Fisica Matematica 1

L

quindi W = 0

f ∗ ∗

Sia inoltre x il valore che minimizza V ; allora (x, ẋ) = (x , 0) è il valore che minimizza W ,

poiché è quadratica in ẋ

∗

Sia che quindi (x , 0) è un punto stabile per Lyapunov.

Nota.

Il teorema di Lyapunov assicura alcune proprietà nel caso si riesca a trovare tale funzione, però

non dice come trovarla. In generale non è semplice, spesso occorre cambiare sistema di coordinate

per poter trovare una funzione semplice.

Teorema 2.29. (di Hartman-Grobman)

2

kv(x)k ≤ ∈

Dato ẋ = Ax + v(x) con ckxk per x < R con R se A è definita negativa, allora il

R,

~

punto x = 0 è asintoticamente stabile. 2

x

Dimostrazione. Si considera come funzione di Lyapunov W (x) = , si ha allora

2

2

L ·

W = x f (x) = xAx + o(kxk )

f

2

kxk

per < R (in un opportuno intorno dell’origine quindi) tale quantità è negativa.

18

2.3 Modello di stabilità per in mercati competitivi

Vogliamo introdurre un sistema di equazioni differenziali che modellizza la dinamica dei prezzi

sotto la legge della domanda e dell’offerta. Si avrà che, sotto opportune ipotesi, esiste un unico

punto d’equilibrio stabile per il sistema, i prezzi tendono quindi all’equilibrio.

Si suppone che il sistema sia composto da m di individui, indicati con j = 1 . . . m, ognuno dei

quali offre o desidera n beni, indicati con i = 1 . . . n.

Indicheremo anche con x la domanda, ossia la quantità del bene i-esimo che il j-esimo operatore

i,j

vuole comprare, e con w l’offerta, ossia a quantità del bene offerto dall’operatore; il prezzo dei

i,j

beni saranno indicati con p .

i

Definizione 2.30.

Si definiscono domanda totale e offerta totale di un bene i-esimo come

X X

x (p) = x e w (p) = w

i ij i ij

j j

Chiamiamo invece la variazione del prezzo ṗ, e la funzione di eccesso di domanda del bene i–esimo,

−

come f (p) := x (p) w (p) e si assume che i prezzi siano governati dal sistema di equazioni

i i i

differenziali.

Esempio 2.31.

Consideriamo il caso n = 1:

Si devono precedentemente fare delle osservazioni nel caso monodimensionale delle componenti

− ≥

della funzione eccesso di domanda (che in questo caso è f (p) = x(p) w(p)): x(p) 0 monotona

≥

decrescente (infatti al crescere del prezzo diminuisce la domanda) e w(p) 0 monotona crescente.

Assumiamo anche che x(0) > 0, w(0) = 0 e che esista un punto p̂ in cui la f (p̂) = 0. Allora f (p̂)

è positiva quando la domanda supera l’offerta e negativa quando l’offerta supera la domanda,

dunque è monotona decrescente e il punto p̂ è il suo unico zero.

Tale punto è asintoticamente stabile (attrattivo), grazie al teorema di Lyapunov, infatti la derivata

in tale punto è negativa, se si considera quindi il sistema linearizzato si ottiene che tale punto è

asintoticamente stabile.

Esempio 2.32.

Passiamo ora al caso n > 1:

Prima di analizzare il sistema vogliamo assumere 3 ipotesi:

1. Legge di Walras

2. Omogeneità

3. Sostituibilità grezza

Legge di Walras

La legge di Walras spiega la seguente situazione:

Dato un certo vettore dei prezzi, il singolo individuo ha a disposizione un certo budget b =

j

P p w (p) che ha valore pari ai beni che è in grado di offrire pesati con il loro prezzo. Da cui

i ij

i P

segue il vincolo che la domanda totale d = p x (p) del singolo individuo deve soddisfare è

j i ij

i

≤

d b chiamato vincolo di budget.

j j

Si definisce poi l’ipotesi di massima soddisfazione secondo cui vale d = b .

j j

Allora  

" #

m n n n m n n

X X X X X X X X

− − − −w ⇔

p x (p) p w (p) = p (x w ) = p [x w )] = p [x ] = 0 p f (p) = 0

i i i i i ij ij i i i i i i i i

 

j=1 i=1 i=1 i=1 j=1 i=1 i=1

19

Omogeneità

L’ipotesi di omogeneità descrive come i prezzi dei beni siano convenzionali, contano solo i prezzi

relativi, non cambia infatti nulla se il prezzo di tutti i beni vengono moltiplicati per un qualsiasi

valore positivo, che in tal caso cambiano i prezzi ma anche la ricchezza di tutti gli individui, si

ha quindi che vale: f (λp) = f (p)

Sostituibilità grezza

L’ipotesi di sostituibilità grezza afferma che l’incrementa del prezzo del bene j-esimo, tenendo

fissati tutti gli altri prezzi, aumenta la richiesta di tutti gli altri beni, e quindi si ha

∂ f

i ∀i 6

(p) > 0 = k

∂p

k

Considerando queste ipotesi è possibile dimostrare che se esiste un solo punto p̂ : f (p̂) = 0 di

equilibrio, che è anche stabile.

Proposizione 2.33.

Supponendo che il sistema di equazioni differenziali f (p) soddisfi le proprietà di omogeneità e di

i

sostituibilità grezza e che esista p̂ punto di equilibrio

Allora p̂ è l’unico punto di equilibrio a meno di multipli scalari, ossia se p̄ è un altro punto di

∃

equilibrio λ > 0 tale che λp̄ = p̂ (si noti che p è un vettore).

Dimostrazione. (Per assurdo) 6 ∀λ

Siano p̂ e p̄ due equilibri t.c. p̂ = λp̄ > 0. Sia I l’indice tale che

p̂ p̂

I i

= min

p̄ p̄

i=1,...,n

I i

allora si ha p̂ p̂

I i

≤ ∀i

µ := = 1, ..., n

p̄ p̄

I i

p̂

p̂

∃k <

ed inoltre : .

I k

p̄ p̄

I k

Si definisca allora p̃ := µp̄; si ha p̃ = p̂ , p̃ > p̂ . Dalla proprietà di sostituibilità grezza segue

I I k k

allora f (p̃) > f (p̂), e quindi

I I f (p̄) = f (µp̄) = f (p̃) > f (p̂) = 0

I I I I

contro l’ipotesi che p̄ sia un equilibrio.

Prima di enunciare il teorema che ci permette di considerare il punto p̂ di equilibrio stabile

dobbiamo dare delle preposizioni e lemmi che ci serviranno nella dimostrazione del teorema.

Proposizione 2.34. n 2

P P p è una costante

Se vale al legge di Walras (cioè si ha p f (p) = 0 ), allora la quantità

i i i

i i=1

n

p 2

P

kpk

del moto, ossia la norma del prezzo = p è costante.

i

i=1

Dimostrazione.

Tramite la derivata di Lie: !

n n n

X X X

2

L p = 2 ṗ (t)p (t) = 2 f (p(t))p (t) = 0

f i i i i

i

i=1 i=1 i=1

20 n

In conclusione la dinamica avviene sulla superficie di una sfera in di raggio uguale alla norma

R

del dato iniziale. La proposizione precedente garantisce che su ogni sfera l’equilibrio se esiste è

unico. Rimane da dimostrare che tale punto di equilibrio sia stabile.

Proposizione 2.35. n

P

∀p

Se p̂ è di equilibrio, allora non di equilibrio si ha p̂f (p) > 0.

i

i=1

Dimostrazione. (Solo per il caso a due beni)

∗ ∗ 6

Si fissi p che non sia di equilibrio, allora si ha p = λp̂, o equivalentemente

∗

p p̂

1

1 6 =

∗

p p̂

2

2

Consideriamo dapprima il caso ∗

p p̂

1

1 <

∗

p p̂

2

2 ∗ ∗ ∗ ∗

Rappresentando in un piano cartesiano il punto di coordinate y = f (p ) e y = f (p ) la legge

1 2

1 2

∗ ∗

di Walras dice che il punto (y , y ) sta sulla retta r passante per l’origine e ortogonale al vettore

1 2

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

p = (p , p ). Mostriamo che in questo caso il punto (y , y ) sta nel quarto quadrante e come da

1 2 1 2

ciò segua la tesi del lemma. Procedendo in modo simile a quanto fatto nella dimostrazione della

proposizione sull’unicità definiamo p̂ 2 ∗

µ := , p̃ = µp

∗

p

2

∗

e allora segue p̃ = p̂ e µp = p̃ < p̂ . Quindi utilizzando l’ipotesi di sostituibilità grezza si

2 2 1 1

1

trova ∗ ∗

y = f (p ) = f (p̃) < f (p̂) = 0

2 2 2

2 ∗ ∗

dove l’ultima uguaglianza segue dal fatto che p̂ è equilibrio. Poiché (y , y ) deve stare su r segue

1 2 ∗ ∗

che sta necessariamente nel quarto quadrante. Consideriamo ora la retta passante per (y , y ) e

1 2

ortogonale a p̂. Essa ha equazione 2

X p̂ y = α

i i

i=1

∗

p p̂

Da segue che tale retta ha coefficiente angolare inferiore (più negativo) di r, e quindi

< 1

1

∗

p p̂ 2

2 ∗ ∗

interseca il primo quadrante. Segue che α è positivo. D’altra parte anche (y , y ) sta sulla retta

1 2

e quindi si ha 2 2

X X

∗ ∗

p̂ y = p̂ f (p )

0 <α = i i i

i

i=1 i=1

Teorema 2.36. ∀p(t) −−−→

Se p̂ è un punto di equilibrio, allora soluzione del sistema si ha p(t) p̂.

t→∞

Dimostrazione. {p kpk kp k}.

Sia p il dato iniziale; l’insieme invariante C è definito come la superficie C := : =

0 0

21 n 2

P −

Data la funzione di Lyapunov W come segue W (p) = (p p̂ ) allora è ovvio che W abbia

i i

i=1

un minimo stretto in c. Sia dunque p(t) una soluzione di f (p) con dato iniziale in C, allora

i

n n n n

X X X X

L − − −2

= 2 (p p̂ ) f (p) = 2 p f (p) 2 p̂ f (p(t)) = p̂ f (p) < 0

f i i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1 i=1

n

P

poiché p f (p) = 0 per la legge di Walras e la seconda quantità è maggiore di 0 per la

i i

i=1

proposizione precedente. 22

3 Sistemi dinamici Monodimensionali discreti

Definizione 3.1. (Sistema deterministico)

Un sistema deterministico è un sistema, il cui comportamento è determinato senza ambiguità

attraverso i dati iniziali.

Il problema di Cauchy è un esempio di sistema deterministico, ma esistono altri sistemi determi-

nistici di natura differente. n n

→

Un modo per rappresentare questi sistemi è utilizzando una mappa Ψ : .

R R

Esempio 3.2.

Si può ad esempio costruire una mappa che conoscendo i prezzi di oggi sia in grado di rivelare

quelli del giorno successivo, sia Ψ tale mappa e x i prezzi odierni. Per sapere i prezzi del

0

giorno successivo basta allora applicare la mappa: x = Ψ(x ). E per il giorno dopo ancora:

1 0

2

x = Ψ(x ) = Ψ(Ψ(x )) = Ψ (x ) e via dicendo.

2 1 0 0

Definizione 3.3. (Orbita)

La successione ( x = x

0 0

x =

k x = Ψ(x )

k+1 k

viene definita orbita e diciamo che Ψ definisce un sistema dinamico a tempo discreto.

0

Spesso scriviamo anche x = Φ(x)

Nel caso di equazioni differenziali indipendenti dal tempo, come ad esempio ẋ = f (x), è possibile

definire una mappa attraverso il flusso φ.

1 k

Basta infat