Fisica II - dimostrazioni

Oscillatore armonico

Sul blocco agisce una forza F = M·a questa è una forza elastica -k·x = M·a da cui: a = -^{kx/_m che può essere scritto come d2x/dt2 = -_kx/_m oppure d2x/dt2 = kx/_m (1.1) che è l’equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti.}

Le soluzioni sono del tipo x(t) = A e^ω₁t dx/dt = Aω e^ω₁t dx/dt² = Aω² e^ω₁t. Sostituiamo nella (1.1) Aω² e^ω₁t = -k A e^ω₁t/_m ω² = -_k /_m = -γ ω = ±i √-_k/m = γ = ±i i√ _k/m ω₁ = i √ _k/m = i ω₀ ω₂ = -i √ _k/m = -i ω₀. Quindi la soluzione sarà x(t) = A e^ω₁t + B e^ω₂t dove A e B sono i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali.

V = dx/dt = A ω₁ e^ω₁t + B ω₂ e^ω₂t è la velocità.

Oscillatore armonico

Sul blocco agisce una forza F = M · a questa è una forza elastica: -K · x = M · a da cui: a = -^k/_m x che può essere scritto come ^dv/_dt = -^K/_m x oppure ^{d2 x}/_dt² = ^K/_m x (1.1) che è l'equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti.

Le soluzioni sono del tipo x(t) = Ae^{αt dx}/_dt = Aα e^{αt d2 x}/_dt² = Aα² e^αt. Sostituendo nella (1.1) Aα² e^αt = -^K/_m Ae^αt α² = -^K/_m = -γ α = ±√-(k/m) = ±i √^k/_m α₁ = i √^k/_m = iω₀ α₂ = -i √^k/_m = -iω₀. Quindi la soluzione sarà x(t) = Ae^α₁t + Be^α₂t dove A e B sono i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali.

V = ^dx/_dt = Aα₁ e^α₁t + Bα₂ e^α₂t è la velocità.

Caso 1

Supponendo che a t=0 x(0) = x_o - 0 V(0) = V_o. Sostituendo nelle soluzioni ottenute precedentemente: A + B = 0 Ad + Bω₀ = V_o A = -B V_o = 2 A iω_o iω_o A = V_o V_o = 2 A iω_o.

Sostituendo nella soluzione e facendo tutti i passaggi si ottiene: x(t) = _Vo/^ω_o (-e^-iω_ot + e^iω_ot) si può scrivere: x(t) = _Vo/^ω_o sen(ω_ot) derivando: dx/dt = _Vo/^ω_o cosω_ot = V(t).

Caso 2

Supponendo che a t=0 x(0) = x_o V(0) = 0. Sostituendo A + B = x_o Ad₂ + Bω_o2 = 0 A + B = x_o iω_o(A - B) = 0 A + B = x_o A - B = 0 A = B A = _xo/².

Sostituiamo nelle soluzioni iniziali: x(t) = x₀ cos ω₀t + x₀ e^-ω₀t = x₀ cos(ω₀t) dx(t)/dt = -x₀ω₀ sen(ω₀t).

Oscillazioni in un circuito LC

Applicando Kirchoff si ha: -L di/dt - q/C = 0 poiché i = dq/dt quindi: -L d²q/dt² = q/C ⇒ d²q/dt² = -1/LC q (1.2) equazione differenziale del secondo ordine che ha soluzioni del tipo q(t) = A e^-t.

Derivando: dq/dt = Aω₀ e^-t d²q/dt² = A²ω₀e^-t sostituendo nella (1.2) si ha: A²e^x = -1/LC A e^x z² = -1/LC = r + i/1/LC = r + iω da cui q(t) = A e^iω₀t + B e^-iω₀t derivando troviamo i'(t) = A iω₀ e ^iω₀t - B iω₀ e ^-iω₀t.

Caso 1

Supponiamo che a t=0 q(0) = q₀ = 0