Fisica II

Campo Elettrostatico

Legge di Coulomb

F = k _{q1 q2} / r²

k = 1 / (4πε₀), ε₀ = 8.85 × 10^-12 C²/N·m² è costante dielettrica nel vuoto

k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²

q = 1.6 × 10^-19 C [carica di un elettrone]

In forma vettoriale:

F→ = k q₁ q₂ / r² r̂

r̂ il versore di r→

r̂ = r→ / r

r̂ = (x i + y j + z k) / √(x² + y² + z²)

Campo elettrico

E→ = F→ / q₀

Campo elettrico generato dalla carica q

E→ = k q / r² r̂

r̂ versore r

E→ = k q r→ / r³

Due cariche non puntiformi (sfera...) scambiano forza elettrica non esprimibile da questa legge. Si possono solo studiare corpi puntiformi con la legge di Coulomb. In natura non esistono cariche puntiformi.

Sistema con più cariche

E→ = ∑ E_i

E₁→ = k q₁ / |r→ - r₁→|² (r→ - r₁→)

[Campo creato da una carica q₁]

E(x) = k ∑_i=1^m q_i / |r→ - r_i→|³ (r→ - r_i→)

ddσ = ρ(ξ) dV'

ρ è la densità di carica

q' = ∫ ρ(ξ) dV'

E(x) = ∫ E(ξ) dV'

Integrare il volume I= ∫ f(ξ) dV'

I = ∫ F(ξ) dV

E(x) = k ∫ ρ(ξ) / |r→ - ξ|³ (r→ - ξ) dV'

Trovare campo elettrico partendo dalla densità di carica

Teorema di Gauss

Elemento di area orientata:

vettore infinitesimale orientato come la normale alla superficie

Elemento di flusso:

E cos θ dσEm proiezione di F su dσ

dϕ > 0 se cos θ > 0

dϕ < 0 se cos θ < 0

Una sfera si incontra con la superficie di Gauss o creando una superficie infinitesimale il punto centrale di questa superficie. Abbiamo due elementi di area orientati creati tra cono - sfera e cono - superficie.

dΩ = cos θ dσ

Calcolare flusso uscente dalla superficie Σ

dϕ = Kq (1/r²) dσ= (1/r²) E m dσ= (Kq cos θ dσ) / r²

Φ = ∫ ΣKqdΩ = Kq ∫ Ω = Kq 4π = 1/ε0 qΦ = q/ε0

q carica totale interna

Il flusso del campo elettrico creato da tutte le cariche è uguale alla somma di tutte le cariche fratto ε0. Questo vale per cariche discrete (m cariche).

Conservazione dell'energia in elettrostatica

_{CAB = VA - VB} tensione elettrica

U = qV energia elettrostatica della carica q

W_AB = U_A - U_B

K_A - K_B = U_A - U_B

K_B + U_B = K_A + U_A

Energia totale E = K + U

ΔE = 0 => E si conserva

E_B = E_A

Linee di forza di E e superfici equipotenziali

Linea di forza di E: in ogni punto è tangente ad E;

a) d_x α E_x

d_y α E_y

    =>     ^d_y⁄_dx α ^E_y⁄_Ex

^d_y⁄_dx = f(x, y)

b) Non si intersecano, eccetto che nelle cariche in quanto in ogni punto il E è univoco;

c) Partono da + e arrivano a - (una può essere all'∞)

Superfici equipotenziali

V(x̅, t) = C

V(x, y, z) = C: z = g(x, y) superficie

al variare di C si ha una famiglia di superfici

Carica puntiforme

V(x̅) = c => ^kq⁄_r = c => r = ^kq⁄_c

x² + y² = (^kq⁄_c)²

V₁ = potenziale conduttore 1

V₂ = potenziale conduttore 2

V_1d = ^k_q/_R1 + ^k_q/_R2

ΔV = V₁ - V₂ = k_q ( ¹/_R1 - ¹/_R2)

C = ¹/_ΔV = ^ε₀/_{k ( ¹/R1 - ¹/R2 )} = ^4πε₀/_{R1 - R2}

2 superfici sferiche concentrichedi carica +q e -q

E: ^q/_r² E: 0R₁ < r < R₂

V = ^k_q/_R1 - ^k_q/_R2

C = ^q/_ΔV

C = ^4πε₀/_{R1 - R2}

Condensatore piano

E = ^V/_d E = ^q/_A ε₀

C = ^ε₀A/_d

Collegamento di condensatori in parallelo

Legge di Ohm

• =sub t_{empo medio}
• =libero cammino medio

= m^-1 : per ogni elettroni tra un urto e l'altro.

_{u = a} ^{= eE/m} _{velocità di deriva}

∮ _{E → d ∮} = ∮ /∮ E = /∮ ⇒ V = /∮

resistenz = ^V_A-B conducibilità G = 1/

Legge di Ohm V = Ri

Legge di Joule

Durante l postamento di una carica: dW=F·d

Bisogna produrre energia pe ar circolare la corrente.

Potenza pesa per ar circolare un elettrone: Pe= dW/dt = F/ = = eE = = Pe = eE

Potenza spesa per far circolare gli elettroni presenti nell'unità di volume che sono N: P = NP_e = NeF · Ne · F = Ne/F

E_s = -dΦ_B/dt = -dBL/dne

E = -dΦ_B/dt

ε = ∇ × E → E_s = -dΦ_B/z

V = SE_sdz

Spira rettangolare immersa in un campo B uniforme

• F_AB: i l_AB × **B** = i l_ABB μ_z = i l_ABB Δy
• F_BC: 0
• F_CD: i l_ABB μ_x
• F_DA: i l_BCB μ_z

B = B μ_y

Momento meccanico = rotazione intorno ad x

M = ℓ × F_C

Momento magnetico della spira

**M** = i S **n**

O = M/B

θ = stabile (d)

θ = instabile (i)

se B // x → rotazione attorno y

Energia potenziale U

dU = dθ

U = -mBcosθ

Dipolo in un campo elettrico esterno di potenziale V

d = (d_x, d_y, d_z)

Energia elettrostatica del dipolo di due cariche (±q)

U = qV(x + d_x, y + d_y, z + d_z) - qV(x, y, z)

≈ q(V_x ∂V/∂x dx + V_y ∂V/∂y dy + V_z ∂V/∂z dz) - qV(x, y, z)

= -p_xE_x - p_yE_y - p_zE_z = -PE

_{dipolo elettrico}

U = -PE = -pE cos ψ

Forze agenti sul dipolo

Momento della coppia di forze

M = Fd sin ψ

M = q₀E₀ sin ψ

M = pE sin ψ

M= |p × E|

Dipolo magnetico

Momento magnetico della spira

m = i Σ = Σi

Momento meccanico delle F magnetiche

M = m × B

Energia potenziale magnetica

U = -m'B

V·B = 0 ⇒ Teorema di Gauss per campo magnetico

le linee del campo magnetico sono linee chiuse comunque se il verso di B èsempre lo stesso per Gauss

d(∫B) · B · ni · dΣ = B · Σ · cos α

Se d_×= uscenti / Se d_•= entrante

In una superficie chiusa ogni linea che entra deve necessariamente uscire quindi

∫B·dΣ = 0 ⇒ ∇·B = 0