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Campo magnetico prodotto da una corrente -Solenoide toroidale

× µ

µ -7

ì i ds u =4π10 H/m

Ni

= 0

=

r

0

d B 0

1° legge di Laplace B

π 2 π

4 r 2 R

×

ì i ds u Forza tra 2 conduttori percorsi da corrente

= 0 r

B

Legge di Ampere-Laplace: π 2 -Fili rettilinei paralleli

4 r Correnti equiverse FORZA ATTRATTIVA

Campo magnetico prodotto da una carica in Correnti discordi FORZA REPULSIVA

moto i i

µ 1 2

i i d

= = ⋅ ⋅ = =

J ids n q v 0 1 2

Ricordando che: F i B d

d π

1,2 2 1 2 R

µ × R

q v u

= τ dove d è la lunghezza di un tratto del filo 2

0 r

d B nd

Per un volume elementare: π µ

2

4 r i i

= = 0 1 2

F i B

µ × Per unità di lungh. d=1m:

q v u π

1,2 2 1

= = ε µ × 2 R

0 r

B v E

Per 1 sola carica: π 0 0

2

4 r Legge di Ampere Γchiusa

1

1 Sia dato un filo circondato da una curva

= ×

= ⇒

2 B v E

c

Da cui posto Ñ

∫ ⋅ = ± µ

ε µ 2

c i

B ds 0

0 0 i

8 Γ

dove c è la velocità della luce c=3*10 m/s Il segno è + se il verso su è concorde con il verso di

Circuiti particolari rotazione della vite dx, il cui verso di avvitamento è +i

quello della corrente i. Viceversa sarà negativo.

-Filo rettilineo di lunghezza 2a Γ

Se la curva chiusa non circonda il filo allora:

ì i ì ia Γ

Ñ

= ϑ = ∫

0 0

B cos ⋅ =

B ds 0

π a π +

2 R 2 2

2 R R a ∇ × = µ

B j

In forma locale si scriverà :

dove R è la distanza del punto P dall’asse del filo 0

θ ∇⋅ =

e l’angolo come in figura: j 0

a In caso di correnti stazionarie ∇⋅∇× =

θ B 0

a Mutua induzione

Dati 2 circuiti i cui rispettivi flussi magnetici, dovuti al

2a passaggio di corrente risp. i e i , sono concatenati con i

P 1 2

circuiti reciproci:

Φ = M i coeff. di mutua

= =

12 12 1 M M M

Φ = induttanza

12 21

M i

21 21 2

-Filo rettilineo infinito (legge di Biot-Savart) M dipende da fattori geometrici e dalle proprietà

ì i

=

θ ⇒ magnetiche del mezzo

0

B u

cos =1 φ

a π

2 R Autoinduzione

In tal caso i circuiti sono coincidenti: 1≡2

-Spira circolare Φ = Mi dove M è il coeff di autoinduzione.

2 2

ì iR ì iR ì m

= = =

0 0 0

B ( x ) u u

( ) Equazioni di Maxwell per i campi elettrici

π

n n

3/2 3 3

+ 2 r 2 r

2 2

x R

2 e magnetici costanti

ρ

= Σ = π = +

2 2 2 2

m i u i R u r x R

dove: ed ∇ ⋅ = ∇ × =

E E 0

(1) (2)

n n ε

µ 0

i

= = 0 ∇ × = µ

∇ ⋅ =

B (0) B u B j

B 0

(3) (4)

max n

2 R 0

x P Forza elettromotrice del generatore G

R B ε = = +

r R i ( R r )

i

t

dove r è la resistenza interna del generatore

− = = ε −

-Solenoide V V Ri ri

A B

Detto: N = numero tot. di spire dove A e B sono i poli + e – del generatore G

n = N/d densità lineare delle spire ⇒ − = ε

A circuito aperto i = 0 V V

A B

d ≠ ⇒

= µ − = ε −

A circuito chiuso i 0 V V ri

B ni A B

0 0 +

2 2 ε

d 4 r

r B Quindi è la d.d.p. misurata ai capi del generatore a

= µ

⇒ circuito aperto.

B ni

se d >> r 0 0

B al centro del solenoide

0 5

d ∂

B

Legge di Faraday ∇ × =

=

Se B=cost. allora e quindi ossia E è

E 0

0

Φ ∂

t

( B )

Se varia il concatenato con un circuito, compare un campo conservativo ω

nel circuito una f.e.m. indotta Generatore di corrente G

Φ

d ( B )

ε = − ∫

Φ = ⋅ Σ = Σ θ = Σ ω

( B ) B u d B cos B cos t

i dt n

Σ v×B

Φ

Se R è la resistenza del circuito: B

( )

d B

ε = − = ω Σ ω v

ε Φ B sin t v

1 d ( B ) B

i

= =−

i dt θ

i R R dt ε = ω Σ u

v×B

B n

da cui MAX

A circuito aperto (R=∞) e quindi se mediante uno L’intensità sarà :

strumento viene misurato il voltaggio ossia B

ε ω Σ ω

Φ B sin t

d ( B ) = =

= ε = − come nel caso del generatore G i

V i

i dt R R

Φ

Ñ B

d ( ) d

∫ ∫ ε

ε = ⋅ = − =− ⋅ 2

E d l B d S = ε = =

2 i

P i Ri

i i La potenza elettrica indotta

dt dt

i S i R

ε

il segno meno è indice del fatto che si oppone alla La potenza meccanica

variazione di flusso. ε 2

Φ ( )

d B ⇒ = ω = θ ω = ω Σ ω =

Φ

> cioè aumenta (avvicinando il

Se i

( B

) P M ( mB sin ) i B sin t

0

dt R

ε , e quindi una

magnete), per cui si origina una Autoinduzione

i Φ

corrente autoindotta di verso tale da generare un flusso Quando varia i in un circuito, varia il concatenato e

( B

)

Φ

secondario, che si oppone all’aumento del flusso ( B

) ε

quindi compare una f.e.m autoindotta:

L

∂Φ

Questa è la legge di Lenz. ( B ) d

ε = − = −

Φ ( Li )

( )

d B :

Distinguiamo i casi per cui ∂

≠ L

0 t dt

dt dove: L = coeff. di autoinduzione o induttanza

1) Il conduttore si muove in una regione dove B N.B.: L si misura in Henry [H]. In genere L=cost.

è costante; di ε ε

ε = − ; tale si oppone alla f.e.m del generatore.

2) B non è costante nel tempo anche se il L L

L dt

conduttore è fermo; Circuiti RL. In tali circuiti sono presenti un resistore R

3) Una qualsiasi combinazione dei 2 casi e un’induttanza complessiva L. Supponiamo che si

precedenti. chiuda tale circuito, per la legge di Ohm avremo:

1) Moto di una spira in B = costante. di

ε + ε = ⇒ ε = + ⇒ ε = +

Sugli elettroni di conduzione della spira agisce la forza Ri L Ri dt Ldi Ridt

L dt

di Lorentz, per cui il campo elettromotore indotto: ε − =

( )

Ri dt Ldi che separando le variabili e integrando

F

= = ×

E v B  

 

− ε ε

i R t

e t

= − = − τ

   

L

i 1 e 1 e

Si può mostrare che:    

R R

Φ

Ñ Ñ d ( B

)

∫ ∫

ε = ⋅ = × ⋅ = − L

E d l v B d l τ =

i i dove : = costante di tempo del circuito RL

dt

i R

Se B è uniforme, oltre che costante nel tempo, il flusso t ε ε

ε = di t

concatenato è costante e . −

0 ε = − = − ε τ

Pertanto: dove = = − τ

L e L

i e

i L L

dt R R

2) B variabile nel tempo. Se il circuito è aperto:

Ad originare il campo elettromotore non può essere la ε t t

− − τ =

forza di Lorentz (v=0). Dovrà esserci una forza F = = ' L / R '

τ τ dove

' '

i (

t ) e i e

indotta che muove gli elettroni di conduzione e genera 0

R

la corrente indotta. La forza che agisce su una carica –e R’ = resistenza del mezzo (es.: aria): R’ >> R

( )

= − + × ε    

F e E v B t t

− −

di 1 R '

( )

ε = − = − τ − = ε

τ τ

   

' '

(

t ) L R ' ' e e

τ

L

quindi B variabile da luogo ad E indotto, e poiché    

dt R ' R

Ñ B

∫ ∫

ε = ⋅ = − ⋅ R ' ⇒ ⇒

E d l d S ε = ε >> ε

Se t=0 allora d.d.p. elevata

(0)

i i t

i S L R

per il teorema di Stokes ε

Scintilla nell’interruttore. Pertanto la corrente è

=

Ñ L

i

∫ ∫

⋅ = ∇× ⋅ L

E d l E n dS R '

S detta extracorrente di apertura.

B

∇ × = −

E

da cui segue: ∂

t 6

Considerazioni ENERGETICHE nei circuiti RL Corrente di spostamento:

di di Legge di Ampere-Maxwell.

ε = + = ε = +

2

Poiché , Potenza

Ri L P i Ri Li

dt dt

ε = + ∇ × = µ = µ +

2

Lavoro prodotto idt Ri dt Li di B j ( j j )

In forma locale: 0 tot 0 s

ε = ε

Possiamo osservare che è il lavoro

idt dq ∂

E

= ε =

dove j densità di corrente di spostamento

2

compiuto dal generatore; il termine rappresenta il

Ri dt ∂

s 0 t

lavoro speso per far circolare la corrente (effetto Joule), In forma integrale:

mentre il lavoro speso contro la f.e.m. di

Li di ∂

 

Ñ E

∫ ∫ ∫

⋅ = µ ⋅ = µ + ε ⋅ =

ε = − per far aumentare la

autoinduzione  

B d

l j d S j d

S

Ldi / dt ∂

0 tot 0 0

L  

t

S S

corrente da i a i+di. Quando la corrente ha raggiunto il = µ + = µ

( )

i i i

valore di regime, il generatore continua a fornire la 0 s 0 tot ∂

φ

ε = 2

potenza necessaria per mantenere una ( E

)

E

i Ri ∫ ∫

= ⋅ = ε ⋅ = ε

∞ ∞ dove S

i j d

S d S

∂ ∂

0 0

s s t t

corrente costante in un circuito resistivo (con resistenza S S

Concludendo un campo magnetico variabile nel tempo

R). Nell’intervallo di tempo in cui la corrente passa da produce una variazione del campo magnetico e

0 al valore i, il generatore oltre a spendere il lavoro per

ε viceversa:

l’effetto Joule deve spendere contro :

L ∂ ∂

i

∫ B E

= = 2

12 → →

W Lidi Li Å B

L 0 ∂ ∂

t t

che dipende solo dagli stati iniziale e finale. Possiamo legge di Faraday legge di Ampere-Maxwell

= 2

12

definire l’energia intrinseca della corrente U Li

L

la cui variazione dà il lavoro fatto dal generatore contro Equazioni di Maxwell per i campi elettrici

la f.e.m. di autoinduzione. Quando si apre il circuito sul e magnetici variabili

resistore viene speso il lavoro: ρ ∂

ε ε

2 2 B

∞ ∞ 1 1 ∇ ⋅ =

∫ ∫ ∇ × = −

= = = =

2 2 R ' t / L 2 E

(1) E

W Ri dt R ' e dt L Li (2)

∞ ε ∂

R 2 2

R 2 R 2

0 0 t

0

Possiamo concludere che l’energia immagazzinata ∂

Å

∇ × = µ + µ ε

∇ ⋅ =

nell’induttanza W viene restituita attraverso R quando B j

B 0 (4)

(3)

L ∂

0 0 0 t

si riapre il circuito.

Energia magnetica per un solenoide

= Ai campi E e B è associata la densità di energia

2

12 3

u L i [J/m ] 3

L elettromagnetica (J/m )

µ 2 = ε +

L n Sd 2 2

1 1

= = u E B

dove L’=induttanza x unità di volume 0

'

L µ

0

2 2 0

V V ρ = =

0 j 0

In assenza di carica le eq. diventano:

S = sezione del solenoide ∂

d = lunghezza del solenoide B

∇ × = −

∇ ⋅ = E

E 0 (2)

(1)

n = n° di spire x unità di volume ∂

t

2

B ∂

= µ = µ =

2 2 2 2 2 0

1 1 Å

u n i ni ∇ × = µ ε

∇ ⋅ =

µ µ

L 0 0 B

2 2 B 0 (4)

(3)

2

0 ∂

0 0

0 t

= µ

B ni al centro del solenoide

poiché 0 0 ε = ε ω

Circuiti a corrente alternata ( t ) cos t

2

B

∫ 0

= τ

0

U d 1. Resistore R

µ

L τ 2 ε

0 = ω = ω

0

Mutua induzione i (

t ) cos t i cos t

0

R

Nel caso di circuiti concatenati abbiamo definito

φ φ = = ω = ω

V (

t ) Ri ( t ) Ri cos t V cos t

= =

12 21 R 0 0 R

M come coeff. di mutua induzione.

i i La corrente e la f.e.m sono in fase

1 2

ε 2. Induttore L

La indotta nel circuito 1 dovuta alla variazione di i e

1i 2

φ di

alla conseguente variazione del flusso concatenato ε = + ⇒

Ri L

Vale la relazione e poiché R=0

21

φ dt

d di

ε = − = −

21 2

M

col circuito 1 è . = ω

i (

t ) i cos t ,

1i dt dt 0 ( )

= = −

ω ω = ω ω + π

Anche se nel circuito 1 non c’è una f.e.m. propria, di

V (

t ) L Li sin t Li cos t 2

L 0 0

dt

compare una i , dovuta alla corrente i che varia nel

1 2 La corrente è in ritardo sulla f.e.m diπ/2

circuito 2 tramite il termine di accoppiamento M. ω

Reattanza dell’induttore = L

7 ε ≠

3. Condensatore 0

Se invece la soluzione generale della (2) sarà

0

= ε ⇒ = ε ω R

{ }

C q / ( t ) q ( t ) C cos t = + + ∈

IG c y ( t ) c y (

t ) y (

t ) / c , c

0 2 1 1 2 2 1 2

dq t

( ) ( ) R

= = ω ε ω + π λ ≠ ± ω ⇒ γ ≠ ⇒ = ω ∈

i (

t ) C cos t / 2 se i 0 y ( x ) c cos t : c

0 3 3

dt R

λ = ± ω ⇒ γ = ⇒ = + ω ∈

se i 0 y ( x ) ( c t c ) cos t : c , c

la corrente è in anticipo sulla f.e.m. 3 4 3 4

= ω

i (

t ) i cos t

SE 0 Potenza nei circuiti RLC serie

i ( )

= ω − π

0

V t t

( ) cos / 2 V i

= =

ω

C 0 0

V i

Detti e si definisce

C eff eff

2 2

ω

Reattanza del condensatore = 1/ω

C 1

L = φ = φ

P V i V i

cos cos

Potenza media

R eff eff 0 0

Circuito RLC serie 2

φ

L+C

= ω

i (

t ) i cos t cosφ è detto fattore di potenza

V

0 0

( )

= ω + φ 2

 

V ( t ) V cos t 1 1

C φ = ⇒ ω − = ⇒ ω =

0 2

 

cos 1 L 0

Se ω

 

( ) ( ) C LC

= + − = + ω − ω

2 2

2 2

V V V V R L 1 C i

0 0 R 0 L 0 C 0 Questo condizione si verifica solo in circuiti

=

V z i dove z è l'impedenza della serie prevalentemente resistivi o in condizione di

0 0 0 0 risonanza. In tal caso il carico resistivo:

1

ω L = =

ω 1

V R P i V i V

C

φ = φ = =

0 R eff eff 0 0

2

tan cos

e

R V z Onde piane

0 0 = − ω

ω = πν E ( x , t ) E sin( kx t )

2

Si ricorda che E e B sono in fase e

m ω

= −

1

R perpendicolari tra loro

B ( x , t ) B sin( kx t )

γ = ω = m

Definendo: , 0 B

2 L LC

Per tali circuiti vale l’equazione differenziale: E

d

2 elevata

d q dq q

ε ω = + +

cos t L R (2)

0 2

dt dt C DETTI:

ε = 0

che nel caso in cui è assente la f.e.m. ( ) ω = πν =

0 2 pulsazione o frequenza angolare

2

d q dq q π

(1) a cui è associata l’equazione

+ + = 2

L R 0 = = n° d’onda

2 k

dt dt C λ

λ + λ + =

2

L R 1/ C 0

caratteristica le cui ω =

soluzioni sono: velocità della luce

c

k

2

R 1 R

λ =− ± − = −

γ ± γ − ω

2 2

i i ω 1

E

0 = = ⋅

= =

risulta e inoltre

2 L LC 4 L 8

m c 3 10 m / s

c

{ }

R µ ε

− λ − λ

λ ≠ λ ⇒ = + ∈ B k

t t

IG Ae Be / A

, B

se 1 2 m 0 0

1 2 1 { } Vettore di Poynting

R

− λ

λ = λ ⇒ = + ∈

t

IG ( A Bt )

e / A

, B

se 1 1 1

1 2 1 = × = 2

in modulo [W/m ]

S E B S EB

PERTANTO: µ µ

0 0

a) Smorzamento forte = = µ ε

γ > ω ⇒ > poiché B E / c E risulta…

2 2 2

R 4 L / C 0 0

0 1 c

γ − ω − γ − ω

2 2 2 2

− γ

= +

t t = =

t 2 2

i (

t ) e ( Ae Be )

0 0 S E B

µ µ

c

b) Smorzamento critico 0 0

− γ

= +

γ = ω ⇒ = la densità di energia elettrica e magnetica:

t

2 2 2 i (

t ) e ( A Bt )

R 4 L / C

0 = ε = = +

2 2

1 1

u E u B u u u

c) Smorzamento debole µ

E B tot B E

0

2 2 0

γ < ω ⇒ <

2 2 2

R 4 L / C 1 1

= = = =

2 2

0 I S E E

µ µ

medio m

c 2 c

ω = ω − γ

− γ

= ω + φ L’intensità:

2 2

t 0 0

i (

t ) De sin( t ) , 0 1 1

= =

E B E B

2 L / C µ µ

Resistenza critica Rc = m m eff eff

2 0 0

8


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flaviael

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni
SSD:
Università: Parma - Unipr
A.A.: 2010-2011

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica generale II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Parma - Unipr o del prof Riccò Mauro.

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