Fisica Matematica 1

Fisica Matematica 1

13/09/2011

1

Indice

1 Introduzione alle Equazioni differenziali 3

2 Studio qualitativo di una equazione differenziale 6

2.1 Sistemi di Equazioni differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Sistema di Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Sistema di Equazioni differenziali non-lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Stabilità secondo Lyapunov dei punti di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Modello di stabilità per in mercati competitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Sistemi dinamici Monodimensionali discreti 23

4 Il problema di Keplero 26

4.1 Il problema dei due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Le equazioni di Lagrange 33

5.1 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

1 Introduzione alle Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali sono equazioni, la cui incognita non è uno scalare o un vettore, ma una

~t

funzione ~x = ~x ( ).

Una generica equazione differenziale appare nella forma

˙ (k)

~t,

G( ~x, ~x , . . . , ~x ) = 0

Definizione 1.1. (Equazione ordinaria) ∈

Si tratta di una equazione differenziale la cui incognita è ~x = ~x (t) con t R

Definizione 1.2. (Forma ordinaria normale di ordine k)

Si tratta di una equazione differenziale ordinaria, che può venir riscritta nel seguente modo

˙ ¨

(k) (k−1)

~x = f (x, ~x , ~x , . . . , ~x , t)

Nota.

D’ora in avanti non facciamo più distinzione tra ~x e x per alleggerire le notazioni.

Definizione 1.3. (Equazioni del primo e del secondo ordine)

Ci riferiamo alle seguenti equazioni: ẋ = f (x, t)

ẍ = f (x, ẋ, t)

Definizione 1.4. (Soluzione)

n·k n n

⊂ × → ⊂ →

Sia f : E , allora x : I è soluzione su I di un equazione differenziale

R R R R R

del primo o secondo ordine (a seconda che n sia 2 o 3) se

1. x è derivabile k volte

∀x ∈ ∈

2. I, (x, t) oppure (x, ẋ, t) E

∀x ∈

3. I l’equazione differenziale è soddisfatta

Nota. n

∈

Se abbiamo un sistema nella forma ẋ = f (x) con x , come ad esempio

R

   

x f (x , . . . , x )

1 1 1 n

... ..

x = , f (x) =

   

.

   

x f (x , . . . , x )

n n 1 n

si ottiene il sistema  ẋ = f (x , . . . , x )

1 1 1 n



 ..

 (1)

.



 ẋ = f (x . . . . , x )

 n n 1 n ∈

Allora data una equazione di secondo ordine ẍ = f (x, ẋ, t) x basta porre

R

( ẋ = v (2)

v̇ = f (x, v, t)

cioè

x v

y = e F (y, t) = (3)

v f (x, v, t)

3

e si giunge quindi una equazione del primo ordine; infatti: ẏ = F (y, t)

Non vale però il viceversa, infatti un generico sistema di equazioni del primo ordine appare nella

forma ( ẋ = g(x, v, t) (4)

v̇ = f (x, v, t)

Non è quindi riconducibile ad una equazione differenziale del secondo ordine. In generale un

·

sistema di n equazioni differenziali di ordine k può essere ridotto ad un sistema di n k equazioni

di primo ordine.

Definizione 1.5. (Equazione differenziale autonoma)

Si tratta di equazioni nella forma (k) (k−1)

x = f (x, ẋ, . . . , x ) (5)

La funzione f è comunque, a priori, dipendente dal tempo, ma non lo è in modo esplicito.

Nota.

Un sistema ẋ = f (x, t) di n equazioni dipendenti dal tempo, è riconducibile ad un sistema di

n + 1 equazioni indipendenti dal tempo, e quindi autonomo, nel seguente modo:

Data una equazione differenziale ẋ = f (x(t), t)

ponendo x = t si ottiene

(0) (

ẋ = 1

(0)

ẋ = f (x, x )

(0)

e quindi ponendo  

x (0)

x

x 1

 

(0)

y = =  

.

..

x  

 

x n

si ha 

  

1 ẋ (0)

ẋ

f (x, x ) 1

1 (0)

    ˜

= = f (y)

ẏ = 

  

.. ..

   

. .

   

f (x, x ) ẋ

n n

(0)

e l’equazione è autonoma.

Definizione 1.6. (Problema di Cauchy (PC))

Si tratta di una particolare equazione differenziale scritta nella forma

(k) (k−1)

 x = f (x, ẋ, . . . , x , t)







x(t ) = x

 0 0







ẋ(t ) = x

0 1

..





.







 (k−1)



x (t ) = x

0 k−1

E grazie alle osservazioni fatte in precedenza risulta sempre possibile ricondursi ad una equazione

autonoma del primo ordine. 4

Teorema 1.7. (Teorema di Peano)

n·k n 0

⊂ × → ∈ ∈

Sia f : Ω C (Ω) con (x, t) Ω allora il PC ha almeno una soluzione.

R R R

Teorema 1.8. (Teorema di esistenza e unicità globale)

n·k n 0

⊂ × → ⊂ ∈

Sia f : Ω con J intervallo f C (Ω) e lipschitziana rispetto a

J R R R n·k

(k−1) × ∀I ⊂

(x, ẋ, . . . , x ), uniformemente rispetto a t su I con J compatto, allora

R

n·k

∀(x ∈ ×

, x , . . . , x , t) J il Problema di Cauchy ha 1! soluzione su J

R

0 1 (k−1)

Teorema 1.9. (Teorema di esistenza e unicità locale)

n∗k+1 n 1

⊂ → ∈ ∈

Sia f : Ω con f C (Ω) e (x , x , . . . , x , t) Ω, allora

R R 0 1 (k−1)

∃ U(t U(t

) t.c. il Problema di Cauchy ha 1! soluzione su )

0 0

Esempio 1.10. (Equazioni differenziali banali)

1. Sia ẋ = f (t) t

R

Allora x(t) = x(t ) + f (s)ds

0 t 0

2. Sia ẋ = f (x)

U 6 ∀x ∈ U ∈ U.

Sia un aperto in cui f (x) = 0, e sia x = x(t) una soluzione t.c. x(t ) = x , t

0 0 0

6

Poiché ẋ = f (x) = 0, si ha che localmente la funzione x(t) è invertibile e denotiamo t(x) la

inversa. 1 1 1

dt = = , cioè ẋ = e quindi, per l’esempio visto prima

E quindi si ha: dx dx/dt f (x) f (x)

x 1

R

−

t(x) t(x ) = d s

0 f (s)

x

0

Esempio 1.11. (Modelli fisici, decadimento radioattivo)

Vogliamo calcolare il decadimento radioattivo del Carbonio 14, sia p la probabilità che venga

rilasciata una particella, N il numero di atomi decaduti, ∆t l’intervallo di tempo con

−

N (t + ∆t) = N (t) ∆N

· ·

dove ∆N = p ∆t N (t)

Abbiamo quindi −

N (t + ∆t) = N (t) p∆tN (t)

23

≈

Essendo N 10 possiamo supporre che N sia una funzione a numeri reali e non interi, e in

particolare derivabile. Si ha che allora per Taylor:

N (t + ∆T ) = N (t) + Ṅ ∆t + o(∆t)

Da cui segue −

N (t) + Ṅ ∆t + o(∆t) = N (t) p∆tN (t)

−pN

e quindi Ṅ (t) = (t) la cui soluzione è −pt

N (t) = N e

0

5

2 Studio qualitativo di una equazione differenziale

Definizione 2.1. (Spazio delle fasi)

Lo spazio delle fasi è uno spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili

stati del sistema.

Al posto di dare una definizione rigorosa presentiamo soltanto i due casi più significativi.

Nel caso si abbia a che fare con funzioni indipendenti dal tempo, distinguiamo se lavoriamo con

equazioni del primo o secondo ordine.

2

∈

1. ẋ = f (x), x , allora chiamiamo il piano (x , x ) lo spazio delle fasi.

R 1 2

∈

2. ẍ = f (x), x allora chiamiamo il piano (x, ẋ) spazio delle fasi.

R,

Definizione 2.2. (Punto di equilibrio) ∀t ∈

Si dice punto di equilibrio una soluzione nella forma x(t) = c R.

Nota. ~ ~

Vi è un punto di equilibrio se e solo se f (~c

) = 0.

Proposizione 2.3. 1

∈ → ∞, ∃

Sia x(t) una funzione C a valori reali che ammette limite finito per t allora una

sottosuccessione t.c. lim ẋ(t ) = 0.

k

→∞

t

k

Dimostrazione. ∗ → ∞,

Supponiamo di avere tale successione e che t per il teorema di Lagrange si ha che

k

∗ ∗ ∗ ∗

kx(t − k

∃ ∈ ) tale che ) x(t )k = ẋ(t )k.

t (t , t

k k

k k+1 k k+1 ∗ ∗

∀ ∃ ∀t kx(t −

Se fissiamo > 0, per la convergenza di x si ha che > 0 T t.c. > T si ha )

k k

∗

x(t )k < e per l’uguaglianza precedente si ha la tesi.

k+1

Proposizione 2.4. Sia x un punto di equilibrio e sia x(t) una soluzione del problema tale che

0

∃ 6 ∞.

t , t tali che x̄(t ) = x e x(t ) = x . Allora si ha che t =

0 1 0 0 1 0 1

Dimostrazione. (per assurdo

∞,

Si supponga che t < allora se x(t) è soluzione, anche x̂(t) = x(t + t ) è soluzione, con dato

1 1

iniziale x(t ).

1 ∀t.

Per ipotesi x̂(0) = x , poiché il punto è di equilibrio la soluzione è x̂(t) = x Questa è però

0 0

6

una contraddizione con l’ipotesi x(t ) = x , da cui l’assurdo.

0 0

Equazioni del primo ordine autonome ∈

Data una equazione del tipo ẋ = f (x), x basta disegnare il grafico di f (x) per capire il

R

comportamento delle soluzioni.

A seconda del segno di f è possibile capire se la soluzione cresce o decresce, a seconda del dato

∗ ∗

iniziale x : In particolare si ha che se f (x ) = 0 allora la soluzione x con dato iniziale x = x

0 0

è costante nel tempo, e non può, come qualsiasi altra soluzione, venir attraversata da un’altra

soluzione se su f si hanno le ipotesi necessarie per l’esistenza e l’unicità della soluzione. È quindi

possibile determinare anche eventuali limitazioni sul range di alcune soluzioni.

Definizione 2.5. (Flusso)

n n t

→

Sia U un aperto di e si consideri la mappa regolare Φ : U , in particolare Φ (x ) = x (t)

R R 0 x 0

(poiché la soluzione di x dipende anche dal punto x ).

0

n {Φ}

Si tratta di una mappa regolare da in sé, e l’insieme di tali mappe è chiamato flusso.

R 6

Nota.

Questa mappa gode delle proprietà di un gruppo abeliano

0 0 ≡

1. Φ (x ) = x (0) = x , cioè Φ id

0 x 0

0

s t t+s t s

2. Φ (Φ (x )) = Φ (x ) = Φ (Φ (x ))

0 0 0

−1 −t

t

3. (Φ (x )) = Φ (x )

0 0 n

t

∈ → ∈

Inoltre l’applicazione Φ : t Φ diff(R ) è un diffeomorfismo di gruppi.

R

Equazioni del secondo ordine autonome

Dato ẍ = F (x, ẋ) possiamo considerare l’equivalente problema

(

ẋ = v

v̇ = F (x, v)

Supponendo che il problema ẍ = F (x, ẋ) sia ben posto, sia ha, nel caso di un PC, l’unicità della

∀(x,

soluzione, che è equivalente a dichiarare l’unicità della soluzione v) dato x(t ) = x , ẋ (t ) =

0 0 0 0

v(t ) = v .

0 0

Sistemi meccanici ◦ ∈

Si tratta di equazioni differenziali autonome del 2 ordine nella forma ẍ = F (x), x la funzione

R,

1 2

E(x, v) = v + V (x)

2

0

con V (x) = F (x) e v = ẋ è chiamata energia meccanica.

Nota.

La funzione E(t) = E(x(t), ẋ(t)) è costante in t, infatti

1 0

· −

2

ẋ(t)ẍ(t) + V (x(t))

ẋ(t) = ẋ(t)ẍ(t) F (x(t))

ẋ(t) = 0 (6)

Ė(t) = 2

E quindi E(x, ẋ) è costante nel tempo. ∈

Si ha che quindi la soluzione dell’equazione ẍ = F (x), x è obbligata a muoversi nel sottoin-

R

2

sieme costituito dai punti (x, v) tali che E(x, v) = E , dove E è l’energia iniziale del sistema,

R 0 0

e tali punti costituiscono una curva.

Inoltre si può scrivere v = ẋ in funzione di x, si ha infatti:

p

2 − ⇒ ± −

ẋ = 2[E V ] ẋ = 2[E V ]

Data V e scelto E = E è quindi possibile rappresentare lo spazio delle fasi.

0

Esempio 2.6. (Oscillatore anarmonico)

α

Sia V (x) = x e E = E .

0 12 2

Si vuole trovare x t.c. V (x) = E, cioè si cerca di avere v = 0 poiché E = v + V (x) (da

un punto di vista fisico si chiede di avere velocità nulla). Tale richiesta deriva dal fatto che si

7

vogliono conoscere gli estremi dell’intervallo [x , x ] sul quale è definita la curva (x, v) nello

min max p

1/α −

±|E| 2[E V ] si ottiene

spazio delle fasi. Si ottiene quindi x = . Dall’equazione ẋ =

1,2 d x

ẋ =

p p

− −

2[E V ] 2[E V ] d t

Si può calcolare il periodo integrando tale quantità su d t:

1/α 1/α

E E

Z Z

d x d x

−

t t = T (E) = 2 =2 √

0 q

p α

α

− |x|

2E |x|

1/α 1/α

−E −E −

E 2 1/α

E

L’integrale viene moltiplicato per due poiché la curva va percorsa fino al punto di partenza.

Sia x d x

⇒

s = d s =

1/α 1/α

E E

1/α

±E ±1

e se x = si ha s = e quindi

1 1 1

1/α

Z Z Z

E d s d s d s

1/α−1/2 1/α−1/2

T (E) = 2 =2 E = 4E

p p p

1/α α α α

− |s| − |s| − |s|

E 2 2 2

−1 −1 0

1/α−1/2

· →

Si può quindi concludere che T (E) = c E , se α > 2 allora T (E) 0

Definizione 2.7. Integrale primo

Si tratta di una equazione differenziabile con continuità che rimane costante lungo le soluzioni

del problema, ad esempio l’energia meccanica E(

ẋ, x) è un integrale primo se non sono presenti

forze dissipative. 8

2.1 Sistemi di Equazioni differenziali ˙ ~ n

∈

Vogliamo trattare in modo particolare sistemi del tipo: ~x = f (~x ), x , n > 1, cominciamo

R

però da un caso particolare.

2.1.1 Sistema di Equazioni differenziali lineari

Proposizione 2.8. (Principio di sovrapposizione)

˙

Siano x e x soluzioni dell’equazione ~x = A~x , con A matrice. Allora anche x = αx + βx è una

1 2 1 2

soluzione dell’equazione, infatti

Dimostrazione. ẋ = αẋ + β ẋ = αAx + βAx = A(αx + βx ) = Ax

1 2 1 2 1 2

Classificazione ˙

Data una equazione nella forma ~x = A~x , dim(A) = 2, siamo in grado di fare una classificazione

qualitativa di tutte le situazione possibili. Il sistema di equazioni si può riscrivere nella forma:

( 0

x = ax + bx

1 2

1

0

x = cx + dx

1 2

2

2 −1

2

∈

Poiché A essa è diagonalizzabile in , quindi si ha A = T ∆T , e quindi possiamo

R C ~ẋ

~ẋ −1 −1

−1 −1 = ∆T ~x e ponendo T ~x = ~y si è arrivati

considerare il sistema = A~x = T ∆T ~x , cioè T

~ẏ

a considerare il sistema = ∆~y , scritto in forma esplicita:

( 0

y = λ y

1 1

1 ∈

λ , λ C

1 2

0

y = λ y

2 2

2

Si ha quindi che la prima e la seconda equazione sono indipendenti l’una dall’altra, e le soluzioni

λ t λ t ∈

dei due sistemi sono banalmente y (t) = a e e y (t) = b e . Con a , b

1 2 R

1 0 2 0 0 0

Si ha che quindi ~x = T ~y = y ~u + y ~u

1 1 2 2

Notiamo in particolare che prendendo y = 0 si ha

2

(

~x = y ~u

1 1

˙

A~x = ~x = ẏ u = λ y ~u = λ ~x

1 1 1 1 1 1

e quindi ~u è l’autovettore relativo a λ . In modo del tutto analogo si ottiene che ~u è l’autovet-

1 1 2

tore relativo a λ .

2

Ci siamo quindi ricondotti ad una equazione agli autovettori per ottenere informazioni sulle so-

luzioni.

L’equazione p(λ) = 0, dove p(λ) è il polinomio caratteristico, è la seguente:

2 2

− − ≡

λ (a + d)λ + (ad bc) λ + Tr(A) + det(A) = 0

Analizzando il segno del discriminante 2 −

D = (Tr(A)) 4 det(A)

possiamo distinguere diversi casi: 9

1. Se D > 0, allora λ , λ sono due radici reali e distinte

1 2

2. Se D = 0, allora λ , λ sono due radici reali, coincidenti

1 2

3. Se D < 0, allora λ , λ sono due radici complesse e coniugate

1 2

D> 0

In questo caso gli autovalori della matrice sono nella forma

√ √

−

D D

Tr(A) + Tr(A)

λ = , λ =

1 2

2 2

a meno di un fattore moltiplicativo, e sono distinti. 6

Gli autovettori sono quindi nella forma (supponendo b = 0)

b b

~u = , ~v =

− −

λ a λ a

1 2

La dinamica si svolge quindi su queste due direzioni, e si allontana o avvicina a seconda che il

segno sia positivo o negativo.

In particolare se λ , λ > 0 diciamo di avere un nodo stabile, se λ , λ < 0 diciamo di avere un

1 2 1 2

nodo instabile. Le orbite che si avvicinano all’origine sono tangenti alla direzione con l’autovalore

maggiore in valore assoluto, ad eccezione della direzione del secondo asse.

Nel caso λ λ < 0 diciamo di avere una sella (o colle)

1 2

Nel caso invece λ = 0 oppure λ = 0 si ha che in una direzione le soluzioni sono stabili o

1 2

instabili a seconda del segno dell’autovalore non nullo, mentre nell’altra direzioni le soluzioni

sono stazionarie.

D< 0

In questo caso gli autovalori sono nella forma

√ √

−D − −D

Tr(A) + i Tr(A) i

λ = , λ̄ =

2 2

−

e siano w

~ = ~u + i~v , w

~ = ~u i~v i due autovettori complessi. Poiché vogliamo descrivere la

dinamica reale notiamo che si ha √ √

−D −D

Tr(A) Tr(A)

−

A~u = ~u ~v , A~v = ~u + ~v

2 2 2 2

Se si usa quindi ~u, ~v come base si ha che la matrice associata è