Fisica II (generale)

Teorema di Gauss

Superficie chiusa

Settore

\[ \int \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{q \, d\ell}{r^2} \cdot \hat{n} \, ds \]

\[ = \frac{1}{\epsilon_0} \int \vec{E} \cdot d\vec{\Omega} \]

\[ \int d\Omega = \frac{q}{\epsilon_0} \]

Abbiamo trovato le prime Equazioni di Maxwell in forma integrale

Teorema di Gauss

\[ \int \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} \]

Applicazione del Teorema. Consideriamo un filo infinito

\[ \vec{dE}_1 \] \[ \vec{dE}_2 \]

Se voglio il campo in un punto prossimale un cilindro

\[ \Phi_E = \int_S \vec{E} \cdot \hat{n} \, ds = \int_S \vec{E}(\vec{r}) \, ds = \vec{E}(\vec{r}) \, dS = \vec{E}(\vec{r}) (2 \pi r \, \ell) \]

TEOREMA DI GAUSS

versione normale alla superficie

d_Φ1 = Ē_tot·n̂ dS = (ZĒ·n̂)·n̂ dS - Σ(Ē_I·n̂ dS) = Ż d_Φ

Φ₁^tot = ∮₁·d_Φ1^tot = ∫(Ż d_Φ...) = Σ ∫ d_Φ = Σ̇q_I/ε₀

Abbiamo quindi le prime equazioni di Maxwell in forme integrali

TEOREMA DI GAUSS

∮Ē·n̂ dS = Q_int/ε₀

Applicazione del Teorema

Consideriamo un filo infinito

Se vogliamo calcolare il campo in un punto esterno ad un cilindro

Φ_E = ∮Ē·n̂ dS = ∮Ē(_I) dS = Ε̇ (x̂) (2π ε l)

a questo punto per il teorema di Gauss:

_E = E(r)(2πrL) = Q_int / ε₀ → E(r) = λ / 2πε₀r

Gauss

Consideriamo un piano infinito

Calcoliamo il flusso attraverso il parallelepipedo

Oppure consideriamo un cilindro

_E = EA + EA = 2EA → per Gauss

* = Q_int / ε₀ = σA / ε₀ → E = σ / ε₀ⁿ μ

Consideriamo una sfera minimamente carica (elettrica di fuori dalle sfere)

p = Q / (4/3πR³)

risolviamo dell'integrale

_E = E(r)(4πr²) = Q_int / ε₀ - Q / ε₀

Gauss

E(r) = Q / 4πε₀ r

Consideriamo di là dentro le sfere

Q_int

_E = E(r)(4πr²) = Q_int / ε₀ - p (4/3πr³) / ε₀

E(r) = pr / 3ε₀^r

r < R

Grafico del campo E

E(r)

α = proporzionale

Campo elettrico

dE₁ = |^σdS₁/_4πε0r²|

= ^{σ dΩ}/_4πε0

dE₂ = ^σdS₁/_4πε0r² = ^{σ dΩ}/_4πε0

dE₁ + dE₂ = 0

Consideriamo una superficie chiusa e il suo flusso

Φ = ^ⓢ∮&c^→· dS

V_s = racchiuso da S₁ = S_a + S_b

V_i = racchiuso da S₂ = S_b + S_ab

Flusso da S₁ + S₂

Calcoliamo

Φ_s = flusso attraverso S₁ = ⌠_dS2∮Ē^→· dS + ⌠_Sab∮&c^→¿

Φ_i = flusso attraverso S₂ = ⌠_S2∮Ē^→· dS + ⌠_Sab∮&c^→n₂ dS

Sommando ottengo:

Φ_i + ∮Ē^→· dS = ⌠_S2∮c_s d· Ē, dS = Φ

∅₂ = ∫_C2  ∅₂ = ∫_C2  ∅₂ =

∅₂ = -C_x(1)(Δy)Δz + [C_x(1) + дx/дx Δx](Δy)Δz) =

= − д/(dcy;x) [C_x(1)(Δx)(Δy)(Δz) = дC_x дx (ΔV)]

∅_Tot = ∅₁ + ∅₂ + ∅₃ + ∅₄ + ∅₅ + ∅₆ = [−∅(dcy;x) + ∅(dcy;y) + ∅(dcy;z)]∅ΔV

_C di ∅ =

∅ = ∫_V    ∅ = ( ∅ )

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