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Il campo elettrico e le linee di forza
Il campo elettrico in un punto dello spazio si trova sommando tutti i campi elettrici presenti in quel punto. Il campo elettrico è un vettore: E = ΣEnet
Una diversa rappresentazione visiva del campo elettrico viene fatta tramite un disegno delle linee di forza del campo elettrico, un insieme di linee continue che rappresentano sia l'intensità che la direzione del campo elettrico nel modo seguente:
- La direzione del vettore campo elettrico in un punto è tangente alla linea di campo che passa per quel punto e ha il verso indicato dalla freccia sulla linea di campo;
- Il campo elettrico è intenso dove le linee di campo sono vicine tra loro e debole sono distanziate;
- Le linee di campo partono dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative;
- Le linee di campo non si incrociano mai.
Le linee di forza del campo elettrico per una carica puntiforme sono mostrate nella figura.
Le linee di campo mostrano che la direzione del campo è radiale (uscente da una carica positiva o entrante una carica negativa). Le linee sono vicine tra di loro in prossimità della carica puntiforme, dove il campo è intenso e sono più distanziate in zone più lontane dalla carica puntiforme, mostrando che l'intensità del campo diminuisce con la distanza.
Il campo elettrico dovuto a un dipolo. Un sistema costituito da due cariche puntiformi con carica uguale e opposta vicine l'una all'altra è chiamato dipolo. Trovare il campo elettrico dovuto al dipolo in vari punti utilizzando la legge di Coulomb sarebbe estremamente noioso, ma disegnare alcune linee di campo fornisce immediatamente un'idea approssimata del campo elettrico.
Poiché le cariche nel dipolo hanno lo stesso modulo, lo stesso numero di linee che partono dalla carica positiva e terminano sulla carica negativa. In prossimità
Di ciascuna carica, le linee di campo sono regolarmente spaziate in tutte le direzioni, come se l'altra carica non fosse presente. La figura mostra, per un punto P, come si combinano, seguendo le regole della somma vettoriale, i vettori campo elettrico dovuti alla due cariche separatamente, dando luogo al campo risultante E nel punto P. Notare che il campo totale E è tangente alla linea campo che passa per il punto P. I principi di sovrapposizione e di simmetria sono due strumenti potenti per determinare i campi elettrici.
Moto di una carica puntiforme in un campo elettrico uniforme: condensatore piano. L'esempio più semplice di come un corpo carico risponde a un campo elettrico si ha quando il campo elettrico è uniforme- cioè, ha la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto. Il campo dovuto a una singola carica puntiforme non è uniforme: è diretto radialmente e la sua intensità segue la legge
dell'inverso del quadrato. Per creare un campo elettrico uniforme è necessario un gran numero di cariche. Il modo più semplice di creare un campo elettrico uniforme consiste nel disporre cariche uguali e opposte su due lamina metalliche parallele. Se le cariche sono e le lamine hanno area A, l'intensità del campo tra le lamine è QE= ε A0. La direzione del campo è perpendicolare alle lamine, dalla lamina carica positivamente verso la lamina carica negativamente.
Campo vettoriale uniforme e superficie piana. Se una superficie di area A è perpendicolare in ogni punto a un campo elettrico di intensità uniforme E, allora il numero di linee di campo che attraversano la superficie è proporzionale a EA, perché numero di linee = ∙ area ≈ EA area. Ciò è vero solamente se la superficie è perpendicolare al campo elettrico in ogni punto. Il numero delle linee di campo che attraversano
una superficie è proporzionale al prodotto tra la componente del campo perpendicolare alla superficie e l'area della superficie: A = EA cos θ⊥
Dove θ è l'angolo che le linee di campo formano con la direzione normale alla superficie. Il numero delle linee che attraversano la superficie è uguale al numero di quelle che attraversano una superficie di area A cos θ, che è l'area perpendicolare al campo.
La grandezza che è proporzionale al numero delle linee di campo che attraversano una superficie è chiamata flusso del campo elettrico (simbolo Φ): Φ = EA cos θ⊥
Per una superficie chiusa, il flusso è considerato positivo se ci sono più linee di campo che lasciano la superficie di quante ne entrano, o negativo se ci sono più linee di campo entranti che uscenti. Il flusso è quindi positivo se la carica netta racchiusa è positiva ed
è negativo se la carica netta racchiusa è negativa.⃗ ⃗=∮ =∮Φ d Φ E ∙d AE ELegge di Gauss
Il teorema di Gauss collega il campo elettrico su una superficie chiusa con la carica netta all’interno della superficie.
Una superficie chiusa racchiude un determinato volume, per cui è possibile distinguere una regione interna da una esterna. La superficie di una sfera è una superficie chiusa. Il teorema di Gauss dice che è possibile determinare quanta 37 carica c’è all’interno di una scatola senza guardare all’interno, poiché basta osservare le linee di campo che entrano o escono dalla scatola.
Se all’interno di una scatola non vi è carica, allora tutte le linee di campo che entrano nella scatola devono uscirne. Se all’interno c’è una carica positiva, ci sono allora linee di campo che partono dalla carica positiva e che lasciano la scatola. Ci sono più linee di campo che
Entrano rispetto a quelle che escono. Affinché il teorema di Gauss sia utile, bisogna trovare una grandezza che sia proporzionale al numero delle linee di campo che lasciano una superficie chiusa. Inoltre, una proporzionalità deve essere convertita in un'equazione utilizzando la costante di proporzionalità.
Numero di linee ∝ E A
Poiché il numero netto delle linee di campo è proporzionale alla carica netta all'interno di una superficie chiusa, il teorema di Gauss assume la forma:
= costante Φ ∙ qE
Dove q rappresenta la carica netta racchiusa all'interno della superficie. Si può dimostrare che la costante di proporzionalità è 1/ε4 πk. Pertanto,
q = 4Φ πkE ε 0
Verifica per il caso della carica puntiforme:
Q⃗ = Q⃗
= ∫ E∙d A
= ∫ d A
= 4 π R^2
ε 0
Q⃗ = Q⃗
= ∫ E∙d A
= ∫ d A
= 4 π R^2
ε 0
Q⃗ = Q⃗
= ∫ E∙d A
= ∫ d A
= 4 π R^2
ε 0
Q⃗ = Q⃗
= ∫ E∙d A
= ∫ d A
= 4 π R^2
ε 0
2
2R R R0 0 0Calcolo del campo elettrico a partire dalla legge di Gauss La densità di carica è Q = ρV = 4/3πR3 Per rsegno:=−W∆ U campo
Il segno meno indica che, quando il campo fa lavoro positivo su un corpo, l'energia del corpo aumenta. Questa quantità di energia viene prelevata dall'energia potenziale immagazzinata. Il campo attinge al suo "deposito bancario di energia potenziale" e trasferisce energia al corpo e quindi, l'energia potenziale diminuisce quando la forza fa lavoro positivo.
Alcune analogia tra l'energia potenziale gravitazionale ed elettrica sono:
- L'energia potenziale dipende solo dalle posizioni dei vari corpi e non dal percorso seguito per raggiungere tali posizioni;
- Solo le variazioni di energia potenziale hanno significato fisico, pertanto siamo liberi di assegnare all'energia potenziale il valore zero in un punto qualsiasi. L'energia potenziale in una data configurazione dipende dalla scelta del punto, dove U=0, ma le variazioni di energia potenziale non sono influenzate da tale scelta;
- Per due particelle puntiformi,
Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico V prodotto da una distribuzione di cariche elettriche in ogni punto dello spazio è definito come il rapporto tra l'energia potenziale elettrica di una carica di prova in quel punto, divisa per il valore della carica di prova.
U = V * q
L'unità di misura SI del potenziale elettrico è il joule su coulomb, che è stato chiamato volt (V).
Il potenziale elettrico dipende solo dal punto.
Il potenziale dovuto a una carica puntiforme
Se q è in prossimità di un'altra carica puntiforme Q, l'energia potenziale è:
U = k * Q * q / r
Dimostrazione:
∫U = ∫k * Q * q / r^2 * dr
U = -k * Q * q / r
Conservazione dell'energia per cariche in movimento
Quando una carica si sposta da una posizione A a una posizione B all'interno di un campo elettrico, la
La variazione di energia potenziale deve essere accompagnata da una variazione di altre forme di energia, in modo tale che l'energia totale sia costante.
Se su una carica puntiforme non agiscono altre forze, allora, mentre questa si sposta all'interno di un campo elettrico, la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale elettrica rimane costante.
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