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 DIMOSTRAZIONE Si consideri una particella di massa

y m fissa all'estremità di un'asta di

F F

t  lunghezza r che possa ruotare in

F

r 

m un piano xy intorno all'asse z

r m descrive una circonferenza di

 x centro "O" e raggio "

r ".

O  

Sia F una forza agente su m

, F xy. F sia la componente

t

tangenziale di F e F sia la compon

ente ra

diale di F .

r 

Solo la componente F può far variare la d

i m intorno

t

  

all'asse z 0

.

   

Sia il momento di F rispetto al polo "O": r F

O

     

Se F xy z se F 0, m ruota intorno

t

O 

a z con accelerazione ang

olare .

Dinamica rotazionale 21

Il mome

nto di F lun

go z ha modulo:

 

 

r Fsen r F

t

O 

a

dalla 2 legg

e di Newton: F ma

t t   

dove a è la componente tangenziale di a a u a u

t N

t t N

  r m a

t

O

L'accelerazione tangenziale a è legata al''accelerazione

t

 

 

angolare : a r

t  

 

   

  

2

r m r m r I

O

dove I è il momento d'inerzi a di m rispetto al

l'ass e z.

Vettorialmente:  

 I

O

a

(2 eq. cardinale della mec

canic

a).

Dinamica rotazionale 22

Questa legge, pur essendo stata ricavata per il caso particolare di

una singola particella rotante intorno ad un asse fisso (es.: z), è

valida per qualsiasi corpo rigido rotante intorno ad u

n asse fisso,

perchè ogni corpo rigido può essere considerato come

un'aggregazione di particel

le.

In tal caso I è il momento d ' inerzia del corpo rigido

.

Controllo delle dim

ens

i oni :

    

 

  2

r F L M L T

    

  

  2 2

I I M L T Dinamica rotazionale 23

Momento angolare

Una pattinatrice compie una piroetta sul ghiaccio: in (a) I è più

ω ω

grande e è piccolo; in (b) I è minore, mentre è maggiore

Dinamica rotazionale 24

Momento angolare di una particella

Si consideri una particella di massa

z 

m

, avente quantità di moto p m v

,

che si muove nel pi ano xy.

   

l r p mr v 

p ha componenti p e p 

r

O  

p p p .

y 

p r

r  

 

p psen m

v

sen

p

 

m p

x r

Si definisce momento angolare (o momento della quantità di moto )

l di una particella m

, rispetto all'origine "O", il vettore così definito:

     

l r p r m v m r v

Dinamica rotazionale 25

Il modulo di l è: l m r v sen

 è l'angolo in radianti tra la direzione di r e di p

.

 

    

    2

Essendo v r l m r r sen mr sen

Si ricordi che se una particell

a ruota con velo

cità angolare

intorno ad un asse a distanza r , il suo momento d'inerzia è

z

 2

I m

r . 

 

 

2

In tal caso l m

r se

n I 

2 y

R m v

x

Dinamica rotazionale 26

m 

 

2 1

S.I. [m kg kg m s J s]

s

Unità di misura di l : cm 

 

2 1

Gauss [cm gr gr cm s erg s ]

s

 

Se p xy il vettore l non è // asse z.

La direzione di l è sempre al piano form

ato da r e p

.

Dinamica rotazionale 27

Esempi di momento angolare l : l

a) Moto circolare uniforme : 

 

O v

r m

   

l r p mr v

    

P circonferenza: r v (angolo tra r e v).

2

  

l mr v

sen mr v

se

n mr

v

2

  

   

2

essendo la v tangenziale: v r l m r I

dove è la velocità angolare; I é il momento d'inerzia di m

rispetto a

ll'asse z passante per il centro O.

N.

B.: l e sono due vettori paralleli.

Dinamica rotazionale 28

b) Particella libera : 

Sia m una particella libera ( forze su m )

      

m se F ma a 0 v cost.

 v

b     

l r p mr v il modulo l

r

O  

 

 

l mr v

sen rsen m

v

 

  

essendo rsen b 

l =

m v b cos t.

infatti, durante il moto della par

ticel

la m

,

le tre grandezze m

, v, b sono cost anti.

Dinamica rotazionale 29

Relazione tra l e

 Si è detto che la 2ª legge di Newton si può anche

F ma

esprimere come:  p

F 

t

 Sappiamo che la forza è la causa del moto traslazionale di un

punto materiale. Per analogia, essendo la causa del moto

rotazionale di un corpo intorno ad un asse di rotazione,

 

l’equazione del moto rotatorio si può anche scrivere

I

(essendo I il momento d’inerzia):

 l

  

t

 Questa relazione è quindi l’equivalente rotazionale della 2ª legge

di Newton. Dinamica rotazionale 30

 Dimostriamo che le relazioni:  l

  

 

I e 

t

sono equivalenti.

 ω

Se un oggetto ha velocità angolare per t = 0 e velocità

0

ω Δt, si ha un’accelerazione angolare α:

angolare dopo   

 

   0

 

t t

 

 l I

Si è visto che    

  

 

  

  

I I

l I I 0

 

     

0 I I

    

t t t t t

 Quindi, se un corpo ruota intorno ad un asse fisso:

 l dl

 

  

I 

t dt

Dinamica rotazionale 31

Relazione tra l e

 

   

Sia l r p m r v [definizione di momento angolare]

derivando ambo i membri rispetto a t :

 

dl d dr dp dp

       

= r p = p r v p r

dt dt dt dt dt

  

si osservi che v e p sono due vettori // v p 0

dl dp

  

r

dt dt dp

 

a

si ricordi che la 2 legge di Newton si può scrivere: F d

t

dl 

  

r F dove F è la risultante delle forze agenti su m

.

d

t Dinamica rotazionale 32

Questa re

lazione è c

orretta l e sono riferiti allo stesso

polo (punto "O"

).

Si noti che l e sono sempre due v

et tori / /.

dl

  a

La relazio ne è l'equivalente rota

zionale d

e

lla 2 legge

dt d p

di Newton scritta come F dt

dl

 

L'eq. vettoriale si scompone in tre equazioni scalari:

dt   dl dt

x x

dl

 

   dl dt

y y

dt   dl dt

z z

Dinamica rotazionale 33

Momento angolare di un sistema di particelle

Sia dato un sistema di N particelle di massa m , ciascuna si

i 

muova con velocità v e quindi quantità di moto p m v

i i

i

 

a cui corrisponde un l r p rispetto ad un polo "O".

i

i i

Si d e

finisce momento angolare totale L del sistema rispett o

ad "O": N

L = l +

l +.........

.+

l = l

1 2 N i

i 1

Le l possono variare nel tempo durante il moto del sistema, sia

i 

per la p

r

esenza di F che per effetto di F al sistema

int ext

Dinamica rotazionale 34

ciò da' luogo ad una variazione di L nel tempo:

  

N

L l l

 

  

i i

si ricordi che i

  

t t t

i 1  N

L  

 i

t 

i 1

c

io è la variazione di L totale nel tempo è pari alla somma dei

 che agiscono sulle singole parti celle

.

i 

Le F tra particelle danno luogo ai momenti di forza

int int

(

momenti interni).

Le F che agiscono sulle particelle dall'esterno del sistema,

ext 

danno luogo ai mom

enti di forza estern

i ext

N

  

 

int ext i

i 1

Dinamica rotazionale 35

ciò da' luogo ad una variazione di L nel tempo:

N

d L dl dl

 

  

i i

si ricordi che i

dt dt dt

i 1 N

dL  

 i

d

t 

i 1

ci o

è la variazione di L totale nel tempo è pari alla somma dei

 che agiscono sulle singole parti celle.

i 

Le F tra particelle danno luogo ai momenti di forza

int int

(momenti interni).

Le F che agiscono sulle particelle dall'esterno del sistema,

ext 

danno luogo a

i momenti esterni ext

N

  

 

int ext i

i 1

Dinamica rotazionale 36

o

Si ricordi che le F , per il 3 principio della dinamica si

int N

 

annull

ano a copp

ie nella si prendono in

i

i 1

considerazione solo i mom

enti associati a forze ex

t. al sistema,

le uniche in grado di variare L totale:

 N

L    

   

i in

t ext

t 

i 1  L

τ =

ext 

t

la somma vettoriale dei momenti delle F rispetto ad un polo

,

ext

che agiscono su un sistema di particelle è pari alla variazi one

temporale del momento angolare del sistema calcolato rispetto

allo stesso polo

. Dinamica rotazionale 37

o

Si ricordi che le F , per il 3 principio della dinamica si

int N

 

annullano a coppie nella si prendono in

i

i 1

considerazione solo i momenti associat i a forze ex

t. al sistema,

le uniche in grado di variare L totale:

N

dL    

   

i in

t ext

d

t 

i 1 dL

τ =

ext dt

la somma vettoriale dei momenti delle F (

rispetto ad un polo ),

ext

che agiscono su un sistema di particelle è pari alla varia zione

temporale del momento angolare del sistema calcolato rispetto

allo stesso polo

. Dinamica rotazionale 38

 L

 

Si noti che l'equazione vale solo se i vettori dei

ex

t 

t

momenti delle forze ed i vettori l sono riferiti allo stesso

i i

pol

o.

Commento sulle F di un sistema di parti c

e

ll

e

:

in

t

le fo

rze interne non possono far variare nè la quantità di moto

P totale di un sistema di particelle nè il momento angolare L

totale de

l sist

ema stesso

.

 

L P

  

La legge è l'equivalente rotazionale di F ext

ext  

t t

Dinamica rotazionale 39

dL

 

Si noti che l'equazione vale solo se i vettori dei

ex

t d

t

momenti delle forze ed i vettori l sono riferiti allo stesso

i i

po

lo.

Commento sulle F di un sistema di partic

e

lle:

i n

t

le forze interne non possono far variare nè la quantità di moto

P totale di un sistema di particelle nè il momento angolare L

t

otale del sistema stes

so

.

dL dP

  

La legge è l'equivalente rotazionale di F ext

ext dt dt

Dinamica rotazionale 40

Momento angolare di un corpo rigido che

ruota intorno ad un asse fisso

Si consideri un corpo rigido

z  

che ruota con cost . intorno

  cos

t. ad un asse fisso (es.: asse z), in

un si stema di r

iferim. iner

zia

l

e

.

r Si vuol determinare il momento

 p

m angolare L del corpo rig ido

i

i  rispett o all'asse z.

i 

Sia m un elemento di massa,

2 i

l i individuato dal vettore posizione

r i 

r . m ruota intorno all'asse z,

i

y i

O su una circonferenza di raggio r ,

con quant ità di moto p .

x i

Dinamica rotazionale 41

Il momento angolare di m rispetto ad "O" è:

i

 

l r p il cui modulo è:

i

i i  

  

l r p sen 2 r m v

i i i i i i

v è la velocità di m tang

en

te alla circonferenza di raggio r .

i i 

Essendo l'asse z fisso

z il corpo rigido può ruotare solo

l intorno a que

s to ass e

i

 Interessa la componente l :

iz

   

l  

   

l l sen r sen m v

iz iz i i i i

 

y

O r m v

i i i

x Dinamica rotazionale 42


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AUTORE

kalamaj

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+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Fisica Medica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in medicina e chirurgia (a ciclo unico - 6 anni)
SSD:
Università: Foggia - Unifg
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kalamaj di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica Medica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Foggia - Unifg o del prof Capozzi Vito.

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