Fisica

AHI

test

d

se At d'Ittati

alti datti

biffodittati di

At

Derivata di un versore

Ricordiamo che un versore è un vettore di modulo unitario, per de nizione. Ne consegue che la variazione del

modulo è sempre nulla.

Può però variare la direzione del versore, e tale variazione si determina con considerazioni geometriche: nel

variare direzione il versore ‘’disegna’’ una circonferenza di raggio unitario (R = |u| = 1)

si

I AB

ù

II jt Tenin

bitonittsatt attenti

e

ABER tutti I

DA R 0

1 At a

va

quando

O

At 10 0

versare

per

U'Hl

AB DA

10 O

1 A sax

AI

da

Ito

ne dt La derivata di un versore è un vettore di direzione perpendicolare al

versore di partenza e modulo pari alla velocità con cui il versore cambia

Litri direzione.

Il modulo della derivata è quindi, in generale, diverso da 1.

angolare

Derivata di un vettore – caso generale

Nel caso più generale, una grandezza sica vettoriale può dipendere da una grandezza scalare t (ad esempio, dal

tempo) perché varia il suo modulo rispetto a t, oppure perché varia la sua direzione/verso con t, oppure entrambi.

Questo si esprime indicando che la parte scalare (modulo) dipende da t, ( ), e che il versore che ne rappresenta la

direzione varia orientazione con t, tolti

Così possiamo scrivere il vettore come

datti

alti

EHI

Per calcolare la derivata del vettore rispetto a t si applica quindi la proprietà di derivazione del prodotto di

funzioni: di alti

datti Gatti alti

09

de at

dove occorrerà anche calcolare la derivata del versore.

La derivata di un vettore è quindi la somma di due componenti:

1. Componente tangenziale: è parallela (o antiparallela) al vettore di partenza ed ha come modulo la derivata

prima del modulo rispetto a t

2. Componente normale: è perpendicolare alla direzione del vettore di partenza ed ha come modulo il

prodotto tra il modulo del vettore e la variazione angolare rispetto a t (cioè il termine che esprime una

rotazione/cambio di direzione al variare di t) Diotti

It

dà datti Gatti alti manent

de pt normale

Ì

in

Il modulo della derivata si ottiene a partire dalle componenti:

datti FÉE

at

Dimostrazione

Proprietà: It

dca.EE EI

i. derivata della somma at dà

Il

IK K

I

ii. derivata del prodotto per uno scalare KOSTER di

d5

51 5

iii. Derivata del prodotto scalare II 5

feta ott

iv. Derivata del prodotto vettoriale t Y

v. Derivata di una funzione composta ( ) DEI Siti

at

vi. Differenziale ott

dà

vii. Se ( ) è costante in modulo (| |), ma varia solo di direzione, allora la derivata d ( )/ è un vettore

perpendicolare (o normale) ad .

Si dimostra partendo dal quadrato del vettore e calcolando la derivata del prodotto scalare, con considerazioni

nali sul coseno dell’angolo. La derivata di un versore ne è un caso particolare.

al

modulo che traduce

costante si

costante di

la derivata

Igf o una

perché à

è tra

è quid

costante zero l'angolo

la derivata

e

à là E

è I.a

costante gf.it a

c a O

2laipda DS

2 de

È O dà

IL

è verificabile quando o

cosa

L'uguaglianza avvera de

CINEMATICA —> studio dei moti a prescindere delle cause

STATICA —> studio delle condizioni di equilibrio

MECCANICA DINAMICA —> studio del moto in presenza di forze applicate ad un corpo

Si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze che sono responsabili dei moti stessi

CINEMATICA

E’ lo studio della traiettoria di un punto materiale (= punto geometrico avente una determinata massa, coincide

con il baricentro del corpo) Il tratto di traiettoria, o spostamento, è in generale una grandezza vettoriale,

cui pertanto si applicano le regole del calcolo vettoriale.

DÌ In un sistema (bidimensionale) di assi cartesiani xy la posizione di un punto

a materiale può essere individuata dal vettore posizione spiccato dall’origine

EHI degli assi verso la posizione del punto stesso. Se una particella si muove dal

E Etat

vettore punto individuato dal vettore r(t) al punto individuato dal vettore r(t+dt), si può

aspizione rappresentare il suo vettore spostamento come = rf ri. In una dimensione.

Δr –

non è la de nizione più generale di velocità

È perché non contempla la possibilità di

de nire la velocità in un determinato istante

E ri La velocità istantanea v in un punto generico

YI istantanea

velocità

live della traiettoria, è il vettore il cui modulo è

dato dal modulo di v e la cui direzione è quella

della tangente alla traiettoria nel punto

s considerato.

Ì Per trattare i moti viene introdotta la grandezza

II I

amelia accelerazione, cioè variazione di velocità

f

à

se hai

Iim su EYE

at o

Moto uniformemente accelerato rifatta

dite

costante

a adt

dj

a

dim te te

VI A

VE

at

ve vo alte te

Ve VI

to

e VI

O tf E

V

VF at

Vi va

di volt

da

va alt

Efrat Iva

Etretat

Sfx dttffatdtvof.tt

ott a AE

X ETE

Xa No te a

Moto parabolico di un proiettile

Y vò la

è

I

Va due

moti

di

g composizione

a moto rettilineo asse x

lungo

uniformementeaccelerato lungo asse

9,81 moto

G

9 y

data da J

rasenta Noosa t

x

vocis

o a x gt2

sentito

Ivo

Y puntanel

verso

perché opposto

all'asse y

rispetto

lo

dalla seconda

t metto nella

e

ricava

y prima

yes

vasino Ba

Ax

1

x Las

E

90

y Issa Y Ye

9

E

casa

v il

nonc'è

I terminenoto

dall

si

perché parte

origine

FISICAMENTE

ANALITICAMENTE di

hmax trova

la

derivata o al

rye

max vertice

fa

si si

trovare punto corrisponde

per fra hmax 2

sistema asse

trovare fa

si x

e usare

parabola tempo

per

raggiungere

gittata

per

Moto rettilineo uniforme

O fat

tot

a x

Moto circolare uniforme

È DO R

DS

velocitàangolare

a p

p pp On

cast

W

al at de

l

WR LI

WE 1

We f L

2ft

y y Iperiab Ha

il

che punto iniziale

alla

tornare

impiega

per posizione

due

l'accelerazione

è l'unica

è

ha an qui

perchéquesta

presente componenti

perché presente

at

derivare w e

potrei quindi

rispetto

avrei a

angolare

l'accelerazione

i se

i

IIII I tim sin a

at 20

at

at o

IO E aggia owo

I

at

Moto circolare non uniforme

It if È

a 0 at

compare

accelerazione angolare

DINAMICA

La meccanica classica o newtoniana, che non si occupa dei fenomeni atomici (oggetto della meccanica quantistica),

né di quelli che comportano velocità prossime a quella della luce (oggetto della teoria della relatività), è basata

sui seguenti principi fondamentali della dinamica o di Newton:

PRIMO PRINCIPIO: Ogni corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, nché non

intervenga alcuna forza dall’esterno a modi carne lo stato (principio, o legge, d’inerzia).

SECONDO PRINCIPIO: L’accelerazione subita da un corpo è in ogni istante proporzionale alla forza risultante R

agente su di esso e inversamente proporzionale alla sua massa. La forza risultante è la somma delle forze agenti

su un corpo. E

E pena

FEFÈ N

e Kg

F 2

4 vincolare

pt a

treazione Figs

190 ma

Fx Max

O seno

Fy F O

R

may my

mg

TERZO PRINCIPIO (azione-reazione): Dati due corpi, 1 e 2, se il corpo 1 esercita un forza F sul corpo 2, il

2

corpo 2 esercita su 1 la forza F , cioè una forza avente il modulo uguale e la direzione e il verso opposto

2,1

I E Forza di gravitazione universale

Fa

F 1

1,2 m

I ma

2 I

Gma

Ma

F n

Forza peso

yn 5 Ep

in 5 _my's Ms attrito statico

attrito dinamico

Ma

I rotolamento

Mu per

Reazioni vincolari Numero puro perché da una ci sono gli N

Vincolo = oggetto rigido su cui poniamo un altro oggetto e anche dall’altra

I

I in

fa

fine

E L

Signi ca che si oppone alla forza che

fà

cerca di spostare l’oggetto il meno si mette

mg in funzione del sistema di riferimento

è

µ legato materiali

ai 1. Fare conversioni in S.I.

ESERCIZIO

I È 2. Stabilire il sistema di riferimento

i

FINN 3. Disegnare tutti i vettori delle forze in gioco

Esino 4. Identi co componenti lungo x ed y

I

minime 5. Uso il secondo principio della dinamica

Ma 0,2 6. Mettere - o + in base al sistema di riferimento

9 anganagaeaguggeam

em geena fa

fesso

asta ma

Fy may sino

mytesina

a Flos

0 ma

Mong

Ma

Faso ma

MAN fuso ma

cmg.es

µ caso

In

a MD

Masema

0,325

a

ESERCIZIO D fa

masino ma

IN

metta ingessato

mining Ma 0,2 Nemgossa

a Masino ma

Mongoose

glsino

a Massai

guadagni 0 I

semmai se

sarebbe gsino

a ma a

Forza elastica III stato

F F

di Xf alla

magia rispetto

spostamento

di

posizione equilibrio

e SÌ

m

e a

ma E iniziale

Inxtow Faye

di 9

Assente

O X

µ moto armonico

Forze ttizie forza

inerziali

i

s

istemi es

non centrifuga filo

ideale esenzam

inestensibile

Tmax

È

gggiamagreur ymax mwar

imwr.MU fI

YmaxWmax

mw'R

ESERCIZIO SISTEMI

COLLEGATICONCORDE

9 ma

mese mag

mag mag

T Mag

Y

ma cm

no ma

maa

kg ma mal

Mag g g

minim a n ma ma

a 9

Maam

ing acg

base

ISHTAR eserciziaio consolazione dimensione

stessa

della di

quantità

Quantità di moto moto

p

EYE