Fisica II - appunti del corso - capitolo 5

Capacità

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U(r) la soluzione al problema di Dirichlet esterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da:

V(r) = ∑ V_i U_i(r)

La carica sullo j-esimo conduttore è:

Q_j = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

dove S è la superficie dello j-esimo conduttore, σ è la densità di carica superficiale, e ∂/∂n indica la derivata rispetto alla normale alla superficie. Inoltre, si è tenuto conto che E = -∇V (per il teorema di Coulomb).

Introducendo il coefficiente C_ij:

C_ij = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

risulta Q_i = ∑ C_ij V_j, con C_ij (i ≠ j) coefficienti di induzione (se i = j, C_ij si chiamano coefficienti di capacità).

Possiamo così scrivere la matrice delle capacità che non dipende né dai potenziali né dalle cariche ma solo dalla geometria del problema; essa è data da:

Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendo conto delle relazioni precedenti possiamo scrivere:

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂

Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂

Richiedendo induzione completa, cioè imponendo Q₁ = -Q₂ e V₁ = -V₂, si ha:

C₁₁ + C₁₂ = C₂₁ + C₂₂

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Matrice delle capacità

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U(r) la soluzione al problema di Dirichlet esterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da:

V(r) = ∑ V_i U_i(r)

La carica sullo j-esimo conduttore è:

Q_j = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

dove S è la superficie dello j-esimo conduttore, σ è la densità di carica superficiale, e ∂/∂n indica la derivata rispetto alla normale alla superficie. Inoltre, si è tenuto conto che E = -∇V (per il teorema di Coulomb).

Introducendo il coefficiente C_ij:

C_ij = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

risulta Q_i = ∑ C_ij V_j, con C_ij (i ≠ j) coefficienti di induzione (se i = j, C_ij si chiamano coefficienti di capacità).

Possiamo così scrivere la matrice delle capacità che non dipende né dai potenziali né dalle cariche ma solo dalla geometria del problema; essa è data da:

Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendo conto delle relazioni precedenti possiamo scrivere:

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂

Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂

Richiedendo induzione completa, cioè imponendo Q₁ = -Q₂ e V₁ = -V₂, si ha:

C₁₁ + C₁₂ = C₂₁ + C₂₂

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Induzione

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U(r) la soluzione al problema di Dirichlet esterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da:

V(r) = ∑ V_i U_i(r)

La carica sullo j-esimo conduttore è:

Q_j = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

dove S è la superficie dello j-esimo conduttore, σ è la densità di carica superficiale, e ∂/∂n indica la derivata rispetto alla normale alla superficie. Inoltre, si è tenuto conto che E = -∇V (per il teorema di Coulomb).

Introducendo il coefficiente C_ij:

C_ij = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

risulta Q_i = ∑ C_ij V_j, con C_ij (i ≠ j) coefficienti di induzione (se i = j, C_ij si chiamano coefficienti di capacità).

Possiamo così scrivere la matrice delle capacità che non dipende né dai potenziali né dalle cariche ma solo dalla geometria del problema; essa è data da:

Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendo conto delle relazioni precedenti possiamo scrivere:

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂

Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂

Richiedendo induzione completa, cioè imponendo Q₁ = -Q₂ e V₁ = -V₂, si ha:

C₁₁ + C₁₂ = C₂₁ + C₂₂

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Condensatore

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U(r) la soluzione al problema di Dirichlet esterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da:

V(r) = ∑ V_i U_i(r)

La carica sullo j-esimo conduttore è:

Q_j = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

dove S è la superficie dello j-esimo conduttore, σ è la densità di carica superficiale, e ∂/∂n indica la derivata rispetto alla normale alla superficie. Inoltre, si è tenuto conto che E = -∇V (per il teorema di Coulomb).

Introducendo il coefficiente C_ij:

C_ij = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

risulta Q_i = ∑ C_ij V_j, con C_ij (i ≠ j) coefficienti di induzione (se i = j, C_ij si chiamano coefficienti di capacità).

Possiamo così scrivere la matrice delle capacità che non dipende né dai potenziali né dalle cariche ma solo dalla geometria del problema; essa è data da:

Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendo conto delle relazioni precedenti possiamo scrivere:

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂

Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂

Richiedendo induzione completa, cioè imponendo Q₁ = -Q₂ e V₁ = -V₂, si ha:

C₁₁ + C₁₂ = C₂₁ + C₂₂

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Condensatore piano

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U(r) la soluzione al problema di Dirichlet esterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da:

V(r) = ∑ V_i U_i(r)

La carica sullo j-esimo conduttore è:

Q_j = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

dove S è la superficie dello j-esimo conduttore, σ è la densità di carica superficiale, e ∂/∂n indica la derivata rispetto alla normale alla superficie. Inoltre, si è tenuto conto che E = -∇V (per il teorema di Coulomb).

Introducendo il coefficiente C_ij:

C_ij = -ε₀ ∫_Sj ∂U_i(r)/∂n dS

Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendo conto delle relazioni precedenti e facendo i calcoli possiamo scrivere:

C₁₁ + C₁₂ = C₂₁ + C₂₂

Consideriamo ora un condensatore piano; nell’intercapedine tra le due armature è presente un campo elettrico diretto secondo la normale uscente dalla superficie dotata di carica positiva e di intensità pari a:

E = σ/ε₀

dove Q/S è la densità superficiale di carica presente sulle due armature. La differenza di potenziale fra le due armature è:

ΔV = ∫E · dl = Qd/ε₀S

dove d è la distanza fra le armature; dall’ultima relazione si ricava:

C = ε₀S/d

Si noti che nei calcoli effettuati abbiamo trascurato gli effetti di bordo.