Fisica III - la propagazione delle onde

Energia potenziale elettromagnetica

La legge di Faraday-Neumann afferma che un campo di induzione magnetica variabile nel tempo dà origine a un campo elettrico. In particolare, quando l'energia potenziale è nulla nel punto considerato, l'energia cinetica è massima.

In tale punto, la velocità verticale di un'onda sinusoidale sarà il valore massimo della funzione, cioè:

v = ∫∫(-Bωϕ)dsdr

La quarta legge si deduce generalizzando quella di Ampere al caso non stazionario e afferma che correnti di conduzione e campi elettrici variabili nel tempo danno origine a campi di induzione magnetica:

∇ × E = -∂B/∂t

Ne deriva che l'energia meccanica associata ad un certo elemento di corda è data da:

E = ∫∫∫(μεE² + B²) dldS

dove il termine ∫Bdl è detto energia magnetica e ∫JdS è l'energia associata alle correnti di conduzione.

^{⎜ ⎟ 00 0 ∂ ∂µ µ ω .lunghezza dx (coincidente con l’energia cinetica massima) varrà: = = con2 2 2( )v ⎝ ⎠t tE dx v dx Amax L S Sc 2 2 r rρ εcorrente di spostamento. Le stesse leggi espresse in forma locale sono: ; ;= =/ 0divE divBDunque l’energia che attraversa un punto della corda nell’unità di tempo (associata ad un tratto di 0r r r r rµ ε µ; . In assenza di sorgenti tali espressioni si semplificano nel= −∂ ∂ = + ∂ ∂1 / /rot E B t rot B J E tµ ωlunghezza v) dipende dal quadrato dell’ampiezza dell’onda sinusoidale e vale .2 2 0 0 0conv A r r r r r r2 ε µ; ; ; .seguente modo: = = = −∂ ∂ = ∂ ∂0 0 / /div E div B rot E B t rot B E t0 091. EQUAZIONE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE88. EQUAZIONI DI MAXWELLLa prima legge di Maxwell nei materiali si ottiene generalizzando la legge di Gauss per il vuoto 92.}

ONDE ELETTROMAGNETICHE IN COORDINATE CARTESIANEρesprimendo la densità volumica di carica presente nel dielettrico come somma di una densità di 93.

ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANErr r r Per ottenere una equazione che mostri il comportamento ondulatorio dei campi elettromagnetici,∫ ∫ρ ρ ρ ε χρcarica libera più una di polarizzazione . Ne deriva essendo= + = +⋅ = = ( )D ED dS Q dv r0l p l l osserviamo che, per la III e per la IV eq. di Maxwell nel vuoto senza sorgenti si ha: =rot rot ES v ril vettore spostamento elettrico. La seconda legge di Maxwell (detta della calamita spezzata) esprime r r∂rot B ε µ= . Inoltre, nelle medesime circostanze , si ottiene:− − ∂ ∂ =rr 2 2/ 0r E t div E∫il fatto che le linee del campo sono chiuse e non esiste dunque il monopolo magnetico: . La= 0 0∂0B Bds t r r rr r= dove indica il laplaciano delle singole componenti di . Ne− ∇ =

₋∇ ∇ 22 2S rot rot E grad EdivE E E rterza legge di Maxwell, derivata da quella di Faraday-Neumann, afferma che un corpo di induzione r ∂ 21 1r E, si ha . Analogamente, per il campo di induzionederiva che definito = ∇ − =22 0r ∂ v ErB∫ ∫ εµ. La quarta legge afferma chemagnetica variabile nel tempo genera un campo elettrico: = − ∂2 2Edl ds v t∂ rt r ∂ 21L S Bmagnetica si ricava . Le precedenti equazioni possono essere espresse in coordinate∇ − =2 0correnti di conduzione e campi elettrici variabili danno origine a campi magnetici: B ∂2 2r v t rr r⎛ ⎞ rrr r ∂ rD ∂∫ ∫ ∂ ∂r r r⎜ ⎟ ρ. Le stesse leggi espresse in forma locale sono: ; ;= == − + 1 1 1E0 E EdivD divBHdl J d a⎜ ⎟ cartesiane tenendo presente che ; ; . Ne deriva che∇ = ∇ =∇ =2 2 2yx z∂con l E E E⎝ ⎠t ∂ ∂ ∂2 2 2x y zv t v t v tL Ar r r r r r; .Tali espressioni non valgono in presenza di discontinuità e,= −∂ ∂ = + ∂ ∂/ / ∂∂ ∂2 2 2∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂rot E B t rot H J D t 2 2 2 2 2 2 21EE EE EE E E E Econ + + + + + −+ + + =y y y 0x x x z z z zσpertanto, è necessario definire delle condizioni di raccordo: ; ; ;− = − = − =1 2 1 2 1 20 0 ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2D D B B E E x y z x y zx y z v tn n e n n n nr r r rr (corrente di superficie).− =1 2 ∂ ∂ ∂∂2 2 2 2( ) 1n H H K E E EE . Nel caso monodimensionale ( E(x,y,z,t) = E(x,t) ) si ottiene si⇔ + + − = 0x S ∂ ∂ ∂∂2 2 2 2 2x y z v t r r∂ ∂2 21E Eottiene l’equazione delle onde piane: che ammette come soluzione una qualsiasi− = 0∂ ∂2 2 2x v tr x′′ con . Si noti che la perfetta analogia fra le onde piane

elettromagnetiche efunzione =(t ) mE t t v ∂ ∂2 2( , ) 1 ( , )s x tquelle su una corda rappresentate dall’equazione . L’unica differenza consiste− = 0∂ ∂2 2 2x v tnel fatto che le prime si propagano nel vuoto mentre le seconde in un mezzo materiale.94. ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE E SINUSOIDALI 98. PROPAGAZIONE DELLE ONDE PIANEConsideriamo un dielettrico infinito95. ONDE ELETTROMAGNETICHE SINUSOIDALI omogeneo ed isotropo. Dalle96. TRASLAZIONE DI ONDE ELETTROMAGNETICHE SINUSOIDALIUn’onda sinusoidale è una particolare onda elettromagnetica piana che si ha quando l’equazione equazioni di Maxwell in assenza divr r sorgenti, ricordando che er r r⎡ ⎤∂ ∂2 2 ⎛ ⎞1 ExE E ω ϕammette soluzioni del tipo con ed costanti. ω è= −− = + r⎜ ⎟ ( ) (z )0 ( , ) cos E y E⎢ ⎥E x t A t sono onde piane (e quindi∂ ∂2 2 2 ⎝ ⎠⎣ ⎦ Bvx v t ν ω π λ νdetta pulsazione,

frequenza, lunghezza d'onda, φ fase iniziale, T=1/ν periodo e x= λ/2 dipendono da e sono -T t tπ λ ω ν numero di propagazione ( o d'onda). L'espressione delle onde elettromagnetiche v2 / K costanti rispetto a y e z) si deriva: π ω π^2 2ω e . Nesinusoidali può essere riscritta per evidenziare la periodicità usando le identità = ∂rν λ E(1) (a), 2)= ⇒ =T 0 0x∇E ∂r ⎡ ⎤ r x⎛ ⎞t xπ ϕderiva . Si può inoltre utilizzare la forma sintetica .ω ϕ= - + = - +⎜ ⎟( , ) cos 2 ( , ) cos( )⎢ ⎥E(x, t) A E(x, t) A t kx ∂r Bλ⎝ ⎠ (b),⎣ ⎦ == ⇒T 0 0x∇Br r r r ∂xλ λπ si ha: . Inoltre, Essendo il coseno periodico di ± = ± = ± ± r r( , ) ( , ) ( , ) ( , )^2 E(x, t) E(x, nT) E(x, t) nT ∂^2 ∂r ∂r ∂B EE BB EBE_y componente B_z (e viceversa) e, se ha componente E_z, deve avere anche componente B_y (e viceversa). Inoltre, dalla relazione E_x = -B_x si deduce che se l'onda ha componente E_x, deve avere anche componente B_x (e viceversa). Quindi, in generale, un'onda elettromagnetica ha sempre componenti E e B ortogonali tra loro e ortogonali alla direzione di propagazione. Infine, si può notare che la traslazione spaziale o temporale di 1/2 cambia il segno della funzione.

B (e viceversa).z z yv vSovrapponendo due soluzioni, una con diretto lungo y e l’altra con lungo z, si può ottenereE Erv e sono ortogonali e, quindi,qualunque soluzione. Dalle precedenti relazioni si ricava anche che E Brv 1Eè diretto lungo y sarà diretto lungo z e viceversa. Infine si può dimostrare chese =E B µεBdunque i moduli dei due campi non sono liberi.

99. EQUAZIONE DI HELMOTZ

97. PROPRIETA’ DELLE ONDE PIANE

Consideriamo un dielettrico infinito omogeneo ed isotropo. Dalle equazioni di Maxwell in assenza di 100. SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DI HELMOTZ rrv ∂ ∂2 2sorgenti, ricordando che e sono onde piane (e quindi costanti rispetto a y e z), si ha: 1) ∂ ∂2 2 1 EEE B E EL’equazione delle onde elettromagnetiche in coordinate cartesiane è: .+ =+ − 0∂ ∂r r ∂ ∂∂ ∂2 2 22 2E B ty vx ze 2) . Siccome campi costanti potrebbero essere generati da= ⇒ = = ⇒ =0 0

essere formattata come una formula matematica, possiamo utilizzare i tag HTML per evidenziare i simboli matematici e le variabili. Ecco come potrebbe essere formattato il testo:

0 0x xdiv E div B rv r∂ ∂ ωx x = .

Sostituendo si ha: Ipotizzando che la soluzione possa