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Oscillatore Armonico
Sul blocco agisce una forza F = -k x: questa è una forza elastica -k x = M a da cui: d2x/dt2 = -k x / m che può essere scritto come d2x/dt2 + (k/m)x =0 oppure d2x/dt2=-k x / m(1.1) che è l'equazione differenziale del secondo ordine , lineare, omogenea e a coefficienti costanti.
La soluzione sarà del tipo x(t)=A eαt dx/dt=Aαeαt d2x/dt2=Aα2eαt Sostituendo nella d2eαt=-k dx α1/m
α2-k/m=α 2=±√-k/m => α=±i√k/m α1=i√k/m=ω α2 -i√k/m=-ω2 Quindi la soluzione sarà x(t=Aα2t)eα1t dove AeB sono i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali V=dx/dt=Aα1e2t Bα2e2t e la velocità
caso 1
Supponendo che a t = 0
- x(0) = x0 = 0
- V(0) = V0
Sostituendo nelle soluzioni ottenute precedentemente:
- A + B = 0
- A = B
- A + B = V0 / iω0
- V0 = 2A iω0
- B - B = V0 / 2iω0
Sostituendo nella soluzione e facendo tutti i passaggi si ottiene:
x(t) = 1/a (-e-iω0t + eiω0t) / 2iω0
x(t) = V0 sen(ω0t) / ω0
Derivando: dx/dt = V0 / ω0 cos(ω0t) = V(t)
CASO 2
Supponendo che a t = 0:
- x(0) = x0
- V(0) = 0
Sostituendo:
- A + B = x0
- Ad2 + Bd2 = 0
- A + B = x0
- iω(A - B) = 0
- A + B = x0
- A - B = 0
- A = B
- A = x0 / 2
CASO 1
Supponendo X(0) = 0 e sostituendo :
X(t) = V0A + B = 0
A = - B
V0 = 2A1 + B22
V0 = A(2d1 - 2d2)B = V0 / Δ
A = V0 / Δ
Sostituendo nelle soluzioni iniziali si ha :
X(t) = V0/Δ e2d1t - V0/Δ e2d2t
X(t) = V0 2d1/Δ e2d1t - 2V0 U 3/Δ e2d2t
CASO 2
Supponendo X(0)=x 0esostituendo X'(0)=0
A + B=x0
B = x0 - A
2d1 + B2=0
A = - (x0-A) B = x0 - x0 22
-sup AX(t) = x0/2√Δ e2d1t + x0 2√Δ - x0z2
x0/e22/sub(cos ωt cos φ - sen ωt sen φ)(k - mcω2) - bω (sen ωt cos φ + cos ωt sen φ) =
= cos ωt ((k - mcω2) cos φ - bω sen φ ) + sen ωt ((k - mcω2 - sen φ ) + - bmω cos φ ) ( * )
(mω2 x k) sen φ + bω cos φ. =0. ↠
dividiamo per cos φ e troviamo:
(mω2 - k) sen φ - bω = 0
tg φ = - bω = -bω
mω2 k. - mω2 + k - mω2 k
cos φ = 1. = 1. = = -mω2 + k =
√1 + tg2 φ = √1 = (- bω. )2 √(mω2 - k )2 bω2
m(ω2 = k)
= paricho, k. m - ω 2
- √m, (ω 2 - k, )2 + b2ω2
cos φ, = m(ω2 - ω2)
√m2(ω2 - ω2)2 + b2ω2
C e φ sono funzioni di ω, quindi la soluzione finale sarà:
x(t) = A ea+t + B e2t + c(kω) cos (ωt + φ(ω))
Ω = Fo , cos » = Foc. cos m
ω2)
mk m (mω2) - ω 2 m (ω2 - ω2) )
Buco rettangolare di profondità infinita
V(x)
- 0 se 0 < x < a
- ∞ altrimenti
Al di fuori della buca ψ(x) = 0, la probabilità di trovare la particella è zero. All'interno della buca l'equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo è:
−ħ2 d2ψ − Eψ
3m_ dx2
d2ψ
− E 2mψ
d x2
posto
mE = k2 con E≥0
3 ħ2 ħ2
si ha d2ψ − k2ψ = 0 che sieduixone dell'oscillatore armonico semplice
La sua soluzione è del tipo: ψ(x) = A sen(k x) + B cos(k x) Pa determinare A e B si impongono le condizioni al contorno:
ψ(0) = b (0) = 0 Eola qui questo stifituendo nelle solutionsi:
- ψ(0) = A sen(0) + B ces(0) = 0
- E B che adora ψ(x) = A sen(k x)
- ψ(a) = A sen(k a) = 0 quindi: A = 0 oppure sen( k a) =0 A = 0 e soluzione banale non normalizzabile
Riflessione e Rifrazione
raggio incidente
raggio riflesso
angolo d'incidenza
angolo di riflessione
angolo di rifrazione
raggio rifratto
θ2 < θ1
Legge di Riflessione
θ1 = θrif
Legge di Snell (Rifrazione)
M1 sinθ1 = M2 sinθ2
dove M è l'indice di rifrazione,
C = 1/√μ0Ɛ0 = V
V = 1/√μƐ
V(μ0/μr)(Ɛ0/Ɛr)
poiché M = C/V = C/(C/√Ɛr) = √Ɛr ≈ 1
Dalla legge di snell: sinθ1/sinθ2 = M2/M1
Se M1 > M2 sinθ2 > sinθ1 ⇒ θ2 > θ1
Se M1 < M2 sinθ2 < sinθ1 ⇒ θ2 < θ1
Dimostrazione della legge di Snell
λ1 = V1 Δt ⇒ Δt = λ1/V1
λ2 = V2 Δt ⇒ Δt = λ2/V2
eguagliando Δt:
λ1/V1 = λ2/V2 ⇒ λ1/λ2 = V1/V2
λ1 = c/M1 = M2/M1
λ2 = c/M2
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