Fisica generale - Meccanica e Dinamica Rotazionale

MECCANICA

DINAMICA ROTAZIONALE

MECCANICA

Introduzione – Corpo Rigido – Variabili Rotazionali

traslazione

Fino a questo punto abbiamo solo esaminato moti di , cioè corpi che

rotazione

seguono traiettorie rettilinee. Ci vogliamo dedicare ora al moto di , cioè

rigidi

quello di corpi, cosiddetti che ruotano intorno ad un asse.

Corpo Rigido

Un è un corpo capace di ruotare mantenendo tutte le sue parti

reciprocamente vincolate tra di loro e quindi mantenendo la sua forma.

asse fisso

Inizialmente si supporrà che la rotazione avvenga intorno ad un , cioè un

non

asse che modifica la sua posizione. Quando un corpo rigido presenta un moto di

rotazione pura intorno a un asse fisso

f , come nelle

ll figure

f a

fianco, tutti i punti del corpo si muovono su circonferenze i cui

centri giacciono sull’asse di rotazione e i rispettivi vettori

posizione descrivono tutti lo stesso angolo durante un certo

intervallo di tempo.

È opportuno d’ora in avanti procedere confrontando questa

descrizione con quella di un corpo rigido in moto di pura

traslazione

l i i

in una direzione

di i fi

fissa cioè

i è con il caso in

i cui

i ogni

i

Sezione del corpo

di cui sopra vista distanza

punto del corpo si muove in linea retta e copre la stessa

dall’alto lineare durante un certo intervallo di tempo. linea di

Nella figura è rappresentata sul corpo rigido una

riferimento, fissa rispetto al corpo e perpendicolare all’asse di

rotazione, che ruota solidale con il corpo. Il moto del corpo

rotante può essere descritto specificando la posizione angolare

di questa

t linea,

li ossia

i l’angolo

l’ l formato

f t da

d questa

t linea

li rispetto

i tt a

un asse di riferimento prefissato che definisce la posizione angolare zero.

MECCANICA

Variabili Rotazionali – Spostamento Angolare

In figura la posizione angolare della linea di riferimento si



misura rispetto all’asse ed è

x

s in radianti )

( 

    

0

1 rad 57,3 0

,

159 angolo giro - 1 angolo giro 2 π rad

r

Per un moto di pura traslazione nella direzione tutte le

x

informazioni sul corpo in movimento sono racchiuse nella funzione

che descrive la sua posizione in funzione del tempo.

tempo

x(t) rotazione pura

Sezione del corpo tutte le informazioni su un

Analogamente per la

di cui sopra vista cioè la

corpo in rotazione sono espresse dalla funzione 

dall’alto (t)

posizione angolare della sua linea di riferimento in funzione del

tempo.

Se il corpo ruota intorno al suo asse di rotazione (Fig. in basso),

variando la posizione angolare della sua linea di riferimento da 

1

a , il

l corpo subisce

b uno spostamento angolare

l dato

d d

da

 



2   

  

2 1

per ogni punto del corpo rigido

Questa definizione è valida dato

che ogni punto occupa la stessa posizione in rapporto agli altri

punti di esso. vale la regola:

Per quanto concerne il segno di 



antiorarie

rotazioni 

  

orarie

i

rotazioni

i i 

   adimensionale

Occorre notare che è un numero puro cioè è





MECCANICA

Variabili Rotazionali – Velocità Angolare – Accelerazione Angolare

Se,

Se come in figura,

figura la posizione angolare del corpo rotante è  1

all’istante e all’istante , si definisce velocità angolare



t t

1 2 2

media del corpo il rapporto fra lo spostamento angolare e





l’intervallo necessario p

per compierlo

p

t   

 

  

2 1

 

t t t

2 1

La velocità angolare

g istantanea è definita come il limite della



velocità angolare media quando .

t  0





  lim 

  0 t

t

ogni

La stessa velocità angolare è valida per punto del corpo rigido. La velocità

 

rad

angolare viene misurata in e le sue dimensioni sono . Nella tecnica vengono

 1

T

s

giri giro 2 π rad π rad rad

spesso usati i ( ) .

  

1 0 . 1047

min min 60 30 s s

s

Quando un corpo rigido ha una velocità angolare che non è costante si dice che il

Dette e le velocità angolari agli istanti e

corpo ha una accelerazione angolare.   t

1 2 1

rispettivamente si definisce accelerazione angolare media il rapporto incrementale

t

2   

 

  

2 1

 

t t t

2 1

L’accelerazione

L accelerazione angolare istantanea è definita come il limite dell

dell’accelerazione

accelerazione



angolare media quando . rad

L’accelerazione angolare si misura in

t  

0   

  - 2

s

lim le sue dimensioni sono 

2

T



  0 t

t

MECCANICA

Variabili Rotazionali – Velocità Angolare – Accelerazione Angolare

MECCANICA

Variabili Rotazionali – Velocità Angolare – Accelerazione Angolare

Esempi

Esempio: Il giradischi

Il piatto di un giradischi,

giradischi di raggio ruota inizialmente a ed impiega per

= 14 cm,

cm 33 giri/min 20 s

r

fermarsi.

a) Quale è l’accelerazione angolare del piatto assumendo che essa sia costante ?

b) Quanti giri compie il piatto prima di fermarsi ?

c) Quale è l

l’ intensità delle componenti radiali e tangenziali dell

dell’accelerazione

accelerazione lineare di un punto

posto al bordo del piatto all’istante ?

= 0

t

giri 1 min rad

 

   

Sol. a) Vel. ang. iniziale 33 2 3

, 46 rad

0 min 60 s giro d

rad



0 3

, 46

 

 rad

s

   

      

dall’espressione (ricordare che )

0 0

,

173  = 0

t

0 20 s s

t

indica che in realtà si tratta di un’accelerazione.

Il segno negativo di   

1 rad 1 rad 34

,

6 rad

b)         

      

2 2 2

3

, 46 20 s 0

,

173 5

,

51 giri

20 s 34

,

6 rad

t t  

0 rad

2

2 s 2 s

  

2 giro

i

rad m



    

c) 0

,

173 0

,

14 m 0

,

0242

a r 2 2

t s s

 2

2 2 2

rad m

r

v  2

     

2

0 3

, 46 0

,

14 m 1

, 68

a r

0 2 2

r s s

r

r MECCANICA

Natura Vettoriale delle Grandezze Rotazionali (I)

Una delle domande fondamentali sulle grandezze rotazionali

vettoriale

riguarda la loro natura o meno. Per rispondere a

questa domanda occorre verificare soddisfano alle leggi di

addizioni

add z on de

dei vettor

vettori.

. Innanz

Innanzitutto

tutto per un ipotetico

potet co vettore

spostamento angolare occorre fissare una direzione ed un verso

a priori non del tutto ovvio in quanto è ben chiara la direzione e

il verso di uno spostamento vero e proprio, ma molto meno

quello

qu di u

uno spostamento

p m angolare.

g . L

L’unica

u grandezza

g definita

f è

la direzione dell’asse attorno al quale avviene la rotazione.

Prenderemo pertanto la direzione di tale asse come direzione

del nostro ipotetico vettore. Dal punto di vista del verso

assumeremo

m m tale vettore come

m diretto verso q

quella p

parte da cui

antiorario.

si vede ruotare il nostro corpo in senso

Per verificare se lo spostamento angolare è un vettore occorre

provare che soddisfa le proprietà dei vettori ed in particolare

p

proprietà

p commutativa

la della somma dei vettori.

Dalla figura si può vedere che, se si ruota un oggetto (ad es.

un libro) di prima intorno all’asse e poi sempre di

0 0

90 90

x

intorno all’asse , il risultato globale delle due rotazioni in

y

successione è differente da q

quello che si sarebbe ottenuto se

commutato

l’ordine delle rotazioni fosse stato , cioè se si fosse

ruotato l’oggetto prima di intorno all’asse e poi sempre di

0

90 y

intorno all’asse . Da questa osservazione si può concludere

0

90 x

non soddisfano la proprietà commutativa

che gli spostamenti angolari finiti dato che    

      

1 2 2 1

gli spostamenti angolari finiti non hanno natura vettoriale

e che quindi .

MECCANICA

Natura Vettoriale delle Grandezze Rotazionali (II)

Tuttavia si può osservare che, se gli angoli di rotazione

diminuiscono (per esempio, da un valore di per e ad

 

 

0

90  

un valore di per entrambi), invertendo l

l’ordine

ordine delle delle

0

20

0

due rotazioni addendo, i risultati delle rotazioni complessive

che si ottengono sono molto più simili fra loro. Se le rotazioni

diventano sempre più piccole si può constatare che il risultato

finale

f n di due

u rotazioni

z n successive

u commutate

mmu è sempre

mp più

p ù

prossimo a quello delle due rotazioni nell’ordine originale fino a

coincidere nel limite di rotazioni infinitesime ovvero si trova che

   

  

d d d d

1 2 2 1

g

gli spostamenti

p m angolari

g infinitesimi

f m

In definitiva

f si trova che

possono essere rappresentati da vettori

.

MECCANICA

Natura Vettoriale delle Grandezze Rotazionali (III)

Tutte le grandezze fisiche che possono essere definite a partire da

spostamenti angolari infinitesimi hanno natura vettoriale.

Per esempio si può definire la velocità angolare



d

 

ω d t 

che, come rapporto fra la grandezza vettoriale e la grandezza scalare

d

, è a sua volta una grandezza vettoriale.

d t la velocità angolare può essere rappresentata con un vettore.

vettore

Quindi

In fig.(a) la freccia disegnata lungo l’asse di rotazione rappresenta il



vettore velocità angolare che descrive il moto di pura rotazione di un

ω

corpo

p rigido.

g

In fig.(b) in modo analogo viene rappresentato il vettore velocità

lunghezza del

angolare del moto circolare di un punto materiale . La

P

vettore è proporzionale all’intensità della velocità angolare, mentre il

verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore.

vettore

In fig.(c) possiamo vedere una semplice formulazione della regola che

fissa il verso del vettore velocità angolare (cfr. trasparente precedente)

se le dita della m

mano

Per convenzione si usa la regola

g della m

mano destra:

destra si chiudono attorno all’asse nel verso della rotazione del corpo,

allora il pollice teso indica il verso del vettore velocità angolare .



accelerazione angolare

Anche l’ è una grandezza vettoriale in quando

α 

definita

d fi it dal

d l rapporto

t fra

f l

la grandezza

d vettoriale

tt i l e l

la grandezza

d

d ω



scalare d t d ω

 

α d t

MECCANICA

Energia Cinetica Rotazionale e Momento di Inerzia

Un corpo rigido, ad esempio un disco rotante intorno ad un asse fisso,

può essere considerato come costituito da una distribuzione continua di

punti materiali in cui è la distanza dal centro del disco all’i-esimo

r i

punto materiale e l’angolo, misurato in senso antiorario, formato dalla

 i

direzione

d rez one rad

radiale

a e per questo punto con un asse d

di r

riferimento

fer mento f

fisso

sso ne

nello

o

spazio. Mentre il disco ruota di un angolo , il punto materiale



d

percorre un arco di circonferenza di lunghezza tale che

ds i





d d

s r

i i

L

La velocità lineare di u

un pu

punto del disco è tangente

g alla traiettoria

v i

circolare del disco e ha modulo pari a

 

d d d

s r 



e quindi

  

i i v r

v r i i

i i

d d d

t t t

In modo analogo l

l’accelerazione

accelerazione tangenziale di un punto del disco è



d d

v 



e quindi

 

t a r

r

a t

t i

d d

t t

L’energia cinetica di un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso è data dalla somma delle

energie cinetiche di tutti i punti materiali che costituiscono il corpo. 1

L’energia cinetica dell’i-esimo punto materiale di massa che costituisce il corpo rigido è  2

K m v

m

i i i i

2



Sommando su tutti i punti materiali da cui è costituito il corpo e tenendo conto che 

v r

i i

Si ottiene  

 

 

1 1 1

  

 

    

2 2 2 2 2

 

K m v m r m r

i i i i i i

2 2 2

   

i i i Momento di Inerzia

La somma che compare nell’ultimo membro dell’espressione precedente è detta

del corpo rispetto all’asse intorno a cui avviene la rotazione



 2

I m r

i i

i

L’energia cinetica del corpo rigido espressa  

1  

 

con dimensioni 2

 2 I M L

in termini del momento di inerzia è quindi K I

2

MECCANICA

Esempi di calcolo di momenti di inerzia di sistemi riconducibili a sistemi di punti

rigidamente

g

materiali collegati

g fra loro

1) Molecola di Ossigeno

Si consideri la molecola biatomica di che ruota nel piano intorno all’asse passante per

O xy z,

2

il centro

t d

della

ll molecola

l l e perpendicolare

di l alla

ll sua lunghezza.

l h A temperatura

t t ambiente

bi t la

l

distanza media fra i due atomi di ossigeno è (gli atomi vengono considerati come

-10

1,21 x 10 m

d

punti materiali)

a) Calcolare il momento di inerzia della molecola intorno all’asse z.

b) Se

S la

l velocità

l ità angolare

l di rotazione

t i i

intorno

t all’asse

ll’ è , quanto

t vale

l

12

2,0

2 0 x 10 rad/s

d/

z

l’energia cinetica di rotazione della molecola?

Sol. a) Poichè la massa di un atomo di ossigeno è e la distanza di ciascun atomo

-26

2,77 x 10 kg

dall’asse

dall asse è si ha

d/2  

2

2 2  

  

2 26 10

 

 

2 2

, 77 10 kg 1

, 21 10 m

d d md

 

   



  46 2

2  

  2

,

03 10 kg m

I m r m m

i i 2 2 2 2

 

 



i 1

b) Se la velocità angolare di rotazione intorno all’asse è allora

12

2,0 x 10 rad/s,

z

2

   

1 1 rad

  

       

2 46 2 12 22

 

2

,

03 10 kg m 2

, 0 10 4

,

1 10 J

K I s

2 2  

Questa energia cinetica è circa un ordine di grandezza più piccola dell’energia cinetica

media associata con il moto di traslazione della molecola a temperatura ambiente che vale

-21

6,21 x 10 J MECCANICA

Esempi di calcolo di momenti di inerzia di sistemi riconducibili a sistemi di punti

rigidamente

materiali collegati fra loro

2) Quattro punti materiali in rotazione

Quattro masse puntiformi sono fissate ad un telaio di massa

trascurabile, che si trova nel piano .

xy

a)

) Se

S il sistema

i t ruota

t intorno

i t all’asse

ll’ con velocità

l ità angolare

l

y

, calcolare il momento di inerzia rispetto all’asse .

 y

b) Si supponga ora che il sistema ruoti nel piano intorno

xy,

all’asse passante per . Calcolare il momento di inerzia

z O

rispetto

i p tt all’asse

ll’ e l’energia

l’ i cinetica

i ti di rotazione.

t i

z

Sol.

a) Si noti innanzitutto che i punti materiali di massa che si trovano sull’asse non

m y

contribuiscono

n u n al m

momento

m n di inerzia

n z p

poichè p

per qu

questi pun

punti m

materiali : allora è

0

I r =

i



   

2 2 2 2

2

I m r Ma Ma Ma

i i

y i

e l’energia cinetica di rotazione attorno all’asse è quindi

y

 

1 1

  

  

2 2 2 2 2

2

K I Ma Ma

y

2 2

b) Poichè ri è la distanza dei punti materiali dall’asse di rotazione si ottiene



      

2 2 2 2 2 2 2

2 2

I m r Ma Ma mb mb Ma mb

i i

z i    

1 1

  

    

2 2 2 2 2 2 2

2 2

K I Ma mb Ma mb

z

2 2

Confrontando i risultati in a) e in b) si