Fisica II - dimostrazioni

Oscillatore Armonico

Sul blocco agisce una forza F = M·a

questa è una forza elastica -k·x = M·a da cui:

a = -_kx/_m che può essere scritto come

d²x/dt² = -_k x/_m

oppure d²x/dt² = ^kx/_m (1.1)

che è l’equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti

Le soluzioni sono del tipo x(t) = A e^ω₁t

dx/dt = A ω e^ω₁t

dx/dt² = A ω² e^ω₁t

sostituiamo nella (1.1) A ω² e^ω₁t = -k A e^ω₁t/_m

ω² = -_k /_m = -γ

ω = ±i √-_k/m = γ = ±i i√ _k/m

ω₁ = i √ _k/m = i ω₀

ω₂ = -i √ _k/m = -i ω₀

Quindi la soluzione sarà x(t) = A e^ω₁t + B e^ω₂t dove A e B sono i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali.

V = dx/dt = A ω₁ e^ω₁t + B ω₂ e^ω₂t è la velocità

OSCILLATORE ARMONICO

Sul blocco agisce una forza F = M • aquesta è una forza elastica: -K • x = M • a da cui:a = -^k/_m x che può essere scritto come

^dv/_dt = -^K/_m x oppure ^{d2 x}/_dt² = ^K/_m x (1.1)

che è l'equazione differenziale del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti.

Le soluzioni sono del tipo x(t) = Ae^αtdx/_dt = Aαe^{αt d2 x}/_dt² = Aα²e^αt

Sostituendo nella (1.1) Aα²e^αt = -^K/_m Ae^αt

α² = -^K/_m = -γ α = ±√-(k/m) = ±i √^k/_mα₁= i √^k/_m = iω₀ α₂ = -i √^k/_m = -iω₀

Quindi la soluzione sarà x(t) = Ae^α₁t + Be^α₂t doveA e B sono i coefficienti che dipendono dalle condizioni iniziali.

V = ^dx/_dt = Aα₁ e^α₁t + Bα₂ e^α₂t è la velocità

caso 1

Supponendo che a t=0

x(0) = x_o - 0

V(0) = V_o

Sostituendo nelle soluzioni ottenute precedentemente:

• A + B = 0
• Ad + Bω₀ = V_o

• A = -B
• V_o = 2 A iω_o

iω_o A = V_o

V_o = 2 A iω_o

Sostituendo nella soluzione e facendo tutti i passaggi si ottiene:

x(t) = _Vo/^ω_o (-e^-iω_ot + e^iω_ot)

si può scrivere: x(t) = _Vo/^ω_o sen(ω_ot)

derivando: dx/dt = _Vo/^ω_o cosω_ot = V(t)

CASO 2

Supponendo che a t=0

• x(0) = x_o
• V(0) = 0

Sostituendo

• A + B = x_o
• Ad₂ + Bω_o2 = 0

• A + B = x_o
• iω_o(A - B) = 0

• A + B = x_o
• A - B = 0

• A = B
• A = _xo/²

sostituiamo nelle soluzioni iniziali:

x(t) = x₀ cos ω₀t + x₀ e^-ω₀t = x₀ cos(ω₀t)

dx(t)/dt = -x₀ω₀ sen(ω₀t)

OSCILLAZIONI IN UN CIRCUITO LC

Applicando Kirchoff si ha:

-L di/dt - q/C = 0

poiché i = dq/dt quindi: -L d²q/dt² = q/C ⟹ d²q/dt² = -1/LC q (1.2)

equazione differenziale del secondo ordine che ha soluzioni del tipo q(t) = A e^-t

derivando: dq/dt = Aω₀ e^-t d²q/dt² = A²ω₀e^-t sostituendo nella (1.2) si ha: A²e^x = -1/LC A e^x

z² = -1/LC = r + i/1/LC = r + iω

da cui q(t) = A e^iω₀t + B e^-iω₀t derivando troviamo i'(t) = A iω₀ e ^iω₀t - B iω₀ e ^-iω₀t

CASO 1

Supponiamo che a t=0

q(0) = q₀ = 0