Fisica

Fisica

Informazioni generali

Prof. Angelo Bifone - angelo.bifone@unito.it - Oggetto mail: Studente-Biotec

Esame scritto con esercizi e domande concettuali, prova di 2 ore.

Introduzione alle grandezze fisiche

Grandezze fisiche: definite quantitativamente con un metodo operativo di misura, confronto tra la grandezza in esame e un campione di riferimento. Una volta erano campioni fisici, ora sono legati a costanti universali come, ad esempio, 1 metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 1/3 s circa.

Misura

Può essere diretta (rapporto tra la grandezza e il campione) o indiretta (misura della grandezza legata a quella da misurare attraverso una relazione nota, clessidra).

Analisi dimensionale

Tutte le equazioni devono essere dimensionalmente consistenti cioè primo e secondo membro devono avere le stesse dimensioni fisiche.

Caratteristiche strumentali

• Accuratezza: quanto il risultato di una misura si avvicina al valore vero.
• Precisione: capacità di riprodurre la stessa misura a parità di condizioni.
• Sensibilità: valore minimo di una grandezza che uno strumento può misurare.
• Risoluzione: differenza minima tra due valori della stessa grandezza che è possibile distinguere con lo strumento stesso (riconoscimento di una variazione). Permette di stimare l'errore di un'unica misura perché si intende sull'ultima cifra fornita dallo strumento.

Errori

Stima di quanto la grandezza misurata si può discostare dal valore vero. Possono essere:

• Sistematici: deviazioni del valore misurato dal valore vero dovute all’inaccuratezza dello strumento o della procedura di misura.
• Casuale o accidentale: dovuto a cause imponderabili che influenzano il risultato talvolta per eccesso e talvolta per difetto. Possono essere risolti con diversi metodi:

Metodi per affrontare errori casuali

Media aritmetica: è la migliore stima del valore vero della misura.

Semidispersione massima: per un campione statisticamente non significativo (x max − x min = Δx/2).

Scarto quadratico medio: anche detto deviazione standard, si usa per campioni statisticamente significativi. Graficamente si crea con le misurazioni una curva di Gauss (curva a campana) in cui il valore medio coincide con il valore più probabile, la distribuzione è simmetrica rispetto ad esso e le misure più frequenti e più probabili si concentrano intorno.

Relativo: rapporto tra incertezza della misura e misura stessa, si usa spesso in percentuale.

Multipli e sottomultipli

Conversioni: per trasformare da km/s a m/s si divide per 3,6.

I vettori

Scalare: numero con la sua unità di misura che rappresenta una grandezza fisica.

Vettore: grandezza matematica definita da modulo, direzione e verso, rappresenta anch’esso una grandezza fisica con la sua unità di misura. Si può dividere nelle sue componenti orizzontale e verticale, esse si possono ottenere grazie a seno e coseno nel triangolo rettangolo.

Versore: vettore con lunghezza unitaria (modulo =1) che caratterizza i vettori, versore e vettore associato hanno stessa direzione e stesso verso.

Operazioni con vettori

Prodotto di un vettore per uno scalare: si crea un vettore con uguale direzione, verso uguale (se lo scalare è positivo) o opposto (se lo scalare è negativo) e modulo uguale al prodotto dei due moduli.

Somma di vettori: si applica la regola del parallelogramma (metodo geometrico) oppure si sommano ordinatamente le componenti del primo vettore con le componenti del secondo tenendo in considerazione i versori (metodo algebrico).

Prodotto scalare: detto anche prodotto interno, è la moltiplicazione di due vettori e si ottiene con il metodo geometrico facendo A·B = |A| |B| cosθ. Con il metodo algebrico invece si ottiene facendo A·B = A_xB_x + A_yB_y. In entrambi i casi si ha come risultato uno scalare.

Prodotto vettoriale: detto anche prodotto esterno, il modulo è dato da |A × B| = |A| |B| sinθ, la direzione e verso sono dati dalla regola della mano destra (perpendicolari al piano identificato da A e B). Viene applicata la proprietà anti-commutativa cioè se cambio l’ordine dei moltiplicandi cambio il segno: C = A × B = −B × A.

Regola della mano destra

L’indice indica il vettore A, il medio il vettore B e il pollice la risultante.

Tensori

Oggetto rappresentabile come matrice di dimensione dipendente dai piani che sto prendendo in considerazione, ad esempio se sto rappresentando qualcosa di tridimensionale allora sarà 3x3. Permettono di rappresentare grandezze fisiche non rappresentabili in forma di vettori, ad esempio la deformazione di un oggetto tridimensionale.

Meccanica

Studio del moto e dell’equilibrio dei corpi, comprende:

• Cinematica: studio dei moti dei corpi a prescindere delle cause.
• Dinamica: studio del moto dei corpi in relazione alle cause che producono il moto stesso.
• Statica: studio dell’equilibrio dei corpi sotto l’azione di forze.

Cinematica

Nello studio di un moto è necessario specificare il sistema di riferimento rispetto al quale il moto è studiato, è necessario per poterlo trattare.

Punto materiale: un oggetto piccolo alle scale spaziali considerate approssimabili come un punto, sono idealizzazioni dell’oggetto. È definito dalle coordinate del punto in base al sistema di riferimento scelto.

Traiettoria: è la curva che definisce l’insieme di posizioni occupate dal punto materiale durante il moto.

Legge oraria: è la funzione di x(t) che definisce come varia la posizione x in funzione del tempo.

Distanza: modulo del vettore spostamento, cioè la variazione della posizione dell’oggetto analizzato (x_finale − x_iniziale = Δx).

Velocità:

• Scalare media: v_m = Δx / Δt
• Istantanea: v = lim_Δt→0 (Δx / Δt), definisco la velocità in ogni istante, è sempre tangente alla traiettoria.

Accelerazione:

• Scalare media: a_m = Δv / Δt
• Istantanea: a = lim_Δt→0 (Δv / Δt).

Moto uniformemente accelerato

In 1 dimensione: v = v₀ + at; Legge oraria: x = x₀ + v₀t + 1/2 at². Posso usarlo per descrivere la caduta di un grave in assenza di attrito (moto di un proiettile ad esempio) con g = 9,81 m/s².

In 2 dimensioni: v_x = v_0x + a_xt; v_y = v_0y + a_yt; Legge oraria: x = x₀ + v_0xt + 1/2 a_xt²; y = y₀ + v_0yt + 1/2 a_yt².

Il moto del proiettile

Gittata: la ottengo mettendo a sistema la componente orizzontale e il tempo.

Altezza massima: la velocità verticale è 0 quindi ottengo, con la formula inversa del moto, il tempo e sostituisco nella formula di v_y.

Moto rettilineo uniforme in 2 dimensioni

Si scompongono le componenti orizzontale e verticale: x = x₀ + v_xt; y = y₀ + v_yt.

Dinamica

Studiata in particolare da Newton nel 1687, non valgono a velocità prossime a quella della luce, vengono definite come principi della dinamica o leggi del moto di Newton.

Massa

Rappresenta la misura di quanto sia difficile far cambiare la velocità di un oggetto ovvero la quantità di materia. È uno scalare e si misura in kg.

Primo principio della dinamica

Un oggetto non cambia il proprio stato (quiete o rettilineo uniforme) finché su di esso non agiscono forze con risultante diversa da 0.

Sistema di riferimento inerziale

Vale il principio di inerzia: un corpo resta nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non intervenga una forza esterna. Ogni sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a un riferimento inerziale è anch’esso inerziale. I principi della dinamica valgono solo in riferimenti inerziali. La Terra può essere un buon riferimento inerziale perché ha un raggio grande quindi un'accelerazione piccola rispetto al Sole.

Secondo principio della dinamica

F = m·a

Si studia guardando un esperimento semplice: tiro un dinamometro con attaccato un carrello che si muove senza attrito, se raddoppio la forza che applico allora anche l’accelerazione raddoppia; allo stesso modo posso tirare un dinamometro con un peso attaccato con una forza F, se raddoppio il peso e uso la stessa forza allora l’accelerazione si dimezza.

Prendendo in considerazione direzione e verso, un corpo di massa m sul quale agiscono forze di risultante si muove con accelerazione: ΣF = m·a → [ΣF] = [m]·[a] = 1 N = kg·m/s².

Terzo principio della dinamica

Per ogni forza (azione) che agisce su un corpo c’è una forza (reazione) che agisce su un corpo diverso e ha uguale modulo e direzione e verso opposto.

Forza

È quella grandezza fisica che applicata ad un corpo causa la variazione della condizione di moto se il corpo non è vincolato, ne provoca invece una deformazione se è vincolato. Nel secondo caso si può misurare con un dinamometro. È una grandezza vettoriale.

Esempi di forze

• Peso: oggetto che si muove con un’accelerazione a nel campo gravitazionale, è proporzionale alla massa: W = m·g. La costante di accelerazione g (9,81 m/s²) deriva dalla legge di gravitazione universale: F = G·(M_T·m)/(R_T²).
• Forza normale: forza perpendicolare alla superficie su cui è appoggiato un oggetto.
• Forza centripeta: forza necessaria perché un corpo segua una traiettoria circolare: F_c = m·a_c = m·v²/r = m·ω²·r.
• Forza centrifuga: forza apparente percepita in un sistema di riferimento rotante non inerziale, opposta alla forza centrifuga, perché sto agendo in un sistema di riferimento non inerziale.
• Forze di attrito: dovute alle irregolarità della superficie di contatto tra due corpi (attrito statico, dinamico, volvente) o alla viscosità di un fluido (attrito viscoso), si oppongono al moto.

Forze di attrito

• Attrito dinamico: si oppone al moto di un oggetto e permette quindi il moto a velocità costante, è quindi uguale alla forza applicata per muovere l’oggetto: F_d = μ_d·N, dove μ_d è il coefficiente di attrito dinamico e dipende dai materiali a contatto.
• Attrito statico: si manifesta tra superfici in quiete.

Moto circolare uniforme

Moto lungo una circonferenza con velocità di modulo costante:

• Frequenza: f = 1/T [Hz = s⁻¹].
• Periodo: T [s].
• Modulo della velocità: v = 2πr/T = ωr [m/s].
• Accelerazione centripeta: a_c = v²/r [m/s²].

Lavoro ed energia

Lavoro: prodotto della forza per lo spostamento (L = F·d = F·d·cosθ), è un prodotto scalare. Dimensionalmente: [L] = [F][d] = M·L²/T², l’unità di misura è il Joule (J = N·m).

Il lavoro può essere negativo quando si parla di una forza di attrito perché sono sempre opposte al moto e l’angolo è maggiore di 90°. Se d = 0 o θ = 90°, il lavoro è nullo.

Geometricamente il lavoro di forze costanti è l’area del rettangolo che si crea sul piano cartesiano con la variazione delle distanze sull’asse x e la forza sull’asse y. Se non sono forze costanti allora approssimo la curva dividendola in rettangoli (integrale).

Potenza meccanica

È uno scalare che si misura in watt (W = J/s). Dimensionalmente è M·L²/T³.

Conservazione delle forze

Alcune forze sono conservative, cioè, mentre altre no. Esempi di forze conservative sono la forza di gravità, l’energia cinetica, l’energia potenziale. Invece, un esempio di forza non conservativa è l’attrito.

Energia cinetica

È la capacità di compiere lavoro -> K = 1/2 m·v²; è uno scalare che si misura in J ed è sempre maggiore o uguale a 0.

Il teorema dell’energia cinetica definisce il lavoro totale come la differenza tra l’energia cinetica iniziale e quella finale (ΔK).

Energia potenziale

U = m·g·y, in cui y è l’altezza. È l’energia che viene immagazzinata da una forza conservativa quando è stato eseguito un lavoro contro di questa. Il lavoro è L = −ΔU.

Conservazione dell’energia meccanica

L’energia meccanica è E = U + K. In un sistema in cui operano solo forze conservative l’energia meccanica si conserva: E_finale = E_iniziale -> U_f + K_f = U_i + K_i. Se ci sono altre forze oltre a quelle conservative.

Linee equipotenziali: sono il luogo dei punti che hanno uguale potenziale (stessa quota).

Quantità di moto e urti

Quantità di moto: p = m·v; è un vettore con direzione e verso che coincidono con quelli della velocità, si misura in kg·m/s.

La seconda legge di Newton può essere espressa in funzione della quantità di moto: ΣF = Δp/Δt. Se la forza risultante che agisce su un oggetto è uguale a zero (in assenza di forze esterne) allora la sua quantità di moto si conserva. Le forze interne che agiscono tra gli oggetti che compongono un sistema non influenzano la quantità di moto che quindi si conserva e la loro risultante è 0 (esempio: persone che si spingono sopra una barca); se ci sono forze esterne (persone che tirano la barca) allora la quantità di moto non si conserva.

Impulso

I = F·Δt; è un vettore con direzione e verso che coincidono con quelli della forza media, si misura in N·s = kg·m/s.

Se F·Δt = Δp allora I = Δp: l’impulso è uguale alla variazione della quantità di moto. Quindi una forza elevata che agisce per un intervallo breve produce la stessa variazione di quantità di moto di una forza più piccola che agisce per un periodo più lungo.

Urti

Situazione in cui due oggetti si colpiscono tra di loro, possono essere:

• Elastico: si conserva l’energia e la quantità di moto, m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂.
• Anelastico: si conserva la quantità di moto ma non l’energia (ad esempio potrebbe esserci una deformazione di uno dei due corpi). Un esempio può anche essere il pendolo balistico. Negli urti in due dimensioni la conservazione della quantità di moto si applica separatamente ad ogni componente.
• Urto totalmente anelastico: gli oggetti restano attaccati dopo la collisione.

Equilibrio e leve

Equilibrio statico: la risultante delle forze e dei momenti devono essere 0 -> ΣF = 0 e Στ = 0.

Leve

La leva è una macchina semplice composta da una forza motrice, una forza resistente e un fulcro (origine del sistema di riferimento). Il corpo umano è composto da leve che spesso sono però svantaggiose. Le leve possono essere:

• Di primo tipo: le due forze vengono applicate agli estremi opposti del fulcro (piede di porco).
• Di secondo tipo: fulcro da un lato, forza motrice dal lato opposto e forza resistente in mezzo (carriola o schiaccianoci).
• Di terzo tipo: forza resistente in estremo e forza motrice tra fulcro e forza resistente (pinzette).

Il guadagno meccanico è il rapporto tra la forza resistente e la forza motrice: G.M. = F_resistente/F_motrice.

Sapendo che all’equilibrio Στ = 0 allora F_rb_r = F_mb_m.

Se la leva è di primo tipo allora G.M. può essere maggiore o minore di 1, se è di secondo tipo è sempre maggiore di 1, se è di terzo tipo è sempre minore di 1.

Dinamica rotazionale e momenti

Momento angolare L: è un vettore , il modulo vale L = r × p, nel S.I. si misura in kg·m²/s. È importante ricordare la natura vettoriale del momento angolare; ad esempio in bici stare in sella da fermi risulta difficile invece andando avanti è molto più facile, questo perché il momento angolare conserva direzione e verso. Un altro esempio è un giroscopio, se faccio girare velocemente il cerchio allora si mantiene in orizzontale, considerando però la presenza della forza peso mi accorgo che la trottola gira attorno a suo fulcro.

Considerando un bastone di lunghezza r che gira attorno a un fulcro K = 1/2 m·r²ω². Il momento d’inerzia è: