Fisica generale II - Formulario

Formulario di fisica 2

Elementi di calcolo vettoriale

Legge di Coulomb

1) Prodotto scalare

qq qq1=0
kF u u ⋅ = + + πεr rA B A B A B A B 2 2r r4x x y y z z 0

2) Prodotto vettoriale

2C−ε = ⋅ 12dove: 8.8542 10i j k 0 2Nm× = Tab 1.1A B

 dU dU dU ⋅ 10^-27 ∇ = = Neutrone n 0 1.6749  

3) U grad U , ,  dx dy dz

Campo elettrostatico E= ∇ ⋅ dU U d s F 1 q= =φ = ⋅ E u

Flusso: ( E ) E S πε₀ 2S 4q r

dove: E campo di flusso, Densità di carica: = S n in cui: S dq = ρ τ ⇒ ρ = S è la superficie elem. attraversata dal flusso dq (x', y', z') d, a) Spaziale τ dn è la direzione normale alla superficie S ρ∫ dove: è la densità spaziale di carica,

φ = ⋅ In generale: ( ) dS v v n τ = S d dx' dy' dz' è il volume S ∂∂ ∂ v v v elementare di carica dq.= + + yx z

4) Divergenza di v: div v ∂ ∂ ∂ In tal caso: x y z ∫ = ρ τ

Campo solenoidale se div v = 0, q ( x', y', z' ) dô

Teorema della divergenza

ρ τ ρ1 1 ( , , )d x y z dxdydz∫ ∫∫ ∫ = =φ = ⋅

= E u udS div dV( )v v n v πε πε2 2τ τS 4 4r rS V &sup0; &sup0; dove: V è il volume racchiuso dalla superficie S dq = σ Σ ⇒ σ = b) Superficiale dq ( x', y', z' ) d ,

5) Rotazione (o rotore) di V: Σdσi j k dove: è la densità superficiale di = se rot v 0 ∂ ∂ ∂ carica, = = ∇ × rot v v , si dice "campo Σ =d dx' dy' è l’area della super-∂ ∂ ∂x y z irrotazionale " ficie infinitesima di carica dq.v v v ∫ = σ Σx y z q ( x', y', z' ) dΣ

Teorema di Stokes

Ñ Σσ In tal caso: ∫ ∫⋅ = ⋅

1 d∫d rot dS =v l v n E uπεS 2Σ4 r0

6) Operatore di Laplace (o Laplaciano): dq= λ ⇒ λ =∂ ∂ ∂2 2 2

c) Lineare dq ( x', y', z' ) dl ,2∇ = ∇ ⋅ ∇ = + + dl∂ ∂ ∂2 2 2x y z

λdove: è la densità lineare di carica, In un campo conservativo si ha: dl è il tratto infinitesimo di linea.

Ñ∫ ⋅ = ⇒ = ∇ ∫= λv d l 0 ,v U q ( x', y', z' ) dlΣ

Se il campo è solenoidale e conservativo: λ In tal caso: 1 dl∫ = ∂ ∂ ∂2 2 2

E u U U U = ∇ = + + = πε 2 div v div U 4 rl ∂ ∂ ∂ 0 2 2 2 x y z

In caso di distribuzioni uniformi di carica 2 = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ = = ρτ = σ Σ = λv U U 0 q , q , q l .

Alcune proprietà: div Rotore Alcuni esempi immediati: =div rot v 0 e poiché 1) Disco sottile di raggio R e di carica r&Arr;= ∇ ⋅ ∇ × = πε x div rot v v 0 sempre 2 + 2 R 2 2x R0

1 Definisco “Potenziale rispetto all’infinito di 2) Anello sottile di raggio a e di carica unif. q un punto distante r” : qq∞ qP ⇒ =∫= = ⋅ = 0U ( r )E sV V ( r ) d πεπεr 4 r 4 rrE 00

Potenziale di un dipolo elettrico

x P 1 1q = − +q r1 ( )V Pq x πε=  4 r rE( ) ux 0 1 2πε + x2 2 3 / 24 ( )a x r2+ - -q

dove: r = d(P, q); r = d(P, q)0 1 2

3) Piani paralleli, indefiniti, uniformemente carichi con densità superficiale uno +σ l’altro

Teorema di Stokes in un campo elettrico Ñ-σ posti risp. a distanza dall’origine x e x ∫ ∫ ∫⋅ = ⋅ Σ = ∇ × ⋅ Σ1 2 d rot d dE s E n E n

tali che x <x . Σ Σ1 2

All’interno dei 2 piani, ossia per Dato che E è conservativo la E d s 0 ,σ=  ∂ ∂ ∂x <x<x si ha: E u

V V V1 2 = − = − − −ε x  ovvero E grad V , ,∂ ∂ ∂0  x y z• ⇒

All’esterno, x< x opp. X>x E = 0 ∇ × =1 2 Segue pertanto: Å 0 1φ = ( E ) q

Legge di Gauss: x εS interne X X1 2 0 ρ= ∇ ⋅ Ε =

In forma differenziale: div E

Lavoro della forza elettrica. ε= 0F Eq0 P CONDUTTORI. r= ⋅ = ⋅dW F ds q E ds Nei conduttori metallici le cariche sono libere

dove l è una curva 0 1 ++ +∫ ∫ di muoversi e si dispongono all’esterno.

= = ⋅ + dq W dW q E ds + +1 0 All’interno E=0 ql l1 1 ++ + + Il conduttore è tutto allo stesso potenziale la q Il campo elettrico è conservativo, pertanto: superficie esterna è una sup. equipotenziale q q q q1 1 = −0 0 W σπε πεi f, =4 r 4 r Quindi: E u dove u è perpendicolare alla i f0 0 nε n Principio di conservazione dell’energia: 0∆ + ∆ = superficie e diretto all’esterno se la densità è 0 E Ec p positiva, entrante se negativa. 1 1 σ Σ− = − = −2 2 1 dq 1 dmv mv q V q V U U ∫ ∫= = Potenziale: V ( P )0 0 B A A B A B2 2 πε πε Σ4 r 4 rq0 01 1 − = − 2 2 mv mv q E( z z ) q= B A 0 B A

Capacità di un conduttore: C 2 2 V  1 1 q 1 1 − = − 2 2   mv mv q πε 0 B A  2 2 4 r r CONDENSATORI.

Teorema dell’energia cinetica

1• = πε 1 2 Sferico: C 4 − 0 f∫ RR R ∆ = − = ⋅ 2E E E q E d s( ) ( ) 2 1c c f c i 0 πεi

2 d• = 0

Energia Potenziale e LAVORO

Cilindrico: C ln( R / R ) f∫− = − ⋅ 2 1 U U q E d s d è la sovrapposizione dei 2 cilindri concentrici f i

DIFFERENZA DI POTENZIALE

S• = ε Piano: Cf∫ 0− = − ⋅ h, dove V si dice potenziale V V E d sf i i dove h è la distanza tra le 2 armature = elettrico.

In forma locale: dU qdV 2 d

CONDENSATORI IN PARALLELO

• C_eq = C₁ + C₂
• V = V₁ = V₂

CONDENSATORI IN SERIE

• 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂
• V = V₁ + V₂

Potenza: R_eq = R₁ + R₂

Energia Elettrostatica

20 ⋅ ⋅ 1 1 V 1 -8 -3

U = ε

2 2 U CV E She 0 ⋅ ⋅-8 -3

q 2 Rame 1.67 10 6.8 10

⋅ ⋅-8 -3OroDensità di energia elettrostatica 2.35 10 4.0 10

U 1 Alluminio 2.65 10 4.3 10

= = ε 2 u E ⋅ ⋅-8 -3e 0 Tungsteno 5.65 10 4.5 10

Sh 2 ⋅ ⋅-8 -3Zinco 5.92 10 4.2 10

Corrente elettrica

⋅ ⋅-8 -3Nicheldq 6.84 10 6.9 10

Intensità di corrente

⋅ ⋅-8 -3Ferro 9.71 10 6.5 10

dq = i

In condizioni stazionarie

⋅ ⋅-8 -3Platino 10.6 10 3.9 10

q = i

⋅ ⋅-8 -3Stagno 11.0 10 4.7 10

t

⋅ -8Niobio 12.5 10

Si può anche osservare che:

⋅ ⋅-8 -3∫ Piombo 20.7 10 3.4 10

= ⋅i J ds dove J è il campo di flusso della ⋅ -8Mercurios 98.4 10

corrente, s è la superficie della sezione