Fisica medica - Capacità elettrostatica e condensatori

Q

V 

4 R

0

 Questa nuova grandezza C è indipendente sia dalla carica Q

sulla sfera che dal suo potenziale elettrico V.

 Questo risultato è comprensibile perché se V è proporzionale



alla carica Q che lo produce Q/V = cost

 Infatti, se la carica di un conduttore aumenta di un fattore k,

anche il potenziale V del conduttore aumenta dello stesso

fattore k.

. Capacità elettrostatica e condensatori 5



 Ciò è vero conduttore carico di qualsiasi forma geometrica.

 Quindi, la capacità di un conduttore dipende solo dalla sua

forma, dalle sue dimensioni e dal mezzo che lo circonda che

può essere il vuoto o un materiale dielettrico (i.e. un isolante).

 Unità di misura della capacità:

     

  

C Q V (nel S.I.) C/V Farad (F)



 La capacità di 1F è troppo grande. perciò si usano i

F,

sottomultipli mF, nF, pF.

 Neanche tutta la Terra ha la capacità di 1 F. Infatti:



 -12 2 2 6 - 4

C = = 4 (8.85·10 C /Nm )(6.3·10 m) = 7·10 F

4 R

0 Capacità elettrostatica e condensatori 6

C

Condensatori

 Il concetto di capacità elettrica può essere esteso ad un sistema

su cui c’è una carica

di due conduttori + Q e - Q.

Se V e V sono i potenziali elettrici dei due conduttori, si

1 2

definisce capacità del sistema di due conduttori isolati:

Q



C 

V V

1 2

Questo sistema di due conduttori costituisce un condensatore se

tra di essi c’è induzione elettrostatica completa!!!

 Un condensatore è un dispositivo che può immagazzinare cariche

elettriche e consiste di due conduttori affacciati, ma non in

contatto. Capacità elettrostatica e condensatori 7

 Un tipico condensatore è quello formato da due conduttori piani e

paralleli di superficie S, separati da una distanza d. 

V  

1 

 

 Q

 

Q

   

   

S

  E  

  

 

 V

2 x

O d

 In pratica le due lamine conduttrici sono arrotolate a formare un

cilindro con un isolante frapposto che può essere carta (cond. a carta),

mica (cond. a mica), ceramica (cond. ceramici).

Capacità elettrostatica e condensatori 8

V,

 Se alle due armature si applica una differenza di potenziale

per esempio tramite una pila, esse si caricano elettricamente.

C

 In particolare , quella a contatto con



 

 il polo (

+

) si carica con una carica + Q ,



  mentre quella conne

ssa al polo (

-

)



si carica con Q

.

 

V V

 Si è visto che la differenza di potenziale tra due piani

–

paralleli distanti d e carichi con + Q e Q è legata al campo E :

     

V V V Ed V - V = Ed

2 1 1 2

Capacità elettrostatica e condensatori 9



 Se è la densità di carica superficiale, si è visto che:

 

   

E V V d

 

1 2

0 0

La capacità C del condensatore è:

 

Q S S S



   

C 

 0

V V Ed d

1 2 d

 0

 Si vede che la capacità C di un condensatore dipende solo

dalle dimensioni del condensatore e dal materiale dielettrico tra

le armature. Capacità elettrostatica e condensatori 10



MISURA DI 0

 La capacità di un condensatore piano suggerisce un modo



semplice per misurare . Infatti, misurando la C di un

0

condensatore in cui tra le armature c’è il vuoto e conoscendo la

superficie S e la distanza d tra le armature, si ha:

 

C

S Cd F

 

  

    

C S.I.

 

0 0 0

d S L m

 Dalla legge di Coulomb:

Q Q Q Q

1 

   

1 2 1 2

F  

0

2 2

4 r 4 Fr

0 2

C

 

 

0 2

N m 2 2

F C C C C

 

     

0 2

m V m J C m J m N m

Capacità elettrostatica e condensatori 11

Capacità equivalente di condensat. collegati in parallelo

 

    

   

 

  C

C

C C

C 



V V 

  

 

 

  eq

n

2 3

1 Q

Q

Q Q

Q 3

2 n

1

 Proprietà del collegamento in parallelo:

 V.

Su ogni condensatore la stessa differenza di potenziale 

Ora le cariche sono diverse da condensatore a condensatore

     

Q C V; Q C V; .......... Q C V

1 1 2 2 n n

La carica complessiva fornita dalla batteria è:

           

Q Q Q .......... Q C V C V .......... C V

1 2 n 1 2 n

 

     

Q V C C .......... C

1 2 n

Capacità elettrostatica e condensatori 12

Q    

C C .......... C

 1 2 n

V

Ma Q/V è equivalente alla capacità C di un condensatore

eq 

sulle cui armature c’é la carica totale Q e tra di esse una

V.

differenza di potenziale

 Quindi, la capacità equivalente di due o più condensatori

collegati in parallelo è pari a quella di un condensatore la

cui capacità è data da:

   

C C C .......... C

eq 1 2 n

Capacità elettrostatica e condensatori 13

Capacità equivalente di condensatori collegati in serie

C

C

C C

C 

 

 eq

n

2

1 3 





 

 



 



  

Q

Q Q

Q

Q Q

Q

Q Q Q



 



 V V

V

V 3 n

2

1 

 

 

 V

V

 Proprietà del collegamento in serie:

Essendoci induzione elettrostatica totale tra le due armature dei

dell’armatura di

condensatori, la carica + Q C collegata alla

1

– sull’altra armatura di

batteria induce una Q C .

1

 L’insieme dell’armatura negativa di e l’armatura sinistra di

C

1 

C formano un conduttore isolato e quindi elettricam. neutro

2

sull’armatura sinistra di C deve formarsi una eguale carica + Q

2

Capacità elettrostatica e condensatori 14

 Iterando il discorso per ogni condensatore si deduce che tutti i

condensatori collegati in serie hanno sulle armature la stessa

carica Q. 

 Ai capi di ogni condensatore una specifica differenza di

potenziale:

Q Q Q Q

       

V ; V ; V ; ...... V

1 2 3 n

C C C C

1 2 3 n

Q Q Q Q

              

V V V V ...... V ......

1 2 3 n C C C C

1 2 3 n

  

1 1 1 1 V 1 1 1 1

           

 

V Q .... ..

.

 

C C C C Q C C C C

1 2 3 n 1 2 3 n

Capacità elettrostatica e condensatori 15

 Ma Q/V è equivalente alla capacità C di un condensatore

eq  V.

sulle cui armature c’é una carica Q e tra di esse una d.d.p.

 Quindi la capacità complessiva di condensatori collegati in serie

è equivalente a quella di un condensatore di capacità C data da:

eq



1 V 1 1 1 1

     

......

C Q C C C C

eq 1 2 3 n

 Nel caso particolare di due condensatori in serie si ha:

C

C

C 

 eq

2

1 



 C C

1 1 1

   2 1



 



  

Q

Q Q

Q

Q Q C C C C C

eq 1 2 1 2





 V

V 2

1 

C C

  1 2

C



   

eq C C

1 2



 V

V Capacità elettrostatica e condensatori 16

Energia elettrostatica di un condensatore

 Ogni configurazione di cariche elettriche possiede una energia

potenziale U = W (lavoro) che deve essere fatto da un agente

esterno per costruire la configurazione di cariche poste

inizialmente molto lontane (all’) l’una dall’altra.



Anche in un condensatore una configurazione

di cariche e quindi è immagazzinata una U e



   pari al W che dall'esterno è necessario fornire

E per caricare il condensatore

.



   Pe

r ca ricare un condensatore si richiede una spesa

di energia, poichè per portare più carica elettric

a

su di un condut t or

e si deve compiere un lavoro W

per vincere la repulsione delle cariche già presenti

sulle armature.

Capacità elettrostatica e condensatori 17

Questo lavoro si trasforma in un aumento di U delle cariche

e

sulle armature e quindi del condensatore.

 In pratica, si può immaginare di caricare un condensatore

sottraendo elettroni dall’armatura positiva e spingendoli su

quella negativa per mezzo di un generatore elettrico

Ad un certo istante sia q (

t ) la carica elettrica

 presente su di un condensatore e C la sua

dq  

q t 



   capacità all'istante t la differenza di

 potenziale è: V(t) = q(t) C.

V(

t )



   

Si aggiun ga una ulteriore carica dq il

lavoro infinitesimo fatto dal generatore ext. è:

q(t)

dW = dU = V(t)dq = d

q

C

 Continuando questo processo, una carica Q si trasferisce sul

condensatore e il lavoro W fatto in totale dal generatore è:

Capacità elettrostatica e condensatori 18

W fatto in totale è: 2

q (

t ) dq 1 Q

Q

 

  

W dW C 2 C

0

 È noto che il W compiuto da un agente esterno in presenza di

U 

forze conservative è pari a e 2

1 Q 1 1

         2

W U U (

Q ) U ( ) U Q

V C

V

e e e e 2 C 2 2

2

1 1 1 Q

 

2

Quindi U C V Q

V = è l'energia elettrostatica

e 2 2 2 C 

contenuta in un condensatore di capacità C su cui una carica Q

