Fisica medica - Capacità elettrostatica e condensatori

CAPACITÀ ELETTROSTATICA

&

CONDENSATORI

Capacità elettrostatica e condensatori 1

Capacità di un conduttore sferico isolato

 Si consideri una sfera metallica isolata di raggio R



Q 

 si

sfera

sulla

posta

Q

carica

la

che

visto

è

Si



 

 E = 0 e

superficie

sulla

uniformemente

distribuisce

R

  



 .

0

E

è

all'interno

campo

il

r

 

 



 di

legge

la

con

dimostrato,

è

si

R

r

Per

? V(r) 1

Q

 ;

u

E

he:

c

auss,

G ext r

 2

r

4 0 



 1

Q

Q 





 



)

R

(

E

:

R

r

per 





 

 2

2 R

4

R

4 0

0

0





 0

)

R

(

E

:

R

r

0

per

Capacità elettrostatica e condensatori 2

 Il potenziale elettrostatico V è dato da:

Q dr Q

  

        

V(r) E d r Edr C

 

2

4 r 4 r

0 0

) 

la costante C si determina ponendo V(r = = 0 C = 0.

Q

  

Quindi: per r R V( r ) 

4 r

0

(all’interno della sfera)

Invece: per r < R E = 0.

in Q

 

 V( R ) cost

Sulla superficie della sfera il potenziale è: 

4 R

0

 Si è visto che anche all’interno della sfera il potenziale è costante

ed è uguale a quello della superficie.

Capacità elettrostatica e condensatori 3

Infatti : d

V

       

d

V Edr 0 E 0 (all'interno del conduttore

)

dr

d

V Q

   

Se la derivata 0 V( r ) cost 

dr 4 R

0

E V

Q



4 R

0 1



V

1 r



E 2

r



E 0 r r

R R

Capacità elettrostatica e condensatori 4

 Si definisce capacità di un conduttore isolato il rapporto

C = Q/V tra la carica Q posseduta dal conduttore ed il suo

potenziale elettrico V.

Nel caso di un conduttore sferico la sua capacità è:

Q Q 

  

C 4 R

0

Q

V 

4 R

0

 Questa nuova grandezza C è indipendente sia dalla carica Q

sulla sfera che dal suo potenziale elettrico V.

 Questo risultato è comprensibile perché se V è proporzionale



alla carica Q che lo produce Q/V = cost

 Infatti, se la carica di un conduttore aumenta di un fattore k,

anche il potenziale V del conduttore aumenta dello stesso

fattore k.

. Capacità elettrostatica e condensatori 5



 Ciò è vero conduttore carico di qualsiasi forma geometrica.

 Quindi, la capacità di un conduttore dipende solo dalla sua

forma, dalle sue dimensioni e dal mezzo che lo circonda che

può essere il vuoto o un materiale dielettrico (i.e. un isolante).

 Unità di misura della capacità:

     

  

C Q V (nel S.I.) C/V Farad (F)



 La capacità di 1F è troppo grande. perciò si usano i

F,

sottomultipli mF, nF, pF.

 Neanche tutta la Terra ha la capacità di 1 F. Infatti:



 -12 2 2 6 - 4

C = = 4 (8.85·10 C /Nm )(6.3·10 m) = 7·10 F

4 R

0 Capacità elettrostatica e condensatori 6

C

Condensatori

 Il concetto di capacità elettrica può essere esteso ad un sistema

su cui c’è una carica

di due conduttori + Q e - Q.

Se V e V sono i potenziali elettrici dei due conduttori, si

1 2

definisce capacità del sistema di due conduttori isolati:

Q



C 

V V

1 2

Questo sistema di due conduttori costituisce un condensatore se

tra di essi c’è induzione elettrostatica completa!!!

 Un condensatore è un dispositivo che può immagazzinare cariche

elettriche e consiste di due conduttori affacciati, ma non in

contatto. Capacità elettrostatica e condensatori 7

 Un tipico condensatore è quello formato da due conduttori piani e

paralleli di superficie S, separati da una distanza d. 

V  

1 

 

 Q

 

Q

   

   

S

  E  

  

 

 V

2 x

O d

 In pratica le due lamine conduttrici sono arrotolate a formare un

cilindro con un isolante frapposto che può essere carta (cond. a carta),

mica (cond. a mica), ceramica (cond. ceramici).

Capacità elettrostatica e condensatori 8

V,

 Se alle due armature si applica una differenza di potenziale

per esempio tramite una pila, esse si caricano elettricamente.

C

 In particolare , quella a contatto con



 

 il polo (

+

) si carica con una carica + Q ,



  mentre quella conne

ssa al polo (

-

)



si carica con Q

.

 

V V

 Si è visto che la differenza di potenziale tra due piani

–

paralleli distanti d e carichi con + Q e Q è legata al campo E :

     

V V V Ed V - V = Ed

2 1 1 2

Capacità elettrostatica e condensatori 9



 Se è la densità di carica superficiale, si è visto che:<