimento inerziale

v 

momento angolare del punto materiale rispetto

si definisce L

all’origine

all origine il prodotto vettore del suo vettore posizione

O

  

istantanea e della sua quantità di moto istantanea 

p v

r m

  

 

L r p  

Le dimensioni del momento angolare sono e l’ unità di



2 1

ML T

2

m

misura nel SI è il kg s



È importante notare che è una misura di quanto un punto materiale “tenda a ruotare” attorno

L

a un polo. Infatti sia la sua direzione che il suo modulo dipendono dalla scelta dell’origine. La

  

direzione di è perpendicolare al piano individuato da e da e il suo verso è determinato dalla

p

r

L 

 

regola della mano destra. Nell

Nell’esempio

esempio in figura e giacciono nel piano per cui ha la

p

r L

x y



direzione di . Il modulo di è dato da

L

z 

 sen

L mvr



 

dove è l’angolo fra e , da cui se detti vettori sono paralleli.



 p

r L 0

In

I altre

lt parole

l un punto

t materiale

t i l che

h si

i muove lungo

l una retta

tt che

h passa per un punto

t ha

h

momento angolare nullo rispetto a questo punto usato come polo. Ciò equivale a dire che il punto

non

materiale “tende a ruotare” rispetto al polo.



 ) è massimo e pari a e, in questo caso, il punto

Invece se è perpendicolare a ( 

p r    L mvr

materiale

t i l ha

h la

l massima

i t

tendenza

d a ruotare

t rispetto

i tt al

l polo

l dato

d t che

h in

i tale

t l istante

i t t si

i muove

 

proprio come se fosse sul bordo di una ruota che gira nel piano definito da e da intorno al

p

r

polo. MECCANICA

Momento Angolare (II)

La II Legge di Newton ci dice che la forza risultante agente su un punto materiale è pari alla

rapidità di variazione della sua quantità di moto. Dimostreremo adesso che la II Legge di Newton

implica anche che il momento meccanico risultante delle forze agenti su un punto materiale è pari

alla rapidità di variazione del momento angolare del punto materiale medesimo, quando entrambi i

momenti sono riferiti allo stesso polo.

polo   

 

Derivando rispetto al tempo l’espressione si ottiene

L r p

 



d L d d p d r 

  

 

     

r p r p

d d d d

t t t t 

d r 

 

 

In quest’ultima equazione l’ultimo termine a destra è nullo in quanto è parallelo a

v p v

m

d t

per

p cui  

d L d p



 

r

d d

t t 

 p

d



D’altro canto, ricordando che p

per la II Legge

gg di Newton F d t 

 d p

 



    



il momento di una forza si può scrivere come τ r F r d t



d L

 

τ

E confrontando con l’equzione di sopra si ottiene d t

nalogo

g rotazionale della II Legge

gg di Newton

che è l’a

Si è quindi ottenuto che

Il momento meccanico agente su un punto materiale è pari alla derivata temporale del momento



 stesso

angolare ( e devono essere calcolati rispetto allo polo)

τ L MECCANICA

Momento Angolare (III)

Nel caso di un sistema di punti materiali il momento angolare totale è somma dei momenti

angolari dei singoli punti materiali cioè

    



    

L L L L L



1 2 n i

i

Con un procedimento analogo a quello seguito per la quantità di moto si può dimostrare che I

momenti delle forze interne rispetto a un polo si annullano a due a due per cui per un sistema di

n punti materiali si ottiene il risultato 

d L

 

τ est 

d t  d P

Questa equazione è l’analogo, per il momento angolare della relazione già vista in



F

est dt

precedenza per un sistema di n punti materiali.

materiali

In particolare si è visto che la quantità di moto totale di un sistema rimane costante quando la

risultante delle forze agenti sul sistema è nulla.



d L

 legge di conservazione per il momento angolare

Allora dalla relazione segue l’analoga :



τ est d t

Il momento angolare totale di un sistema rimane costante se il momento risultante delle forze

esterne agenti sul sistema è nullo .

 

d L

  il momento angolare di un sistema

Infatti quando deve essere e cioè

L costante

 

τ 0

est d t

isolato è costante analogamente a quanto avviene per la sua quantità di moto.

moto

MECCANICA

Momento Angolare di un corpo rigido

 Come visto un corpo rigido, ad ese