Fisica II - Elettromagnetismo

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R 2 Q R R∫ 1 2ΔV = − ⋅ =E d r 4πϵ −R R0 2 1R 1 4πϵQ R R0 1 2= =C ΔV −R R2 1

Condensatori in Parallelo n∑= + + ⋯ + =C C C C C1 2eq n ii=1

Condensatori in Serie n1 1 1 1 1∑= + + ⋯+ =C C C C C1 2eq n ii=1

Energia Immagazzinata nel Condensatore

L’energia immagazzinata nel condensatore è un energia potenziale che possiamo ricavare come segue:qΔV = dove è la carica che sta immagazzinando il condensatore nel momento in cui si carica, quindi variaqC0tra e .Q= −ΔUWFisica II 7q= =dW dqΔV dqC 2Q q Q∫= =W dq 2CC0 21 1 1Q 2= = =oppure oppureU U QΔV U CΔV2 2 2CDensità di Energia ElettrostaticaLa densità di energia elettrostatica è l’energia immagazzinata in un campo elettrico per unità di volume.Nel caso di un condensatore piano 22 ( )1 1 ΔV 1U CΔV 2= = = =u ϵ ϵ E0 02 2 2Ad Ad d 1 2=Questa relazione è valida in generale: u ϵ

corrente j che ha la stessa direzione ma verso opposto al campo elettrico. Ogni elettrone viene spinto con una forza di E-eE che non produce una accelerazione netta poiché gli elettroni collidono con il reticolo del materiale conduttore e il loro moto è molto caotico, ma macroscopicamente si spostano tutti nella direzione del campo elettrico con una velocità media che viene chiamata velocità di deriva vd. Il numero di elettroni in un conduttore lungo con sezione A è nAL, dove n è il numero di elettroni per unità di volume. Quindi la carica elettrica sarà q=nALe. Il tempo di attraversamento sarà t=L/vd. Quindi la corrente i=q/t sarà i=nAevd.

Quindi → in forma vettoriale: j=nev. Dove n è la densità di carica.

Resistenza R. Empiricamente si è scoperto che il rapporto V/i è costante nei conduttori e l'abbiamo chiamato resistenza R.

Resistenza.RI[Ω]Si misura in OHM .Prima Legge di OhmΔV ΔV= ΔV = =opp. opp.R RI II RMicroscopicamente possiamo misurare la resistenza attraverso la resistività ρE= =→ρ E ρjjla resistività dipende solo dal materiale. Indica la difficoltà che hanno i portatori di carica nel muoversi.1=è la conducibilità elettrica e si calcola come e indica la facilità che hanno i portatori di carica nelσ σ ρ=muoversi. j σE/LE V A= = =ρ Rj i/A LSeconda Legge di OhmL=R ρ AResistori in Serie: n∑= + + ⋯ + =R R R R R1 2eq n ii=1Resistori in Parallelo: n1 1 1 1 1∑= + + ⋯+ =R R R R R1 2eq n ii=1PotenzaDato un circuito con un generatore di tensione e un elemento passivo, vogliamo calcolare l’energia checonsumerà l’elemento passivo.=dL dqΔVAllora definiamo la potenza come il rapporto del lavoro nell’unità di tempo come:dL dq= = ΔV =P iΔVdt

cui è costituito il nodo.

Seconda Legge di Kirchhoff

Detta anche legge delle maglie o LKT, dice che la somma delle tensioni in una maglia è zero.

∑ ΔV = 0

i=0

dove è il numero di elementi presenti nella maglia.

Circuiti RC

Carica di un Condensatore

Abbiamo un generatore con forza elettromotrice , un condensatore con capacità e una resistenzaE Cequivalente . Non appena viene chiuso il circuito, in esso scorre della corrente che diminuisce mentre ilR I0=condensatore si carica fino a contenere una carica e una tensione . Vogliamo sapere in che modo laEQ V0 0corrente diminuisce e come la tensione e la carica aumenta.

Applichiamo la LKT:

Fisica II 10q(t)= + = +E V V iRR C Cdq=Sapendo che sostituisco e ottengo:

i dt dq q(t)= -ER dt C

Questa è una equazione differenziale di primo grado lineare non omogenea che posso risolvere con gli integrali:

dq dt= --q(t) CE RC

q(t) tdq dt∫ ∫= --q CE RC0 0∣ ∣-q(t) CE tln =

Adesso calcoliamo la tensione del condensatore:

Chiamo la corrente che scorrerebbe nel circuito senza il condensatore e calcoliamo la corrente come segue: I₀

Scarica di un CondensatoreFisica II 11

Abbiamo un circuito RC senza generatore in cui il condensatore è carico con una tensione e una carica .V Q₀ 0

Nel momento in cui chiudiamo l'interruttore, il condensatore si scarica facendo circolare corrente nel circuito.

Vogliamo definire il modo in cui la carica e la tensione del condensatore si esaurisce e come la corrente scorre nel circuito.

Applichiamo la LKT nel nostro circuito: V = VR + C¹dq/dt

Questa è una equazione differenziale di primo grado lineare omogenea che posso risolvere con gli integrali: dq/dt = -q(t)/(RC)

∫dq/∫dt = -∫q(t)/(RC)

Q = -Q/(RC) ∣ ∣q(t) tln = -Q/(RC) ∣ ∣

Chiamo il tempo caratteristico di questo circuito RC. Adesso calcoliamo la

tensione: τ RC ⁍E possiamo calcolare anche la corrente: dq Q V0 0− −t t= = = −i(t) e eRC RCdt RC RV0= Chiamo la corrente massima che scorreva nel circuito con il generatore, allora si ha I0 R ⁍ il segno meno giustifica il fatto che la corrente scorre nel verso opposto a quella del generatore.

Fisica II 12 Circuitazione ∫Γ ⋅ La circuitazione di un campo vettoriale di indica con la lettera e si calcola lungo una linea come V l V dlV l. E’ molto più utile la circuitazione lungo una linea chiusa e si calcola come: γ⁍ La circuitazione ci dice se nel campo vettoriale ci sono dei “vortici”. Γ = 0 Nel campo elettrostatico e nel campo gravitazionale la e possiamo concludere che sono campi Γ = 0 conservativi. Mentre nel campo magnetico la e quindi non è un campo conservativo.  Il campo elettrico indotto non è conservativo infatti il circuito compie un lavoro per spostare le cariche lungo tutto il ∫ ∫=

• ⋅ = ⋅circuito che costituisce un percorso chiuso, , la sua circuitazione non è nulla ma èL F d l q E dluguale alla forza elettromotrice indotta:L ∮= Γ = ⋅ =infatti per definizione la f.e.m. è , quindi si ha cheE EE d lEq γMagnetismoCampo MagneticoIl campo magnetico è un campo vettoriale solenoidale generato nello spazio da sorgenti, che possono esseremagneti o cariche elettriche in movimento. [T ]Il campo magnetico si indica con e si misura in tesla .BIl campo elettrico e il campo magnetico sono due manifestazioni della stessa entità fisica, detta campoelettromagnetico.
• Le linee di campo magnetico, a differenza di quelle del campo elettrico, sono linee chiuse. Ad esempio unmagnete genera un campo magnetico che ha le linee uscenti dal polo nord ed entranti dal polo sud.Il campo magnetico agisce con una forza attrattiva o repulsiva sia con materiali ferromagnetici sia con caricheelettriche in modo, la spiegazione

microscopica è data fenomeni quantistici, da approfondire altrove. Fisica II 13

Forza di Lorentz

La forza di Lorentz, trovata sperimentalmente dal fisico olandese Hendrik Lorentz, è la forza che agisce in un oggetto elettricamente carico per effetto di un campo elettromagnetico.

F = q(E + v x B)

Quindi il modulo è calcolato come: