Fisica medica - dinamica rotazionale

Dinamica rotazionale

Il centro di massa CM si muove di moto traslatorio rettilineo con velocità v_CM. Inoltre, il centro di massa ruota con velocità intorno ad un asse orizzontale mobile, coincidente con la direttrice del cilindro a contatto con il piano orizzontale in A.

Quindi un disco che rotola ha energia cinetica sia traslatoria del CM, sia rotazionale intorno all'asse mobile passante per A.

Si dimostra che l'energia cinetica totale di un corpo che rotola è:

E = 1/2 Mv_CM² + 1/2 I_CMω²

dove I_CM è il momento d'inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il CM e ω è la velocità angolare intorno a questo asse.

L'attrito statico tra la ruota ed il piano di appoggio è la causa del rotolamento. Se non ci fosse questo attrito statico, la ruota scivolerebbe sul piano, invece di rotolare, come succede quando una strada è ghiacciata.

attrito statico e non compie lavoro, se il disco è perfettamente rigido.  PA Bf fInfatti, in tal caso il punto di contatto è solo P (fermo) e la forza di attrito agisce al piano.Mentre se la sfera rotola, i punti A e B adiacenti a P si spostano alla direzione di f e quindi f non compie lavoro.

Dinamica rotazionale 10Momento di una forza(a) Forze agenti a differenti Applicazione della stessaMomento torcente = angoli sulla maniglia forza ma con diversir F rF d della porta. bracci, r e r .A B(b) Il braccio è definito come la distanza tral'asse di rotazione e laretta d'azione della forza. Dinamica rotazionale 11Momento di una forzaSia dato un sistema di assi cartesianiOxyz.z ∈Sia P xy, in cui giace il vettorer OPSia F una forza applicata al puntoτ = ×r F P e sia F giacente nel piano x y.φO Sia l'angolo tra le direzioni di ry e di F .r F Si definisce momento della forza FφP (o momento torcente) rispetto alx punto O

chiamato "polo" : τ = r × F₀ τ φ=il cui modulo è dato da: r F senDinamica rotazionale 12φ=z Si osservi che: F F sent≡F componente tangenziale di Ft ≡F componente radiale di Fτ = × rr F F non causa una rotazione intorno a z;O ry F causa la rotazione di P intorno a z.F ttr τ =P r Fφ tx Fr L’efficacia della componente F nel far ruotare il punto P (es.:tintorno all’asse z, dipende non solo daluna maniglia di porta)suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica laforza) dal punto O.Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento diτ = ×forza r F₀ Dinamica rotazionale 13Si definisce braccio della forza F ,z la distanza r tra la retta d'azione⊥della F ed il polo "O":φ= ⟹r r senτ = × ⊥r F τ φ= =r sen F r F⊥O τyr Il momento è in pratica l'azioneFr⊥ φ di rotazione o di torsione esercitatadx dalla F su di un corpo rigido.π 2Esempio:

quando si fa ruotare la ruota di una bicicletta con la mano, si sta applicando proprio un momento di una forza.

Dimensione di τ: [rF] = [L][F] = [MLT^-2]

Unità di misura di τ: dyne cm

(a) Un idraulico può esercitare un momento torcente maggiore usando una chiave inglese con un braccio lungo. Anche una chiave per smontare le ruote di un'auto può avere (b) un braccio lungo per aumentare il momento torcente.

Momento torcente di un bicipite. Il bicipite esercita una forza sull'avambraccio, verticale che viene piegato nella maniera mostrata in figura (a) e (b).

Coppia di forze. Una coppia di forze è un sistema di due forze F₁ e F₂ uguali in modulo ma aventi versi opposti e agenti su rette parallele.

La risultante R = F₁ + F₂ = 0, quindi non c'è moto traslatorio.

Si consideri un polo "O".

e si calcoli il momento di F e F rispetto al polo O: Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. 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Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. 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Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo O è dato da τ = rF, dove r è il vettore braccio che collega il polo O al punto di applicazione della forza F. Il momento di F rispetto al polo

ai cardini).

Se applichiamo ad un corpo rigido un'accelerazione angolare α attorno all'asse di rotazione, la velocità angolare ω del corpo rigido varia nel tempo.

Si dimostra che: τ = Iα (2ª equazione di Newton per la rotazione, nota come 2ª equazione cardinale della meccanica).

Dinamica rotazionale 19

τ = Iα è l'equazione equivalente rotazionale della 2ª legge di Newton ed è valida per la rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso.

Il momento d'inerzia I, che è una misura dell'inerzia rotazionale di un corpo, ha nel moto rotazionale lo stesso ruolo della massa m nel moto traslazionale.

Dinamica rotazionale 20

DIMOSTRAZIONE Si consideri una particella di massa m fissa all'estremità di un'asta di lunghezza r che possa ruotare in un piano xy intorno all'asse z. La particella descrive una circonferenza di raggio r e angolo θ.

τ = Fr sin(θ) = m(rω²) sin(θ) = m(r²ω²) sin(θ) = Iα

"O" e raggio "r ".O  Sia F una forza agente su m, F xy. F sia la componente tangenziale di F e F sia la componente radiale di F .r Solo la componente F può far variare la di m intorno t  all'asse z 0.   Sia il momento di F rispetto al polo "O": r FO     Se F xy z se F 0, m ruota intorno tO a z con accelerazione angolare .Dinamica rotazionale 21Il momento di F lungo z ha modulo:  r Fsen r FtO adalla 2 legge di Newton: F mat t   dove a è la componente tangenziale di a a u a ut Nt t N  r m atOL'accelerazione tangenziale a è legata al''accelerazionet  angolare : a rt       2r m r m r IOdove I è il momento d'inerzi a di m rispetto all'ass e z.Vettorialmente:   IOa(2 eq. cardinale della meccanica).Dinamica rotazionale 22Questa legge, pur essendo stata

ricavata per il caso particolare di una singola particella rotante intorno ad un asse fisso (es.: z), è valida per qualsiasi corpo rigido rotante intorno ad un asse fisso, perché ogni corpo rigido può essere considerato come un'aggregazione di particelle. In tal caso I è il momento d'inerzia del corpo rigido. Controllo delle dimensioni: [ ] [ ] [ ] τ = 2r F L M L T [ ] [ ] [ ] α = 2 2I I M L T Dinamica rotazionale 23 Momento angolare Una pattinatrice compie una piroetta sul ghiaccio: in (a) I è più grande e ω è piccolo; in (b) I è minore, mentre ω è maggiore Dinamica rotazionale 24 Momento angolare di una particella Si consideri una particella di massa m, avente quantità di moto p = mv, che si muove nel piano xy. p = l × r = p_x + p_y Si definisce momento angolare come: l = r × p = mvr sin φ dove φ è l'angolo tra r e p.

angolare (o momento della quantità di moto) l di una particella m, rispetto all'origine "O", il vettore così definito: l = r x p. Dinamica rotazionale 25. Il modulo di l è: l = m * r * v * sen(φ), dove φ è l'angolo in radianti tra la direzione di r e di p. (ω * φ) = ω * φ = 2. Essendo v = r * ω, si ricordi che se una particella ruota con velocità angolare ω intorno ad un asse a distanza r, il suo momento d'inerzia è I = m * r^2. In tal caso, l = m * r * ω^2. Unità di misura di l: cm^2 * gr * s^-1 * erg * s^-1. Se p xy il vettore l non è parallelo all'asse z. La direzione di l è sempre al piano formato da r e p. Dinamica rotazionale 27. Esempi di momento angolare l: a) Moto circolare uniforme: ω * φ = ω * φ = π.

P circonferenza: r × v (angolo tra r e v) × 2