Fisica Medica - Cinematica

 Poiché la velocità cambia nella direzione in cui la traiettoria

s’incurva, l’accelerazione è sempre diretta verso la concavità

della curva ed, in generale, l’accelerazione non è né tangente

né perpendicolare alla traiettoria. v

v a

a

a v Cinematica: moti 2D e 3D 10

Moto curvilineo con accelerazione costante

   

Se a cost. a a a

m ist

 v

     

ed essendo a v a t

m 

t

     

        

v v v a t t v v a t t

2 1 2 1

2 1 2 1 

   

Se: t 0, v v (velocità iniziale a t 0)

1 0 

1 

 

  

t t , v v t (velocità all'istante t )

2

2    

v t v a t

0

Cinematica: moti 2D e 3D 11

EQ

UAZIONE ORARIA 

Un punto che si muove con a cost. e con velocità iniziale

 



v per t 0 , ad un istante t qualsiasi avrà velocità:

0    

v t v at

0  

Consideriamo il valore me

dio v tra v t ed il valore iniziale

m  

 

 

v at v

v v 2v a

t

0 0

    

0 0

v a t 0 v

0 m 2 2 2

   

 

 r t r r t r

r  

0 0

     

Ricordando che v r t r v t

0

m m

  

t t t 0



2v at 1

   

   

0 2

r t r + t r t = r +v t at

0 0 0

2 2

Cinematica: moti 2D e 3D 12

Moto di un proiettile

  

 2

a cost. g (acc. di gravi tà: 9.81 m/s )



Sia: 

 r 0

0

y 

 a 0

v    x



a g j  

a g



v y

 

v v i v j

0 0

x 0

y

v  

 

h v v cos ; v v se

n

0

x 0 0

y 0

v 0 

v 0 y Il piano xy coincide col

v x

0 x piano definito d

a v e g .

0

 

a g j Cinematica: moti 2D e 3D 13



 

 v v v cos

     x 0

x 0



Si consideri l'equazione: v t v gt

0  

v v gt

 y 0

y

 

    

La componente v di v v cost. a x

x 0

x il moto lungo l'asse x è rettilineo

y  



uniforme v cost. ;

v x

il moto lungo l'asse y è rettilineo

v uniformemente decelerato

 



a cost. .

v y

h Equazione oraria:

v 0 1

     2



v r t r v t at

0 y 0 0 2 

 x v t

 0

x

v x 1

   

0 x 2 

r t v t gt 1

0   2

  2 y v t gt



a g j   

2 2  0

y

t : v v v 2

x y

Cinematica: moti 2D e 3D 14

EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA

1

 



    2

x v t v cos t ; y v t gt

0

x 0 0

y 2 x

 

L'equazione della traittoria si ottiene eliminando t : t v 0

x



2

  v sen 2

x 1 x 1 x

     

0

 

y v g y x g 



0

y 2 2

 

v 2 v 2 v cos

v cos

0

x 0

x 0

0

2

1 x  



  

y xtg g Equazione della tr

aiettoria y f x



2 2

2 v cos

0

E' l'eq. di una parabola con la concavità verso il bas so del tipo :

  

2

y ax bx c

 

con c 0 la parabola pas sa per l'origi n

e O

xy

 

a 0 la concavità è rivolta verso il basso.

Cinematica: moti 2D e 3D 15

2

1 x



 

y y xtg g 

2 2

2 v cos   

0 2

y ax bx c

g



a  



2 2

2 v cos

0





b t g

v 0  

c 0

x

Cinematica: moti 2D e 3D 16

GITTATA DEL PROIETTILE: R  

2

gx  



  

 

Equazione della parabola: y tg x



2 2

 

2v cos

0

 

2

gx  



     

 

poniamo y 0 0 tg x



2 2

 

2v cos

0 

  

y x 0

gx 

     

 

0 x tg 2 soluz.

 

2 2 

  x R

2v cos

0 gx



 

tg 

2 2

2v cos

0 

2 2

2v cos 

  

v 0

x tg

0 g

 2

2v  

 0 sen cos

g

x

R Cinematica: moti 2D e 3D 17

2

2

v  

 0

x sen cos

g   

 

Si ricordi c

he sen 2 2 sen cos



2

2 v sen 2

 

0

R g 2

2

v 

 

0

R sen 2 Gittata !

g   

Si osservi che R è max quando sen2 1



 

   

2 4 5

2 Cinematica: moti 2D e 3D 18

TEMPO DI VOLO

Le equazioni del moto lungo gli assi x e y sono:

 



 

x v cos t

 0

 1

 



  2

 y v sen t g t

 0 2 

Il tempo di volo si ottiene pon endo y 0 nelle equaz

ioni del moto

1

 



   

2

y v sen t g t 0

0 2 

t 0

   

1 v sen 2v sen



     

 

v se

n gt t 0 0 0

t

0

 

2 1 g

g

2

Cinematica: moti 2D e 3D 19

ALTEZZ

A MAX

: h

  

Si osservi che per y h v 0

y   tempo necessario per

v sen

 



     

0

v v sen g t * 0 t * 

y 0  r

aggiungere y h

g 1

 

     



  

2

Sostituendo t * in y t : y t * v sen t * g t *

0 2

y 2

 

   

v sen v sen

1

  

 

0 0

   

y t * v sen g

0    

g 2 g

 

2 2 2 2

v sen v sen

1

    

0 0

y t * g 2

g 2 g

h

v 

0 2 2

v se

n

 

0 h

 2 g

x

Cinematica: moti 2D e 3D 20