Fisica II (generale)

TEOREMA DI GAUSS

dΦ = _Σ(Eₜₒₜ · ẑ) · ɲ dS = (_ΣE · ẑ) · ɲ dS = _Σ(E · ɲ dS) · ẑ = _Σ dΦᵢ

Φtot = ∫ dΦtot = ∫ [_Σ dΦᵢ] = _Σ ∫ dΦᵢ = _Σ qᵢ / ε₀

Abbiamo quindi le prime Equazioni di Maxwell in forma integrale

TEOREMA DI GAUSS

Φ = ∫_{Superfice Chiusa}E · n̂ dS = Qᵢᵣᵣ / ε₀

Applicazione del Teorema

Consideriamo un filo infinito

Se vogliamo il campo in un punto esterno un cilindro

→ E·(2πεh)

Per flusso attraverso le basi è zero, perche E ⊥ n̂

da questo punto per il teorema di Gauss:

Φ_E = E(r)(2πrl) = Q_int / ε₀ ⇒ E(r) = Q_int / ε₀(2πrl)

→ = l / 2πε₀ rl

Consideriamo un piano infinito

Calcoliamo il flusso attraverso il parallelepipedo

Oppure consideriamo un cilindro

E₁ σ Ê σ

ƒ Â Â

Aux

Φ_E = Ê ⃗ ⋅ Â + Ê ⋅ Â = 2E A   → per Gauss *

* Q_int = σA = ⇒ Ê ⃗ = σ / ε₀ ̂n

Consideriamo una sfera uniformemente carica (loica al di fuori delle sfera)

ρ = Q / 4πR³³

risultato dell'integrale

Φ_E = E(r)(4πr²) = Q_int / ε₀ = Q / ε₀

  Gauss

E(r) = Q / 4πr² ε₀ ̂r

Consideriamo di nuovo dentro la sfera

ρ̂ R

Φ_E = E(r)(4πr²) = Q_in / ε₀ ρ(4π/3 r³) / ε₀

⇒ E(r) = ρr / 3ε₀ ̂r

ΔT = T

Δx

Δy

ΔT = ( Δx x

+

ΔT = Δx x

+

dy

dx

dx ) + (∂T

dy

dy ) senθ

ΔT = cos θ

dT = -

dy

POTENZIALE

Il campo elettrico

-

E

Q d =

q

d

Q

d

q =

1

q

d

L =

=

-

E

E

.

-

q

Q

V(x) =

V(A) =

Dato il conduttore _C consideriamo infinitesimi ad esso una

qualunque superficie chiusa _S. Essendo E = 0,

dunque per flusso la carica libera netta confermata

infinitesima su Σ è nulla. E infatti se _σ vale per polarità

Σ infinitesima anche _σ nuov per disegni,

sulle superficie del conduttore.

TEOREMA DI COULOMB

Dato un conduttore _C consideriamo un cilindro di

base d_S e siccome l_b basi del cilindro son

parallele alle superficie del conduttore e per lavoro dell’orientamento

superiore rispetto a ds l’

osservazione: ancini se compita la

densità superficiale}

Espressione che sintetizza il teorema di

Coulomb

Collegamento in serie

Q = C V

V₁ = V_A - V_B

V₂ = V_E - V_B

Q₁ = C₁ V₁

Q₂ = C₂ V₂

V₁ + V₂ = V_A - V_B

⇒ Q = Q_A = C_E V

⇒ {Q₁ = V₁Q₂ = V₂

-Q (¹/_C1 + ¹/_C2) = V₁ + V₂ = V_n - V_B ⇒ Q = C_A ΔV

da cui: ¹/_Ceq = ¹/_C1 + ¹/_C2

Energia nel campo elettrostatico

Consideriamo un sistema discreto di cariche, di poste in una configurazione fissa e nota.

L_el = - ΔU = -L_ext ⇒ L_ext - ΔU

Scriviamo l'energia potenziale delle cariche i e j:

U₁₂ = ^{q₁ q₂}/_4πε1

Analogamente per le cariche 1 e 3:

U₁₃ = ^{q₂ q₃}/_4πε23; U₂₃ = ^{q₃ q₃}/_4πε12

dF_ext = dL_ext + dU ⇒ dL_ext + dFx = dU

Abbiamo la trasformazione, siccome F_ext deve essere opposto e quasi

uguale all'incremento di superficie del solido, quindi

dF_ext = u dS

dF_ext = - dU / dx

Veleziamo ad x queasta estile l'energia elettrostatica ralamemete dello spellemengro di dx

E an element di superficii dS, flamenteo di volumne di dx e pigre dellao spostamento avere

uni: p ^o Vi = u dS di U; sicomo u = 1 - ⬯ 1 U

(polli al elementi di volume sitirco tenance inperzbo). Quindi U_ext = U_i = u dS dX

u = dV = - u dS

dx

Per la definizione di pressione dobbiamo che:

P = dFx = u

dx

APPLICAZIONE DEL METODO DEI LAVORI VIRTUALI

Calcolate la forz elettrostatica con cui si obbligono le armature di un condensatore

piano desbirti, di carica Q

▬Q▬

ΔU = U_f- U_i = u S delta x

= 1 (c_o gV dS dX = 1 Q²ΔSx

2 ϵ_o 2 ϵ_oS

Fx = -dU/dx = -1 Q²

2 ϵ_oS

Fele forte è possibile equivalente ottenere nel seguente modo:

▽

u =3 1 Q = 1 (1 ) = 1 Q² d (1 )

dU 3 2 ϵᴥ 3 X /

2 / ϵ_o 2 (2)

Dato chimi:

Fx =

dU = -2 (Q

dx / 2 gS dx = S/

1 2 ϵ_oS

Vettore Polarizzazione Elettrica P

Il vettore polarizzazione P è definito come il momento di dipolo elettrico per unità di volume, ovvero

P = lim_z→0 (Σ p_i) / z = dN / z

dN = numero di molecole contenute in z

Ricaviamo le relazioni che uniscono tra le polarizzazione e le cariche

dp = P dz

dV = 1/4πε₀ * (dp⋅(r−r')) / |r−r'|³

per cui il potenziale V(r) vale,

V(r) = 1/4πε₀ * P⋅z/z³

Se applichiamo ∇' operatore sulle delle funzioni

∇'(1/|r−r'|) = (r−r')/|r−r'|³