Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 37

La maggior parte dei materiali di interesse pratico sono non magnetici, µ ' µ , quindi:

0

n − n

1 2

r = n + n

1 2

2n 1 .

t = n + n

1 2

È bene osservare che se n < n allora r < 0 cioè il verso del vettore campo elettrico

1 2

dell’onda riflessa è opposto a quello del campo elettrico incidente, mantre il vettore campo

magnetico mantiene il verso. Se n < n si scambiano le proprietà.

2 1

Esempio

Si consideri la propagazione di un impulso rettangolare avente un campo elettrico di ampiez-

za E ed un campo magnetico di ampiezza H = E /η che si propaga in un mezzo con indice

i i i 1

di rifrazione n .

1

Se ora l’impulso incide su una superficie che delimita il mezzo da un secondo mezzo con

indice di rifrazione n = 2 n , a causa del cambiamente dell’impedenza intrinseca si gen-

2 1

era oltre all’impulso trasmesso di ampiezza E e H , un impulso riflesso E , H . Essendo

t t r r

n = 2 n segue che

2 1 r = −1/3 t = 2/3

quindi 1 2

E = − E E = E .

r i t i

3 3

Il campo magnetico dei vari impulsi si ricava immediatamente dividendo il campo elettrico

per l’impedenza intrinseca del mezzo:

1 1 n 4

2

H = −E /η = − E η = H H = E /η = E /η = H .

r r 1 i 1 i t t 2 t 2 i

3 3 n 3

1

L’andamento spaziale ad un generico istante è riportato in figura 2.4. Si noti come le

ampiezze dei vari impulsi siano tali da soddisfare sia la condizione di continuità dei vettori

complessivi che la condizione imposta dall’impedenza intirnseca. In particolare nel mezzo

2 il rapporto E/H cala essendo minore il valore di η rispetto a quello del mezzo 1. Si

2

noti inoltre che l’estensione spaziale dell’impulso trasmesso è la metà di quella dell’impulso

riflesso a causa del fatto che nel mezzo 2 la velocità di propagazione è la metà di quella del

mezzo 1: 2c

c = .

v =

2 n n

2 1

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 38

E H

H

E i

i

2/3E 2/3H

i i

1/3E 1/3H

i i

z z

Figura 2.4: Andamento del campo elettrico e del campo magnetico nel caso di due dielettrici

con differente indice di rifrazione.

2.2.2 Esercizi risolti

Esercizio

In figura 2.5 sono riportate le componenti del campo elettrico all’istante t = 0 di un impulso

che si propaga in aria nella direzione positiva dell’asse z. Disegnare l’andamento temporale

delle componenti del campo elettrico e del campo magnetico in z = 0.

(z,0)[V/m]

E (z,0)[V/m]

x E y

B C D

80 E

45 F F

A A

z [m] z [m]

0

-270 -260 -220 -180 -140 -100 0

-270 -260 -220 -180 -140 -100

-22.5 E

-40 B C D

Figura 2.5: Andamento spaziale delle componenti del campo elettrico E all’istante iniziale

t = 0.

Soluzione

Indicando con ∆T il tempo che impiega il punto F per arrivare in z = 0 e con z l’ascissa

F F

in cui si trova il punto all’istante t = 0, si ha:

z − z (0 − 100)[m]

F −8

=

∆T = = 33 · 10 [s] = 0.33[µs].

F 8

c 3 · 10 [m/s]

0

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 39

Le distanze tra i punti F , E, D, C e B sono le stesse e sono pari a ∆z = 40[m]. La stessa

cosa vale per i ritardi relativi: ∆z 40[m]

∆T = = = 0.13[µs]

8

c 3 · 10 [m/s]

0

mentre il ritardo del punto A rispetto a B vale:

∆z 10[m]

BA

∆T = = = 0.033[µs]

BA 8[m/s]

c 3 · 10

0

Noti tutti gli istanti di arrivo, per punti si ricostruisce gli andamenti temporali delle compo-

nenti del campo elettrico riportati in figura 2.6. Per quel che riguarda il campo magnetico,

(0,t)[V/m]

E (0,t)[V/m]

x E y

B

C

D

80 E

45 A

F A

F

t [ s] t [ s]

m

0.9

0.33 0.46 0.6 0.73 0.86 m

0.9

0.33 0.46 0.6 0.73 0.86

-22.5 E

-40 C

D B

Figura 2.6: Andamento temporale delle componenti del campo elettrico E in z = 0.

ricordanto che: 1 k̂ ×

H = E,

η

ed essendo k̂ = ẑ, si ottiene:

1 1 1 ¡ ¢

H = E ̂ + E (−ı̂)

ẑ × (E ı̂ + E ̂) = [E (ẑ × ı̂) + E (ẑ × ̂)] = x y

x y x y

η η η

e quindi: E E

y x

H = − H = .

x y

η η

Da queste si ricavano le ampiezze delle componenti nei vari punti:

E −40[V /m]

yD

H = − = − = 106[mA/m];

xD η 377[Ω]

E −22.5[V /m]

yE = − = 60[mA/m];

H = −

xE η 377[Ω]

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 40

E 80[V /m]

xD

H = − = = 212[mA/m];

yD η 377[Ω]

45[V /m]

E xE = = 120[mA/m].

H = −

yE η 377[Ω]

Gli andamenti temporali delle componenti del campo magnetico sono riportati in figura 2.7.

(0,t)[mA/m]

H

(0,t)[mA/m]

H y

x B

C

D

212

B E

C

D

106 120

E

60 A

F

A

F t [ s]

t [ s] m

m 0.9

0.33 0.46 0.6 0.73 0.86

0.9

0.33 0.46 0.6 0.73 0.86

Figura 2.7: Andamento temporale delle componenti del campo magnetico H in z = 0.

Esercizio

L’impulso E (z, t) = Af (t − z/v) riportato in figura 2.8 si propaga in aria ed incide or-

x

togonalmente sulla superficie marina. Si calcoli l’andamento temporale del campo elettrico

e del campo magnetico ad una altezza di 300 m dalla superficie marina la cui permittivitá

dielettrica relativa, nell’ipotesi di poter trascurare le perdite, vale ε = 81.

r2

E (z,0)[V/m]

x Aria Acqua

B C D

80 E

45 F Z [m]

A 0

-270 -260 -220 -180 -140 -100

Figura 2.8: Andamento del campo elettrico E all’istante iniziale t = 0.

x

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 41

Soluzione

L’orientamento dell’asse z è entrante nella superficie marina, quindi il punto a quota 300m

z = −300 m. Per determinare l’andamento temporale dell’impulso è nec-

si trova in z =

essario calcolare il tempo impiegato dai vari punti evidenziati in figura 2.8 per raggiungere

il punto z. Assumendo n = 1, la velocità di propagazione del campo elettromagnetico

aria

8

nell’aria vale c = c = 3 10 m/s, quindi il tempo che impiega il punto F per arrivare sulla

0

superficie marina vale: ∆z 100m −6

T = = = 0.333 10 s = 0.333µs.

a 8

c 3 10 m/s

Il tempo che impiega successivamente il punto F dell’onda riflessa per arrivare in z =

−300 m vale: ∆z 300m −6

T = = = 10 s = 1µs.

r 8

c 3 10 m/s

L’istante t in cui il punto F dell’impulo riflesso giunge in z = −300 m è quindi

F t = T + T = 1.333µs.

a r

F

Rispetto al punto F , il punto E presenta un ritardo temporale pari a:

z − z 40m

F E

∆T = = = 0.133µs

EF 8

c 3 10 m/s

quindi: t = t + ∆T = 1.466µs.

E F EF

Essendo z −z = z −z = z −z = z −z segue che ∆T = ∆T = ∆T ∆T =

F E E D D C C B EF DE CD BC

0.133µs, mentre ∆T = 0.033µs = 33ns.

AB

Per determinare l’ampiezza del campo elettrico dell’impulso riflesso è sufficiente calcolare

il coefficiente di riflessione r: n − n 1 − 8

aria acqua = = −0.7.

r = n + n 10

acqua aria

+ il valore assunto dal campo elettrico dell’impulso incidente nel punto B

Indicando con E B

− il valore assunto nel medesimo punto dal campo elettrico dell’impulso riflesso:

e con E B +

E = rE = 80 · (−0.7) = −56 V /m.

B B

Analogamente: +

E = rE = 45 · (−0.7) = −31.5 V /m.

E E

Nota l’ampiezza e l’orientamento del campo elettrico si ricava immediatamente quella del

campo magnetico. Il verso di propagazione è opposto a quella dell’asse z quindi:

E

B

H = − = 148mA/m;

B η

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 42

E E

H = − = 83mA/m

E η

Gli andamenti temporali del campo elettrico e del campo magnetico in z = −300m sono

riportati in figura 2.9. H (-300,t)[mA/m]

y

148 C

D B

E

83

E (-300,t)[V/m]

x 1.9

1.466 1.6 1.733 1.865

1.466 1.6 1.733 1.865 1.9 1.333

1.333 1

1 t [ s]

t [ s] m

F A m A

F

-31.5 E D C B

-56

Figura 2.9: Andamento del campo elettrico E e del campo magnetico H in z = −300m.

x y

2.3 Analisi nel dominio della frequenza

Quando il mezzo in cui il campo elettromagnetico si propaga è temporalmente dispersivo, la

E ed il vettore spostamento elettrico D è di tipo integrale e la

relazione tra il campo elettrico

risoluzione delle equazioni di Maxwell nel dominio del tempo diventa proibitiva. In questa

situazione, ma anche in molte altre, la trattazione si semplifica enormemente se anzichè

utilizzate i vettori reali funzioni dello spazio e del tempo, si utlizzano i vettori complessi

rappresentativi che sono funzioni dello spazio e della frequenza. In linea di principio, ciò non

comporta alcuna limitazione, infatti dall’analisi di Fourier è noto che un qualsiasi segnale

temporale può essere rappresentato da una somma integrale di infinite sinusoidi ognuna con

una pulsazione differente.

Il procedimento è del tutto identico a quello visto nel paragrafo 2.2 salvo il fatto che si

devono considerare le equazioni di Maxwell in regime armonico relative i vettori complessi

rappresentativi E, H legati ai vettori reali E, H dalle seguenti relazioni:

jωt

© ª

E(x, y, z, t) = Re E(x, y, z)e (2.12)

jωt

© ª

H(x, y, z, t) = Re H(x, y, z)e .

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 43

Postulando la dipendenza spaziale del campo da una sola coordinata spaziale, ad esempi

z, si individuano due soluzioni indipendenti, una caratterizzata dalle componenti (E , H )

x y

e l’altra dalla coppia (E , H ) dove E , E , H , H sono quantità complesse. Se l’orienta-

y x x y x y

mento dei vettori non coinciede con uno degli assi coordinati del sistema di riferimento, il

campo può essere scomposto nella somma di due onde, una con componenti (E , H ) e l’al-

x y

tra con componenti (E , H ). La relazione che sussiste tra E, H e direzione di propagazione,

y x

individuata dal versore k̂, è la stessa vista nel paragrafo 2.2:

1 k̂ ×

H = E; (2.13)

η

E = −η k̂ × H.

Le proprietà delle due soluzioni sono le stesse, per questo motivo nel seguito si farà riferi-

mento alla soluzione (E , H )

x y

L’equazione per E è la seguente:

x 2

d E x 2

− γ E = 0 (2.14)

x

2

dz

dove p 2

−ω

γ = µε (2.15)

c

e σ

0 00 );

ε = ε − j(ε +

c ω

da cui: ε σ

0 00

ε = = ε − j(ε + ).

r r r

ε ε ω

0 0

La parte immaginaria di ε è legata alle perdite ed in particolare alle perdite per effetto Joule

c

tramite la conducibilità elettrica σ ed alle perdite legate all’orientamento dei dipoli degli

00

atomi e delle molecole che costituiscono il mezzo tramite ε . La costante di propagazione γ

è in generale una quantità complessa: γ = α + jβ. (2.16)

Imponendo l’uguaglianza tra la (2.15) e la (2.16) si ottiene [1]:

√ q

ω µε 0 p 2

α = 1 + R − 1 (2.17)

2

√ q

µε

ω 0 p 2

√ 1 + R + 1

β = 2

con 00

ε σ

R = + . (2.18)

ε ωε

0 0

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 44

La seconda delle (2.17) costituisce la legge di dispersione dell’onda sinusoidale. Spesso al

posto di R si usa tan δ dove δ è detto angolo di perdita [2]:

p p δ = arctan(R)

p

L’espressione generale della soluzione della (2.14) è la seguente:

γz αz jβz

−γz −αz −jβz

E (z) = Ae + Be = Ae e + Be e . (2.19)

x

Noto il campo elettrico, il vettore rappresentativo del campo magnetico si ottiene con-

siderando la seguente equazione di Maxwell nel dominio trasformato:

∇ × E = −jωµH. (2.20)

Esplicitando ambo i membri, in virtù del fatto che E dipende unicamente da z si ottiene:

dE x = −jωµH ;

y

dz

H sono nulle. Sostituendo la (2.19) segue:

mentre le altre due componenti di 1 ´

³ αz jβz

−αz −jβz ;

Ae e − Be e

H (z) =

y η c

con r µ µ

r

η = = . (2.21)

c ε ε − j(ε + σ/ω)

0 00

c

Come nel caso dell’analisi nel dominio del tempo, sia per l’onda diretta che per quella

riflessa, l’ampiezza del campo magnetico e quella del campo elettrico sono legate attraverso

l’impedenza intrinseca del mezzo η . A causa delle perdite η è ora una quantità complessa,

c c

ovvero il campo elettrico e quello magnetico non sono più in fase. Anche le costanti A e B,

che dipendono dalle condizioni al contorno, sono in generale complesse. Sostituendo la loro

rappresentazione in forma polare:

jφ jφ jφ

A = |A|e B = |B|e . η = |η |e η

A B c c

nell’equazione sopra e svolgendo la parte reale, si ottiene:

αz

−αz

E (z, t) = |A|e cos(ωt − βz + φ ) + |B|e cos(ωt + βz + φ )

x A B

|B|

|A| αz

−αz

e cos(ωt − βz + φ − φ ) − e cos(ωt + βz + φ − φ ).

H (z, t) = η η

y A B

|η | |η |

c c

La soluzione generale è costituita anche in questo caso da due funzioni che al variare del

tempo traslano nello spazio, una nel verso positivo dell’asse z e l’altra nel verso negativo ad

una velocità √

2

ω =

vf = , (2.22)

√ p

β 2

ε µ 1 + R + 1

0

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 45

con una lunghezza d’onda √

2π 2

=

λ = . (2.23)

√ p

β 2

ω ε µ 1 + R + 1

0

Essendo in regime armonico, la dipendenza temporale di queste funzioni é sempre e co-

munque di tipo sinusoidale. Le funzioni sinusoidali sono rappresentate nel dominio trasfor-

mato da esponenziali complessi. La parte immaginaria dell’esponente coincide con l’argo-

mento della funzione sinusoidale e per questo motivo viene detta fase dell’onda, mentre la

parte reale controlla l’ampiezza.

Per analizzare le proprietà di queste soluzioni conviene procedere per gradi considerando

il caso di dielettrico ideale, quello di dielettrico reale ed infine quello di buon conduttore.

Essendo le considerazioni identiche per l’onda diretta e per quella riflessa, nel seguito si

considererà solo la prima.

2.3.1 Mezzo dielettrico ideale

Per definizione un mezzo dielettrico è caratterizzato da una conducibilità σ = 0. Un

dielettrico si dice ideale se sono assenti anche altri fenomeni dissipativi legati al movi-

mento di orientamento dei dipoli degli atomi e molecole del materiale per effetto del campo

00

elettromagnetico stesso; in questo caso ε = 0. Grazie alla condizione:

00

σ = ε = 0,

l’impedenza intrinseca diventa una quantità reale:

r µ .

η = η =

c ε 0

Inoltre dalle (2.17) segue che: p µε . (2.24)

α =0 β = ω 0

In assenza di perdite, la legge di dispersione di un’onda sinusoidale in un mezzo omogeneo

è lineare. Se per semplicità si considera solo l’onda diretta:

−jβz

E (z) = Ae

x A −jβz

H (z) = e

y η

e si applicano le (2.12) si ottengono gli andamenti temporali del campo elettrico e magnetico:

E (z, t) = |A| cos(ωt − βz + φ ) (2.25)

x A

|A| cos(ωt − βz + φ );

H (z, t) =

y A

η

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 46

y E x z

H

x y

Figura 2.10: Andamento del campo elettrico E e del campo magnetico H .

x y

i cui andamenti, ad un generico istante, sono riportati in figura 2.10. Il campo elettrico ed

il campo magnetico sono sempre in fase, ed al variare del tempo le curve traslano nel verso

positivo alla velocità di fase: ω 1 c 0

v = = = .

f β µε n

Se il mezzo è non magnetico: c 0

v = .

f p

ε 0

r

Sostituendo nell’espressione generale della lunghezza d’onda (1.4), la seconda delle (2.24):

v v

2π f f

= 2π = ; (2.26)

λ = √

ω µε ω f

ovvero c 0

λf = n

Se con λ si indica la lunghezza d’onda nel vuoto segue inoltre che:

0 λ 0 .

λ = n

Esempio

L’espressione del campo elettrico di un segnale radio per la radio diffusione AM che si

propaga in aria è la seguente: 6

E(x, t) = 10 cos(1.5π · 10 t + βx)ẑ V /m.

Determinare:

(a) la direzione ed il verso di propagazione e la frequenza f ;

(b) la costante di fase β e la lunghezza d’onda λ;

(c) l’espressione dei vettori complessi rappresentativi E(x) e H(x);

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 47

(d) l’espressione del vettore campo magnetico H(x, t).

Soluzione 6

(a) L’onda si propaga in direzione −x. Essendo ω = 2πf = 1.5π10 [rad/s] segue che

f = 750[kHz].

(b) Essendo la propagazione in aria, la costante di fase vale

√ 6 8

β = ω µ ε = 1.5π10 /3 10 [m/s] = 0.005π [rad/m]

0 0

e quindi la lunghezza d’onda vale λ = 2π/β = 400 [m]

pari a quella assunta nel vuoto alla stessa frequenza.

(c) Si calcola innanzitutto il vettore rappresentativo del campo elettrico:

jβx j0.005πx

E(x) = Ae ẑ = 10e ẑ [V /m].

Sostituendo l’espressione trovata nella (2.13) si ottiene:

1 j0.005πx

H(x) = (− î) × (10e ẑ[V /m])

377[Ω]

10[V /m] j0.005πx

e (− î × ẑ)

= 377[Ω]

10[V /m] j0.005πx

= e ĵ

377[Ω] j0.005πx

−3

= 26.5 10 e ĵ [A/m].

H(x) nella (2.12):

(d) Sostituendo jωt

© ª −3 −6

H(x, t) = Re He = 26.5 10 cos(1.5π 10 t + 0.005πx) ĵ [A/m].

2.3.2 Mezzi con basse perdite

00

Nei mezzi reali in generale sia σ che ε sono non nulli. Tipicamente nei materiali utilizzati

00 0

per la trasmissione a distanza dei segnali elettromagnetici il loro valore è tale che ε /ε << 1

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 48

0

e σ/ωε << 1. Ciò permette di semplificare le (2.17) in virtù del fatto che se R << 1 allora

√ 2

R

2 ottenendo:

1 + R ' 1 + 2 p

β = ω µε 0

√ µ ¶

00

ω ε σ

µε 0

α = +

2 ε ωε

0 0

La costante di fase è praticamente identica a quella di un dielettrico ideale, questo fa si che

anche la velocità di fase e la lunghezza d’onda, in un mezzo non magnetico, siano pari a:

c λ f

0 0

v = , λ = = ;

f p

p p

ε ε c ε

0 0 0

0

r r r

Anche l’impedenza intrinseca può essere assunta con buona approssimazione identica a

quella del dieletrico ideale: r µ .

η = η =

c ε 0

Al contrario, la costante di attenuazione non può essere supposta ancora nulla. Consideran-

do per semplicità la sola onda diretta: −αz −jβz −jφ

E (z) = |A|e e e A

x |A| −αz −jβz −jφ

e e e

H (z) = A

y η

le espressioni nel dominio del tempo sono la seguenti:

−αz

E (z, t) = |A|e cos(ωt − βz + φ )

x A

|A| −αz

e cos(ωt − βz + φ )

H (z, t) =

y A

η

ed sono riportate in figura 2.11. L’onda presenta un decadimento esponenziale lungo la

direzione di propagazione. La parte immaginaria della permittività è cioè respondabile di

00

una attenuazione dell’onda che è tanto più rapida quanto più elevato è α cioè σ o ε .

Esempio

Un’onda di frequenza f = 10GHz si propaga in un cristallo di arseniuro di gallio GaAs,

comunemente usato per realizzare dispositivi elettronici per applicazioni in alta frequenza.

−4

Alla frequenza in esame per il GaAs si può assumere ε = 12.9, µ = 1, R = 5 10 . Esso

r r

quindi si comporta come un mezzo a basse pardite.

La costante di attenuazione e quella di fase valgono rispettivamente:

ω µ µ ε ε

0 r 0 r −1

α = R = 0.188 m ;

2

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 49

x z

y

Figura 2.11: Andamento del campo elettrico E e del campo magnetico H . Le curve

x y

−αz −αz

tratteggiate indicano l’andamento e e −e .

√ −1

β = ω µ µ ε ε = 752 m .

0 r 0 r

La velocità di fase, l’impedenza intrinseca e la lunghezza d’onda valgono: 2π

c η

µ µ

r

0 0

0 r

7

= 8.35 10 m/s, η = = 105 Ω. λ =

v = = = 8.3 mm

f p p

ε ε β

0

ε ε

0 0

0 r

r r

circa 3.59 volte inferiori ai valori assunti nel vuoto.

2.3.3 Buon conduttore

Se il valore di σ non è trascurabile, il materiale viene detto conduttore. In questo caso,

considerando sempre la sola onda diretta, le espressioni delle componenti sono le seguenti:

−αz −jβz

(z) = |A|e

E e e A

x |A| jφ

−αz −jβz −jφ ;

e e e e

H (z) = η

A

y |η|

nel dominio del tempo: −αz

E (z, t) = |A|e cos(ωt − βz + φ )

x A

|A| −αz

H (z, t) = e cos(ωt − βz + φ − φ ).

y η

A

|η|

L’impedenza intrinseca complessa causa uno sfasamento tra i due vettori come evidenziato

in figura 2.12. È evidente anche l’attenuazione del campo dovuto alle perdite per effetto

0

Joule. Quando poi σ >> ωε si parla di buon conduttore. Anche in questo caso limite è

2 2

possibile semplificare le (2.17). Essendo R >> 1 segue che R + 1 ' R e quindi:

r ωµσ 1

= ;

α ' β ' 2 δ

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 50

x z

y

Figura 2.12: Andamento del campo elettrico E e del campo magnetico H . Le curve

x y

−αz −αz

tratteggiate indicano l’andamento e e −e . Lo sfasamento tra il campo elettrico ed il

campo magnetico è evidenziato dal fatto che gli zeri sono assunti in punti differenti.

r µω jπ/4

η ' e .

c σ

Da cui segue: √

s 4πf π

2

v = 2πf δ = λ = 2πδ = .

f µσ f µσ

δ ha la dimensione di una distanza e viene chiamato spessore di penetrazione:

1

δ = . (2.27)

πf µσ

Lo spessore di penetrazione da un’idea della capacità del campo elettromagnetico di propa-

garsi all’interno di un buon conduttore. Osservando infatti le espressioni del campo elettrico

e magnetico: −z/δ

E (z, t) = |A|e cos(ωt − z/δ + φ )

x A

|A| −z/δ

e cos(ωt − z/δ + φ − π/4).

H (z, t) =

y A

|η |

c

emerge che lo spessore di penetrazione è la distanza alla quale il campo elettrico ed il campo

magnetico si riducono di un fattore 1/e. In figure 2.13 è riportato l’andamento del campo

elettrico in funzione di z. Come si vede l’andamento del campo è ben approssimato dalla

−z/δ

funzione e . Si noti inoltre che in un buon conduttore il campo elettrico ed il campo

o

magnetico sono sfasati di 45 .

Un aspetto importante nella propagazione del campo elettromagnetico in un buon condut-

tore è che lo spessore di penetrazione è inversamente proporzionale alla frequenza. Se in

prima approssimazione si trascura la dipendenza della conducibilitá dalla frequenza, un

campo elettromagnetico é in grado di penetrare in un mezzo conduttore tanto piú quanto

piú bassa è la sua frequenza.

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 51

1

0.8

0.6

(u.a.)

elettrico 0.4

Campo 0.2

0

-0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

z (mm)

Figura 2.13: Andamento del campo elettrico all’interno di un buon conduttore. La linea

−z/δ

tratteggiata indica l’andamento e .

Esempio

Per frequenze comprese nell’intervallo [10kHz, 10M Hz] la permittività dielettrica relativa

e la conducibilità dell’acqua marina possono essere ritenute costanti e pari a ε = 81,

r

00

σ = 4 S/m. Trascurando le perdite di natura dielettrica ε = 0, l’espressione di R diventa:

6 6

σ 4[S/m] 888 · 10 888 · 10

−1

R = = = [s ] = .

ωε 2πf 8.85 · 10 [F/m]81 f f [M Hz]

0 −12

Nell’intervallo di frequenza considerato, essendo 4

88.8 < R < 8.88 10

l’acqua marina può essere ritenuta un buon conduttore. In base alla (2.27), lo spessore di

penetrazione a 10kHz, 100kHz, 1M Hz e 10M Hz vale rispettivamente:

1

δ = = 2.52 [m];

10kHz p 3

π10 · 10 [s ]4π 10 [H/m] 4 [S/m]

−1 −7

δ = 79 [cm];

100kHz

δ = 25 [cm];

1M Hz

δ = 7.9 [cm].

10M Hz

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 52

Questi valori mostrano come la comunicazione sottomarina sia estremamente difficoltosa e

sia possibile solo a frequenze estremamente basse, inferiori ai 10kHz.

La condizione diviene meno stringente se si considera la propagazione in acqua dolce in cui

−3

la conducibilità vale σ = 4 10 [S/m]. A 10M Hz

−2

R = 8.88 10 << 1,

quindi l’acqua dolce è un buon dielettrico. In questo caso la costante di attenuazione vale:

√ √ −3

ω ω σ

µ ε µ ε σ η 377[Ω]

4 · 10 [S/m]

0 0

0 0 0 −3 −1

α = R = = = 83.7 · 10 [m ]

=

2 2 ωε 2 2 9

0 ε 0

Se si valuta lo spessore di penetrazione come l’inverso della costante di attenuazione, si

ottiene: 1 = 11.9 m.

δ =

10M Hz α

che differisce poco dal valore 12.1 ottenuto utilizzando la prima delle (2.17). Per frequenze

inferiori, R diventa confrontabile con l’unità ed è quindi necessario utilizzare la prima delle

(2.17) ottenendo: δ = 80.2 m;

10kHz

δ = 26.7 m;

100kHz

δ = 13.0 m.

1M Hz

Tabella riassuntiva

00

ε σ

= +

R ε ωε

0 0

Generale Dielettrico ideale Basse perdite Buon conduttore

R =0 R << 1 R >> 1

√ √

√ √

0 0

ω ω

µε µε

p 1

2

Cost. di att. α = 1 + R − 1 α =0 α = α = πf µσ

R =

√ 2 δ

√ 2 √ √

0

ω µε p 1

2

Cost. di fase β = 1 + R +1 β = ω µε β = ω µε β = πf µσ

=

0

√ δ

2 √

2 π

2π 1 1

Lung. d’onda λ = λ = λ = λ = 2πδ = √

β f µε f µσ

0

f µε

q µ µ µ µω jπ/4

p p p

Imp. intrinseca η = η = η = η = e

c c c c

0 00 0

ε +σ/ω) ε ε σ

−j(ε

Capitolo 2. La propagazione delle onde elettromagnetiche 53

2.3.4 Polarizzazione

In regime armonico il vettore campo elettrico E e magnetico H variano periodicamente nel

tempo con periodo T = 2π/ω. In particolare, la traiettoria percorsa dal vertice del vettore

E definisce la polarizzazione del campo elettromagnetico. Le considerazioni che verranno

fatte nel seguito fanno riferimento al caso di propagazione della sola onda diretta in un

mezzo privo di perdite, tuttavia la loro validità si mantiene anche al caso di propagazione

di più onde in un mezzo con perdite.

Si supponga inizialmente che si propaghi una sola onda con componenti (E , H ):

x y

E(z, t) = |A| cos(ωt − βz + φ )ι̂.

A

Al variare del tempo, fissato un punto dello spazio, ad esempio z = 0, il vettore mantiene

costante la direzione, ι̂, e varia l’ampiezza con legge sinusoidale: |A| cos(ωt + φ ). La figura

A

E nell’ipotesi che φ = 0. Il vertice si muove lungo

2.14 mostra l’evoluzione temporale di A

un segmento di lunghezza 2|A|. La polarizzazione del campo è detta lineare.

Si consideri ora la somma di un’onda (E , H ) e di una (E , H ) di differente ampiezza, ma

x y y x

stessa fase iniziale, ovvero con φ = φ :

A B

E(z, t) = |A| cos(ωt − βz + φ )ι̂ + |B| cos(ωt − βz + φ )̂.

A A

E è riportato in figura 2.15. Il segmento ha

L’andamento del campo elettrico complessivo

p 2 2

una lunghezza 2 |A| + |B| e forma un angolo con l’asse x:

|B| cos(ωt − βz + φ ) |B|

A

ψ = arctan( ) = arctan

|A| cos(ωt − βz + φ ) |A|

A

costante nel tempo e nello spazio. La polarizzazione è ancora lineare. Ovviamente, in virtù

del fatto che uno sfasamento di π corrisponde ad un semplice cambiamento di segno, anche

quando φ − φ = ±π la polarizzazione è lineare.

B A

Se le due onde e quindi le due componenti del vettore E, sono invece sfasate di ±π/2, ovvero

sono in quadratura ed hanno la stessa ampiezza:

φ = φ ± π/2 |B| = |A|,

B A

la polarizzazione è circolare. Infatti:

E(z, t) = |A| cos(ωt − βz + φ )ι̂ + |B| cos(ωt − βz + φ ± π)̂ =

A A

|A| (cos(ωt − βz + φ )ι̂ ∓ sin(ωt − βz + φ ))

A A

il cui modulo vale: q 2

2

|E(z, t)| = |A| cos (ωt − βz + φ ) + sin (ωt − βz + φ ) = |A|

A A


PAGINE

39

PESO

1.34 MB

AUTORE

Moses

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Fisica con trattazione dei seguenti argomenti: la propagazione delle onde elettromagnetiche, l'analisi nel dominio del tempo, il campo magnetico complessivo, l'andamento di un generico impulso, le soluzioni delle equazioni di Maxwell, effetti delle condizioni al contorno, il mezzo dielettrico affacciato ad un conduttore elettrico ideale.


DETTAGLI
Esame: Fisica
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
Università: Molise - Unimol
A.A.: 2011-2012

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Molise - Unimol o del prof Fontana Fabrizio.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!