Fisica - la propagazione delle onde elettromagnetiche

Andamento temporale delle componenti del campo elettrico E in z = 0

BCD80 E45 AF AFt [ s] t [ s]m0.90.33 0.46 0.6 0.73 0.86 m0.90.33 0.46 0.6 0.73 0.86-22.5 E-40 CD B

Figura 2.6: Andamento temporale delle componenti del campo elettrico E in z = 0.

Ricordando che: 1 k̂ ×H = E,η ed essendo k̂ = ẑ, si ottiene:1 1 1 ¡ ¢H = E ̂ + E (−ı̂)ẑ × (E ı̂ + E ̂) = [E (ẑ × ı̂) + E (ẑ × ̂)] = x yx y x yη η η e quindi: E Ey xH = − H = .x yη η

Da queste si ricavano le ampiezze delle componenti nei vari punti:

E −40[V /m]yDH = − = − = 106[mA/m];xD η 377[Ω]

E −22.5[V /m]yE = − = 60[mA/m];H = −xE η 377[Ω]

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 40E 80[V /m]xDH = − = = 212[mA/m];yD η 377[Ω]

45[V /m]E xE = = 120[mA/m].H = −yE η 377[Ω]

Gli andamenti temporali delle componenti del campo magnetico sono riportati in figura 2.7.

(0,t)[mA/m]H(0,t)[mA/m]H yx BCD212B ECD106 120E60 AFAF t [ s]t [ s] mm

0.90.33 0.46 0.6 0.73 0.860.90.33 0.46 0.6 0.73 0.86

Figura 2.7: Andamento temporale delle componenti del campo magnetico H in z = 0.

Esercizio

L'impulso E (z, t) = Af (t - z/v) riportato in figura 2.8 si propaga in aria ed incide ortogonalmente sulla superficie marina. Si calcoli l'andamento temporale del campo elettrico e del campo magnetico ad una altezza di 300 m dalla superficie marina la cui permittività dielettrica relativa, nell'ipotesi di poter trascurare le perdite, vale ε = 81.

r2E (z,0)[V/m]x Aria Acqua

B C D

80 E

45 F Z [m]

A 0-270 -260 -220 -180 -140 -100

Figura 2.8: Andamento del campo elettrico E all'istante iniziale t = 0.

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 41

Soluzione

L'orientamento dell'asse z è entrante nella superficie marina, quindi il punto a quota 300m si trova in z = -300 m. Per determinare l'andamento temporale dell'impulso è necessario calcolare il tempo impiegato dai

vari punti evidenziati in figura 2.8 per raggiungere il punto z. Assumendo n = 1, la velocità di propagazione del campo elettromagnetico nell'aria è c = 3 x 10^8 m/s, quindi il tempo che impiega il punto F per arrivare sulla superficie marina vale: ∆z / c = 100m / (3 x 10^8 m/s) = 0.333 x 10^-6 s = 0.333µs.

Il tempo che impiega successivamente il punto F dell'onda riflessa per arrivare in z = -300 m vale: ∆z / c = 300m / (3 x 10^8 m/s) = 1 x 10^-6 s = 1µs.

L'istante t in cui il punto F dell'impulso riflesso giunge in z = -300 m è quindi t = T + T = 1.333µs.

Rispetto al punto F, il punto E presenta un ritardo temporale pari a: ∆T = ∆z / c = 40m / (3 x 10^8 m/s) = 0.133µs. Quindi t = t + ∆T = 1.466µs.

Essendo ∆z = z - z = z - z = z - z segue che ∆T = ∆T = ∆T = 0.133µs, mentre ∆T = 0.033µs = 33ns.

Per determinare

L'ampiezza del campo elettrico dell'impulso riflesso è sufficiente calcolare il coefficiente di riflessione r: n - n1 - 8aria acqua = = -0.7. r = n + n10acqua aria+ il valore assunto dal campo elettrico dell'impulso incidente nel punto B. Indicando con EB- il valore assunto nel medesimo punto dal campo elettrico dell'impulso riflesso: e con EB+ - E = rE = 80 * (-0.7) = -56 V/m. B B Analogamente: +-E = rE = 45 * (-0.7) = -31.5 V/m. E E Nota l'ampiezza e l'orientamento del campo elettrico si ricava immediatamente quella del campo magnetico. Il verso di propagazione è opposto a quella dell'asse z quindi: -EB-H = - = 148 mA/m; B η Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 42-E E-H = - = 83 mA/m E η Gli andamenti temporali del campo elettrico e del campo magnetico in z = -300m sono riportati in figura 2.9. H

(-300,t)[mA/m]y148 CD BE83E (-300,t)[V/m]x 1.91.466 1.6 1.733 1.8651.466 1.6 1.733 1.865 1.9 1.3331.333 11 t [ s]t [ s] mF A m AF-31.5 E D C B-56

Figura 2.9: Andamento del campo elettrico E e del campo magnetico H in z = -300m.

2.3 Analisi nel dominio della frequenza

Quando il mezzo in cui il campo elettromagnetico si propaga è temporalmente dispersivo, laE ed il vettore spostamento elettrico D è di tipo integrale e larelazione tra il campo elettricorisoluzione delle equazioni di Maxwell nel dominio del tempo diventa proibitiva. In questasituazione, ma anche in molte altre, la trattazione si semplifica enormemente se anzichèutilizzate i vettori reali funzioni dello spazio e del tempo, si utlizzano i vettori complessirappresentativi che sono funzioni dello spazio e della frequenza. In linea di principio, ciò noncomporta alcuna limitazione, infatti dall'analisi di Fourier è noto che un qualsiasi segnaletemporale può essere rappresentato da una somma integrale di

infinite sinusoidi ognuna conuna pulsazione differente.Il procedimento è del tutto identico a quello visto nel paragrafo 2.2 salvo il fatto che sidevono considerare le equazioni di Maxwell in regime armonico relative i vettori complessirappresentativi E, H legati ai vettori reali E, H dalle seguenti relazioni:

jωt© ªE(x, y, z, t) = Re E(x, y, z)e (2.12)

jωt© ªH(x, y, z, t) = Re H(x, y, z)e .

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 43

Postulando la dipendenza spaziale del campo da una sola coordinata spaziale, ad esempiz, si individuano due soluzioni indipendenti, una caratterizzata dalle componenti (E , H )x ye l’altra dalla coppia (E , H ) dove E , E , H , H sono quantità complesse. Se l’orienta-y x x y x ymento dei vettori non coinciede con uno degli assi coordinati del sistema di riferimento, ilcampo può essere scomposto nella somma di due onde, una con componenti (E , H ) e l’al-x ytra con componenti (E , H ).

La relazione che sussiste tra E, H e la direzione di propagazione, y, individuata dal versore k̂, è la stessa vista nel paragrafo 2.2: 1 k̂ × H = E; (2.13) ηE = -η k̂ × H. Le proprietà delle due soluzioni sono le stesse, per questo motivo nel seguito si farà riferimento alla soluzione (E, H)xy.

L'equazione per E è la seguente: x^2 dEx^2 - γE = 0 (2.14) x^2 dz dove p^2 - ωγ = με (2.15) cε σ0 00 ε = ε' - j(ε'' + cω).

La parte immaginaria di ε è legata alle perdite ed in particolare alle perdite per effetto Joule tramite la conducibilità elettrica σ ed alle perdite legate all'orientamento dei dipoli degli 00atomi e delle molecole che costituiscono il mezzo tramite ε. La costante di propagazione γ è in generale una quantità.

in virtù del fatto che E dipende unicamente da z si ottiene:dE x = −jωµH ;ydzH sono nulle. Sostituendo la (2.19) segue:mentre le altre due componenti di 1 ´³ αz jβz−αz −jβz ;Ae e − Be eH (z) =y η ccon r µ µrη = = . (2.21)c ε ε − j(ε + σ/ω)0 00cCome nel caso dell’analisi nel dominio del tempo, sia per l’onda diretta che per quellariflessa, l’ampiezza del campo magnetico e quella del campo elettrico sono legate attraversol’impedenza intrinseca del mezzo η . A causa delle perdite η è ora una quantità complessa,c covvero il campo elettrico e quello magnetico non sono più in fase. Anche le costanti A e B,che dipendono dalle condizioni al contorno, sono in generale complesse. Sostituendo la lororappresentazione in forma polare:jφ jφ jφA = |A|e B = |B|e . η = |η |e ηA B c cnell’equazione sopra