Fisica II - appunti del corso - capitolo 9

136.Lavoro sui conduttori in movimento.

La forza elettromotrice, a dispetto del suo nome, non è una forza, ma dimensionalmente è un

lavoro per unità di carica. Essa è così definita: r r

F

∫

= ⋅

ξ d l

q

L

La legge di Faraday-Neumann (legge sperimentale) afferma che: se un circuito è immerso in un

r

Φ

campo di induzione magnetica il cui flusso (B ) concatenato col circuito stesso sia variabile nel

tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice (detta forza elettromotrice indotta) data da:

r

Φ

d ( B )

ξ = − dt

r

Φ

Precisiamo che (B ) è il flusso attraverso una qualunque superficie S che abbia la linea L di

contorno.

In alcuni casi la legge di Faraday si può dimostrare, in questi casi quindi non è più una legge

fisica (un principio) ma un vero e proprio teorema.

Consideriamo il caso in cui un circuito si muove all’interno di un campo magnetico fermo

(costante nel tempo).

La figura mostra una spira conduttrice chiusa che viene estratta dal campo magnetico (entrante nel

r

foglio) con velocità costante . La carica totale è nulla (il numero di protoni è uguale al numero

v

degli elettroni) e quindi non c’è nessun campo elettrico; tenendo conto della forza di Lorentz

r

r r

r r

= × ) , della definizione di forza elettromotrice e del fatto che e B sono ortogonali, si ha:

( F q v B v

r

r Φ

r dx dA d

∫ ∫

ξ = × ⋅ = = = = = − B

v B d l vB dl vBL LB B

( ) dt dt dt

L L

= è la variazione di area.

dove dA dxL

ξ è un lavoro per unità di carica, la potenza è il lavoro per unità di tempo e quindi

dq

= ξ = ξ =

P i ivBL

elettrica dt

ξ 2 2 2

vBL v B L

= = =

dove F=ilB. Tenendo conto che i (R è la resistenza), si ha: i , quindi P .

R R R

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137.Il campo elettrico non è conservativo.

La forza elettromotrice, a dispetto del suo nome, non è una forza, ma dimensionalmente è un

lavoro per unità di carica. Essa è così definita: r r

F

∫

= ⋅

ξ d l

q

L

La legge di Faraday-Neumann (legge sperimentale) afferma che: se un circuito è immerso in un

r

Φ

campo di induzione magnetica il cui flusso (B ) concatenato col circuito stesso sia variabile nel

tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice (detta forza elettromotrice indotta) data da:

r

Φ

d ( B )

ξ = − (1)

dt

r r r

∫

Φ = ⋅

Precisiamo che B B d S

( ) (2) è il flusso attraverso una qualunque superficie S che abbia la

S

linea L di contorno, orientata in modo da vedere il verso convenzionalmente scelto come positivo

dΦ che compare al secondo membro della

per L girare in senso antiorario. La derivata temporale dt

(1) è la derivata totale rispetto al tempo dell’integrale (2); va osservato che il valore di tale integrale

r

può variare sia perché B varia nel tempo, sia perché varia nel tempo la geometria della linea L

(cioè la geometria del circuito). Tenendo conto della definizione di forza elettromotrice, la (1) dice

r

Φ varia nel tempo si genera un campo elettrico la cui circuitazione è

che quando il flusso (B )

diversa da zero: il campo elettrico, che in condizioni stazionarie è conservativo, non è conservativo

quando ci si trovi in condizioni non stazionarie.

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r .

138.Variazione nel tempo del flusso di B

r

Φ

d ( B )

ξ = − ξ

L’espressione della legge di Faraday è: dove è la forza elettromotrice.

dt r

Consideriamo una superficie S che si muove (con velocità ) in un campo magnetico; sotto la

v

r

condizione che il flusso di B uscente da qualunque superficie chiusa sia nullo, vogliamo far vedere

r r

r

Φ ∂ Φ

r r

d B d

∫ ∫

= ⋅ − × ⋅

B B

d a ( v B ) d l , cioè posso spezzare in due parti: una legata alla

che ∂ dt

dt t

S L

r

t r

variazione di B nel tempo, l’altra dovuta al trascinamento di S con velocità . Dimostriamolo.

v

Tenendo presente la definizione di flusso e quella di derivata (limite del rapporto incrementale), si

r r

r r

∫ ∫

+ ∆ ⋅ − ⋅

B (

t t ) d a B (

t ) d a

r

Φ r

d d ∫

= ⋅ = S S

+ ∆

B B d a lim (1)

ha: t t t

∆

∆ →

dt dt t

t 0

S t δ

Poiché l’unione di S , S e S (i punti percorsi dalla linea di contorno) è una superficie chiusa,

+ ∆

t t t lat

r r r

r r r

∫ ∫ ∫

+ ∆ ⋅ = + ∆ ⋅ − + ∆ ⋅

si ha: B (

t t ) d a B (

t t ) d a B ( t t ) d a (2)

δ

S S S

+ ∆ r

t t t lat

r r r ∂ B

+ ∆ = + ∆

+ ∆ , si ha: B (

t t ) B (

t ) t

Sviluppando in serie al primo ordine B ( t t ) ∂

t r

r r r

∂

r r r

B

∫ ∫ ∫

+ ∆ ⋅ = + ∆ ⋅ − ⋅

Sostituendo questa relazione in (2), risulta: B (

t t ) d a ( B (

t ) t ) d a B ( t ) d a ,

∂

t δ

S S S

+ ∆ r

t t t lat

∂ r

B

∫ ∆ ⋅

dove abbiamo trascurato l’infinitesimo di ordine superiore ( t ) d a .

∂

t

δ

S r

lat

r r

r r r r

∂

r r r r

B

∫ ∫ ∫

δ = × ∆ + ∆ ⋅ = + ∆ ⋅ − ∆ × ⋅

Ancora, poiché S d l v t , si ha: B (

t t ) d a ( B (

t ) t ) d a t ( v B ) d l .

∂

lat t

S S L

+ ∆

t t t

Andando a sostituire in (1), in definitiva risulta:

r r

r

∂ r r

B

∫ ∫

∆ ⋅ − ∆ × ⋅

( t ) d a t ( v B ) d l

∂

Φ t

d = =

S L

B lim t ∆

∆ →

dt t

t 0 r r

r

∂ r r

B

∫ ∫

= ⋅ − ∆ × ⋅

d a t ( v B ) d l

∂

t

S L

t c.v.d.

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139.Legge di Faraday per il campo elettrico.

La forza elettromotrice, a dispetto del suo nome, non è una forza, ma dimensionalmente è un

lavoro per unità di carica. Essa è così definita:

r r

F

∫

= ⋅

ξ (1)

d l

q

L

La legge di Faraday-Neumann (legge sperimentale) afferma che: se un circuito è immerso in un

r

Φ

campo di induzione magnetica il cui flusso (B ) concatenato col circuito stesso sia variabile nel

tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice (detta forza elettromotrice indotta) data da:

r

Φ

d ( B )

ξ = − dt

r

Φ

Precisiamo che (B ) è il flusso attraverso una qualunque superficie S che abbia la linea L di

contorno. r

Se consideriamo una superficie S che si muove (con velocità ) in un campo magnetico; sotto la

v

r

condizione che il flusso di B uscente da qualunque superficie chiusa sia nullo, si fa vedere che

r r

r Φ

Φ ∂ r r d

d B

∫ ∫

⋅ − × ⋅

= B

B ( ) , cioè posso spezzare in due parti: una legata alla variazione di

d a v B d l

∂ dt

dt t

S L

r t r

B nel tempo, l’altra dovuta al trascinamento di S con velocità .

v

r r r r

r

= + ×

Tenendo presente, inoltre, che nella (1) F q E q v B dove q E è la forza dovuta al campo

r

r ×

elettrico e q v B è la forza di Lorentz, si ha:

r r

r r r

r r r

∂

r r r

F B

∫ ∫ ∫ ∫

ξ = ⋅ = + × ⋅ = − ⋅ + × ⋅

d l ( E v B ) d l d a ( v B ) d l

∂

q t

L L S L

t

da cui si deduce che r

r

r ∂ r

B

∫ ∫

ξ = ⋅ = − ⋅

E d l d a

∂

t

L S t

Con riferimento alla figura, considerando la linea chiusa come superficie S , l’area di questa

t

superficie tende a zero perché dn e –dn sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a dl e –dl;

quindi dalla relazione trovata prima si ha: r

r

r ∂ r

B

∫ ∫

⋅ = − = − ⋅ =

E d l E dl E dl d a 0

∂

t 1 t 2 t

l S t

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140.Condizioni di raccordo.

La forza elettromotrice, a dispetto del suo nome, non è una forza, ma dimensionalmente è un

lavoro per unità di carica. Essa è così definita:

r r

F

∫

= ⋅

ξ (1)

d l

q

L

La legge di Faraday-Neumann (legge sperimentale) afferma che: se un circuito è immerso in un

r

Φ

campo di induzione magnetica il cui flusso (B ) concatenato col circuito stesso sia variabile nel

tempo, allora in esso si genera una forza elettromotrice (detta forza elettromotrice indotta) data da:

r

Φ

d ( B )

ξ = − dt

r

Φ

Precisiamo che (B ) è il flusso attraverso una qualunque superficie S che abbia la linea L di

contorno. r

Se consideriamo una superficie S che si muove (con velocità ) in un campo magnetico; sotto la

v

r

condizione che il flusso di B uscente da qualunque superficie chiusa sia nullo, si fa vedere che

r r

r Φ

Φ ∂ r r d

d B

∫ ∫

⋅ − × ⋅

= B

B ( ) , cioè posso spezzare in due parti: una legata alla variazione di

d a v B d l

∂ dt

dt t

S L

r t r

B nel tempo, l’altra dovuta al trascinamento di S con velocità .

v

r r r r

r

= + ×

Tenendo presente, inoltre, che nella (1) F q E q v B dove q E è la forza dovuta al campo

r

r ×

elettrico e q v B è la forza di Lorentz, si ha:

r r

r r r

r r r

∂

r r r

F B

∫ ∫ ∫ ∫

ξ = ⋅ = + × ⋅ = − ⋅ + × ⋅

d l ( E v B ) d l d a ( v B ) d l

∂

q t

L L S L

t

da cui si deduce che r

r

r ∂ r

B

∫ ∫

ξ = ⋅ = − ⋅

E d l d a

∂

t

L S t

Con riferimento alla figura, considerando la linea chiusa come superficie S , l’area di questa

t

superficie tende a zero perché dn e –dn sono infinitesimi di ordine superiore rispetto a dl e –dl;

quindi dalla relazione trovata prima si ha: r

r

r ∂ r

B

∫ ∫

⋅ = − = − ⋅ =

E d l E dl E dl d a 0

∂

t 1 t 2 t

l S t

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141.Autoinduzione.

Consideriamo un qualunque circuito elettrico e sia I(t) la corrente che circola nel circuito

r

all’istante t. Tale corrente genera nello spazio circostante un campo di induzione magnetica B (t ) il

r

Φ

cui flusso (B ) concatenato col circuito è in generale diverso da zero. Se la corrente I(t) varia nel

r r

Φ

e dunque (B ) : pertanto nel circuito si genera, per la legge di Faraday-

tempo, varia anche B (t )

Neumann, una forza elettromotrice detta forza elettromotrice autoindotta e il fenomeno nel suo

complesso è detto fenomeno dell’autoinduzione. L’espressione della prima formula di Laplace o

Legge di Biot e Savart è r r

′

r µ × ∆

r d l r

∫

= 0

B r I

( ) r

π

0 ∆ 3

4 r

′

l

r r r r

′

∆ = −

r r r è la differenza fra il vettore posizione r del punto P in cui si vuole calcolare il

dove r ′ ′ ′ µ

campo e il vettore posizione r dell'elemento del circuito ; la costante è detta permeabilità

d l l 0

magnetica del vuoto. In virtù della precedente relazione, in ogni punto dello spazio circostante il

r Φ

circuito, il campo B (t ) attraverso

è proporzionale alla corrente I(t); poiché il flusso elementare d

r r r r r

Φ = ⋅ Φ

ogni elemento di superficie è proporzionale a B (t ) ( d B (

t ) d S ), il flusso (B )

d S

concatenato col circuito risulta esso stesso proporzionale a I(t):

r

Φ =

( B ) LI

Affinché valga questa relazione di proporzionalità, è necessario che la corrente abbia lo stesso

valore lungo tutto il circuito. Il coefficiente di proporzionalità L è detto coefficiente di

autoinduzione del circuito in esame o induttanza del circuito stesso.

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142.L’induttanza del solenoide.

Consideriamo un solenoide, costituito da un avvolgimento regolare e molto fitto di filo conduttore

su un supporto tubolare di spessore trascurabile e di lunghezza l molto grande rispetto al raggio R

del tubo; inoltre sia N il numero totale di spire che formano l’avvolgimento. Il campo di induzione

r

B presente internamente al solenoide è diretto assialmente, è uniforme e il suo modulo vale

N

= µ I

B 0 l

r = π 2

Il flusso di B concatenato con ciascuna spira si ottiene moltiplicando B per l’area S R della

r

Φ concatenato col circuito è pari

spira stessa; poiché il solenoide è formato da N spire, il flusso (B )

a BNS: r π

2 2 2

N N S N R

Φ = = µ = µ = µ

( B ) BNS INS I I

0 0 0

l l l

da cui, tenendo conto che il campo magnetico generato da un circuito (quindi anche il suo flusso

r

Φ =

attraverso il circuito stesso) è proporzionale alla corrente che lo percorre ( ( B ) LI ), si ha:

r

Φ π

2 2 2

( B ) N S N R

= = µ = µ = µ 2

L n lS

0 0 0

I l l

=

dove n N l è il numero di spire per unità di lunghezza. Quindi il coefficiente di autoinduzione L

è in questo caso proporzionale al quadrato del numero di spire e all’area di ciascuna di esse, e

inversamente proporzionale alla lunghezza del solenoide.

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143.Lavoro per caricare l’induttanza.

Quando allontaniamo due cariche di segno opposto, si suol dire che l’energia potenziale che ne

deriva resta immagazzinata nel campo elettrico delle cariche; possiamo recuperare questa energia

dal campo se lasciamo riavvicinare le cariche. Allo stesso modo si può immagazzinare energia in un

campo magnetico. ξ

La figura rappresenta una sorgente di f.e.m. collegata a una resistenza R e a un’induttanza L.

ξ

Se la carica dq passa attraverso il generatore di f.e.m. della figura nel tempo dt, questo compie

ξdq. ξ(dq/dt), ξi.

su di essa il lavoro La potenza sviluppata dal generatore è cioè Nel contempo viene

dissipata sotto forma di energia termica la potenza

dE = = 2

R V i i R

R

dt

La potenza con la quale l’energia viene immagazzinata nel campo magnetico è:

dE di

= ξ =

L i Li

L

dt dt

ξ

dove è la f.e.m. autoindotta. Possiamo scrivere la relazione precedente in questo modo:

L =

dE Lidi

L

Integrando, si ha: E i

∫ ∫

=

L dE Lidi

L

0 0

cioè 1

= 2

E Li

L 2

che rappresenta l’energia totale immagazzinata in un’induttanza L percorsa da una corrente i.

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Capitolo 9 del riassunto degli appunti del corso di Fisica II per l'esame del professor Vicari. Gli argomenti trattati sono: forza elettromotrice, legge di Faraday, legge di Lenz: movimento magnete, legge di Lenz: variazione di flusso, la chitarra elettrica, conduttori in movimento in campo magnetico, lavoro sui conduttori in movimento, il campo elettrico non è conservativo, variazione nel tempo del flusso di B, legge di Faraday per il campo elettrico, condizioni di raccordo, autoinduzione, l’induttanza del solenoide, lavoro per caricare l’induttanza, mutua induzione, mutua induzione di solenoidi coassiali, energia di induttanze accoppiate, energia associata alle correnti, alternatore.