Fisica - la propagazione delle onde elettromagnetiche

Capitolo 2

La propagazione delle onde

elettromagnetiche

2.1 Introduzione

Una delle peculiarità dell’elettromagnetismo rispetto ad altri fenomeni ondulatori è la natura

vettoriale delle grandezze fisiche in gioco. In questo capitolo si terrà conto di questo aspetto,

mantenendo tuttavia l’ipotesi che le grandezze siano ancora dipendenti da una sola variabile

spaziale. Ciò permetterà di semplificare enormemente la parte matematica e conseguente-

mente dedicare tutta l’attenzione alla comprensione fenomenologica. Si metterà in evidenza

come le variazioni delle caratteristiche del mezzo provocano inevitabilmente la generazione

di onde riflesse. Questo risulta particolarmente chiaro se si segue un approccio nel dominio

del tempo. Purtroppo con tale approccio è possibile una risoluzione analitica del problema

solo quando il mezzo presenta particolari proprietà: lineare, isotropo, privo di perdite e

temporalmente non dispersivo. Tale limite è in parte superato dall’approccio nel domino

della frequenza che verrà utilizzato nel presente capitolo per determinare la soluzione nel

caso di mezzi con perdite.

2.2 Analisi nel dominio del tempo

Si considerino le equazioni di Maxwell nel dominio del tempo, in assenza di sorgenti e

nell’ipotesi di mezzi lineari, privi di perdite e temporalmente non dispersivi:

 ∂H

∇ × E = −µ

 ∂t



 ∂E



 .

∇ × H = ε

 ∂t

28

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 29

Se si suppone per semplicità che tutte le grandezze sono costanti al variare di x e y, e si

proiettano le due equazioni vettoriali sui tre assi di un sistema di riferimento cartesiano si

ottiene:  ∂E

 ∂H

y x

= µ

  ∂z ∂t

 

 

∂H

 ∂H

∂E

∇ × E = −µ =⇒

 y

x

 = −µ

∂t

 ∂z ∂t



 

  0 = H

 

 z



 ∂H

 ∂E

 y x

 = −ε

  ∂z ∂t

 

 

∂E

 ∂E

∂H

 =⇒

∇ × H = ε y

x

 = ε

∂t

 ∂z ∂t



 

 

 0 = E



 z

Due sono le conseguenze più evidenti delle ipotesi fatte:

• le componenti lungo z sono nulle, ovvero i due vettori giacciono su piani ortogonali

all’asse z;

• E è legato solo ad H e E è legata solo ad H .

x y y x

In virtù di queste considerazioni e della linearità delle equazioni, si può applicare il principio

di sovrapposizione degli effetti e quindi studiare separatamente le quantità E , H e E ,

x y y

H senza pardere generalità. Essendo il procedimento e gli eventuali commenti del tutto

x

identici, nel seguito si considererà solo il primo caso per il quale le equazioni da integrare

sono le seguenti: ∂H

 ∂E y

x = −µ

 ∂z ∂t



 (2.1)

∂H ∂E

 y x

 = −ε .

 ∂z ∂t

Derivando la seconda rispetto al tempo si ottiene: 2

µ ¶

∂H

∂ ∂ E

y x

= −ε 2

∂t ∂z ∂t

scambiando la derivazione rispetto a z con la derivazione rispetto a t ed impiegando la

prima delle (2.1) si ottiene una equazione nella sola variabile E :

x

2 2

∂ E

∂ E

x x

= µε . (2.2)

2 2

∂z ∂t

Questa equazione, è del tipo (1.1) e governa l’evoluzione spazio temporale del campo

elettrico nell’ambito delle ipotesi fatte. L’andamento del campo elettrico è quindi del tipo:

E (z, t) = Af (t − z/v) + Bg(t + z/v), (2.3)

x

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 30

ovvero due onde elettromagnetiche che si propagano in direzione opposta con una velocità:

1

v = .

√

µε

Noto il campo elettrico, il campo magnetico può essere calcolato attraverso la prima delle

(2.1): µ ¶

∂H 1 1 ∂g(t + z/v)

∂E ∂f (t − z/v)

y x

= − = − + B

A

∂t µ ∂z µ ∂z ∂z

1 √

√ √ √

¡ ¢

0

0

= − εµ)(− εµ) + Bg (t + z εµ) εµ

Af (t − z

µ

ε √ √

r ¡ ¢

0 0

Af (t − z εµ) − Bg (t + z εµ) ;

= µ √

dg(ξ)

df (ξ) 0

0 e g (ξ) = . Visto che se H = h(t − z εµ) allora

dove si è posto f (ξ) = y

dξ dξ

√

∂H y 0

= h (t − z εµ), dall’equazione sopra segue che:

∂t à !

1 Af (t − z/v) − Bg(t + z/v) (2.4)

H (z, t) =

y η

dove r µ

η = ε

è l’impedenza intrinseca del mezzo [1]. Nel caso di propagazione nel vuoto e quindi con

buona approssimazione anche nell’aria: r µ 0 = 377Ω.

η =

0 ε 0

In un mezzo dielettrico non magnetico µ ' µ :

0

r r 1

µ µ η 0

0 0

η = = = .

ε ε ε n n

0 r 0

L’andamento di un generico impulso elettromagnetico che si propaga nel verso positivo

dell’asse z avente il campo elettrico orientato lungo l’asse x ed il campo magnetico orientato

lungo l’asse y è riportato in figura 2.1(a). L’andamento nel caso di un impulso che si propaga

nel verso opposto è riportato in figura 2.1(b). In entrambi i casi, essendo presente o solo

l’onda diretta o solo l’onda riflessa, il rapporto tra in campo elettrico e quello magnetico

è uguale all’impedenza intrinseca. L’impedenza intrinseca del mezzo definisce infatti il

rapporto tra in campo elettrico e quello magnetico dell’onda diretta e dell’onda riflessa

separatamente. Se sono presenti entrambe, il rapporto tra il campo elettrico complessivo ed

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 31

il campo magnetico complessivo non è in generale uguale all’impedenza intrinseca. Facendo

il rapporto tra la (2.3) e la (2.4) si ottiene infatti:

Af (t − z/v) + Bg(t + z/v)

E x = η

H Af (t − z/v) − Bg(t + z/v)

y

che coincide con η o −η ∀t e ∀z rispettivamente nel caso B = 0 o A = 0. Questo ha

conseguenze importanti: se infatti le caratteristiche del mezzo cambiano, il conseguente

cambiamento dell’impedenza intrinseca richiede la presenza contemporanea dell’onda diret-

ta e di quella riflessa. Tale aspetto verrà approfondito nel paragrafo seguente.

In modo del tutto analogo a quanto appena visto, si può ricavare la soluzione per la coppia

E , H :

y x E (z, t) = Af (t − z/v) + Bg(t + z/v) (2.5)

y à !

1

H (z, t) = − Af (t − z/v) − Bg(t + z/v) .

x η

L’andamento di un generico impulso è riportato in figura 2.2.

Nel caso in cui il campo elettrico e quello magnetico non sono orientati lungo gli assi

cartesiani, è comunque possibile scomporli nelle sue componenti lungo gli assi:

E = E î + E ĵ H = H î + H ĵ.

x y x y

La soluzione delle equazioni di Maxwell è semplicemente una combinazione lineare delle

(2.3), (2.4) e (2.5). Al solito, considerando separatamente l’impulso trasmesso e quello

riflesso, per ognuno di essi, l’orientamento del vettore campo elettrico, del vettore campo

magnetico e della direzione di propagazione sono legati dalla seguente relazione:

1

H = k̂ × E (2.6)

η

dove k̂ è il versore che individua direzione e verso di propagazione.

2.2.1 Effetti delle condizioni al contorno

Si analizzerà ora cosa accade ad un impulso elettromagnetico quando questo incide una su-

perficie che separa due mezzi con caratteristiche elettromagnetiche differenti. In particolare

si analizzeranno gli effetti che hanno sulla propagazione degli impulsi le seguenti situazioni:

• mezzo dielettrico omogeneo affacciato ad un conduttore elettrico ideale;

• mezzo dielettrico omogeneo affacciato ad un secondo dielettrico con differente indice

di rifrazione.

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 32

x )= (z,

t )i

E(z,t E

1 x 1

v z

v

t )=hH (z, t )j

hH(z,

y 1 y 1

x )= (z,

t )i

E(z,t E

2 x 2 v z

v

t )=hH (z, t )j

hH(z,

y 2 y 2

(a)

x )= (z,

t )i t )=hH (z, t )j

E(z,t E hH(z,

1 x 1 1 y 1

v v z

y x )= (z,

t )i t )=hH (z,t )j

E(z,t E hH(z,

2 x 2 2 y 2

v v z

y (b)

Figura 2.1: Andamento del campo elettrico e del campo magnetico in due istanti successivi

nel caso di un impulso diretto (a) e riflesso (b). Essendo presente in entrambi i casi un solo

tipo di impulso, si è riportato ηH anzichè H in modo da avere, in ogni punto, due vettori

y y

con lo stesso modulo.

In entrami i casi si farà riferimento alla situazione illustrata in figura 2.3, in cui la superficie

che separa le due regioni è un piano ortogonale all’ asse z e all’istante t = 0 nel mezzo

0

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 33

x z

t )=hH (z, t )j

hH(z, 1 x 1

v v

y )= (z,

t )i

E(z,t E

1 y 1

x z

t )=hH (z,

t )j

hH(z, 2 x 2

v v

y )= (z,

t )i

E(z,t E

2 y 2

Figura 2.2: Andamento del campo elettrico e del campo magnetico in due istanti successivi

nel caso di un impulso diretto con il vettore campo elettrico orientato lungo l’asse y.

dielettrico si propaga un solo impulso nel verso positivo:

E (z, t ) = Af (t − z/v) ∀z < L

x 0 (2.7)

A

H (z, t ) = f (t − z/v) ∀z < L.

y 0 η

Quando le caratteristiche del mezzo cambiano in modo discontinuo, il campo elettrico ed il

campo magnetico che si trovano a destra ed a sinistra della superficie di discontinuità sono

legati da particolari relazioni dette condizioni di continuità [1]:

µ ¶

+ +

− −

E(L , t) = E(L , t) H(L H(L , t) × n̂ = J ∀t, (2.8)

, t) − s

con n̂ versore normale alla superficie di separazione. Nel caso in esame, essendo i due vettori

E = E î e H = H ĵ, segue:

tangenti alla superficie di separazioni ed in particolare x y

+ +

− −

E (L , t) = E (L , t) H (L , t) − H (L , t) = J ∀t (2.9)

x x y y sx

e J = J î.

s sx

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 34

x (z,t )

E x 0 z=L z

(z,t )

hH

y y 0

Figura 2.3: Andamento del campo elettrico E e di ηH a t = 0. Si è riportato ηH

x y 0 y

anzichè H in modo da avere, in ogni punto, due vettori con lo stesso modulo. In z = L è

y

posizionata la superficie di separazione.

Mezzo dielettrico affacciato ad un conduttore elettrico ideale

All’interno di un conduttore ideale il campo è identicamente nullo:

+ +

E (L , t) = 0 H (L , t) = 0 ∀t

x y

e quindi in base alle (2.9) le condizioni che devono essere soddisfatte dal campo sono:

− − −

E (L , t) = 0 H (L , t) = J (L ) ∀t. (2.10)

x y sx

All’interno del dielettrico, l’espessione generale per il campo elettrico ed il campo magnetico

è la seguente: ( E (z, t) = Af (t − z/v) + Bg(t + z/v)

x 1 1

H (z, t) = Af (t − z/v) − Bg(t + z/v)

η η

y

In z = L è posizionato il piano che separa il materiale dielettrico dal conduttore quindi:

E (L, t) ≡ 0 ∀ t.

x ⇓

Af (t − L/v) + Bg(t + L/v) = 0 ∀ t

⇓

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 35

Af (t − L/v) = −Bg(t + L/v) ∀ t

⇓

A f (t − L/v)∀ t

g(t + L/v) = − B

⇓

A f (ξ − 2L/v)

g(ξ) = − B

con ξ = t + L/v. Sostituendo nelle (2.7):

 E (z, t) = Af (t − z/v) − Af (t + z/v − 2L/v)

x



 ∀z ≤ L (2.11)

1

 H (z, t) = (Af (t − z/v) + Af (t + zv − 2L/v))

 η

y

Per il campo elettrico, la situazione è del tutto identica a quella trattata nel paragrafo

1.7; conseguentemente, la figura 1.22 può essere interpretata come la rappresentazione del-

l’evoluzione spazio temporale di E . Man mano che l’impulso incidente si esaurisce contro

x

la parete, quello riflesso esce da essa. Dal punto di vista fisico, la generazione dell’impulso

riflesso è dovuta alla presenza della densità di corrente superficiale J prodotta sulla super-

sx

ficie dal campo elettrico dell’impulso incidente. In altre parole, l’impulso incidente produce

sul conduttore una corrente superficiale tale da generare a sua volta un secondo impulso che

si propaga in direzione opposta al primo. La seconda delle (2.10) e la seconda delle (2.11)

permettono di determinare l’andamento temporale di J :

sx

2A

J = f (t − L/v)

sx η

I conduttori ideali si comportano come superfici perfettamente riflettenti. Questa proprietà

viene utilizzata ad esempio nelle guide d’onda per confinare il campo in una porzione limitata

dello spazio. Il coefficiente di riflessione è definito come il rapporto tra l’ampiezza del campo

elettrico dell’onda riflessa e quello dell’onda incidente:

B .

r = A

Nel caso di un conduttore ideale: r = −1;

il segno meno indica che il campo elettrico dell’impulso riflesso ha verso opposto a quello

incidente, mentre il campo magnetico ha lo stesso verso.

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 36

Dielettrico-Dielettrico

Rispetto al caso precedente le differenze sono due:

• il campo elettromagnetico si può propagare anche nel secondo mezzo;

• non possono esistere correnti superficiali.

L’assenza di correnti superficiali fa si che le condizioni di continuità siano:

E = E H = H .

x1 x2 y1 y2

A fronte di un impulso incidente, la necessità di garantire la continuità sia del campo

elettrico che di quello magnetico impone l’esistenza di un impulso trasmesso. D’altro canto,

p

i due mezzi sono caratterizzati da due impedenze intrinseche differenti: η = µ /ε ,

1 1 1

p

η = µ /ε . Questo fa si che il rapporto tra le ampiezze del campo elettrico e del campo

2 2 2

magnetico dell’ impulso incidente e di quello trasmesso debba cambiare quando si passa da

un mezzo all’altro. Per poter soddisfare anche questa seconda condizione, è necessaria la

presenza di un’onda riflessa.

I legami delle ampiezze delle varie onde si ottengono imponendo la continuità del campo

elettrico e del campo magnetico all’interfaccia z = L:

( Af (L, t) + Bg(L, t) = Ch(L, t) ∀ t

A B C

f (L, t) − g(L, t) = h(L, t) ∀ t.

η η η

1 1 2

Dalla prima, dovendo essere soddisfatta per ogni t, segue che f (ξ) = h(ξ) e g(ξ) = f (ξ −

A B C

2L/v) e A + B = C; dalla seconda: − = . Si ottiene cosı̀ un sistema di due

η η η

1 1 2

equazioni: ( A + B = C

A B C

− =

η η η

1 1 2

nelle tre incognite A, B e C. Tipicamente si ricavano B e C in funzione dell’ampiezza

dell’impulso incidente A che è supposta nota:

η − η

 2 1

B = A

η + η

 1 2

2η 2

C = A.

η + η

 1 2

In questo caso oltre al coefficiente di riflessione r = B/A si può definite un coefficiente di

trasmissione t = C/A. Sostituendo le espessioni sopra si ottiene:

η − η

2 1

r = η + η

1 2

2η 2 .

t = η + η

1 2

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 37

La maggior parte dei materiali di interesse pratico sono non magnetici, µ ' µ , quindi:

0

n − n

1 2

r = n + n

1 2

2n 1 .

t = n + n

1 2

È bene osservare che se n < n allora r < 0 cioè il verso del vettore campo elettrico

1 2

dell’onda riflessa è opposto a quello del campo elettrico incidente, mantre il vettore campo

magnetico mantiene il verso. Se n < n si scambiano le proprietà.

2 1

Esempio

Si consideri la propagazione di un impulso rettangolare avente un campo elettrico di ampiez-

za E ed un campo magnetico di ampiezza H = E /η che si propaga in un mezzo con indice

i i i 1

di rifrazione n .

1

Se ora l’impulso incide su una superficie che delimita il mezzo da un secondo mezzo con

indice di rifrazione n = 2 n , a causa del cambiamente dell’impedenza intrinseca si gen-

2 1

era oltre all’impulso trasmesso di ampiezza E e H , un impulso rifl