Fisica II - appunti del corso - capitolo 5

Condensatori in parallelo

RR R= πε = πε2C 4 4−0 0 RR R −12 R2da cui, mandando R all’infinito:2 R= πε = πεlim lim 4 4C R0 0R→ ∞ → ∞R R −2 2 1 R2Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 8 di 2278.

Condensatori in parallelo.

Consideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U (r ) la soluzione al problema di Dirichletiesterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da: r r∑=V ( r ) V U ( r )i iie la carica sullo j-esimo conduttore è: r∂ ∂U rV ( )∑∫ ∫ ∫= σ = − ε = − ε i dSdS VQ dS ∂∂j i0 0 nn i SS Sj j j ∂σ sta addove S è la superficie dello j-esimo conduttore, è la densità di carica superficiale, ∂j nσ = εindicare la derivata rispetto alla normale alla

superficie; inoltre si è tenuto conto che E (per il0∂ V= -teorema di Coulomb) ed E .∂nIntroducendo r∂U ( r )∫= -εij i dSC ∂0 nS j∑= ij ij iQ C V , conrisulta C (i≠j) coefficienti di induzione (se i=j C si chiamano coefficienti dij i icapacità).Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendoconto delle relazioni precedenti e facendo i calcoli possiamo scrivere:−1 2 1 2Q C C C C= = 1 2 2 1C − − +1 1 2 2V C C C C1 2 1 2Un modo per collegare due condensatori è il collegamento in parallelo in cui la prima armaturadel primo condensatore è collegata alla prima armatura del secondo condensatore e le secondearmature sono collegate fra di loro; si ottiene così un sistema di due conduttori (A e B) fra i quali siesercita induzione completa. Si ha: ∆ = ∆ =V V V1 2=Q C V1 1=Q C V2 2+ = +Q Q ( C C )V1 2 1 2Q=C V= + = +con Q Q Q e C C C1 2

(i≠j) coefficienti di induzione (se i=j C si chiamano coefficienti dij i icapacità).Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendoconto delle relazioni precedenti e facendo i calcoli possiamo scrivere:−1 2 1 2Q C C C C= = 1 2 2 1C − − +1 1 2 2V C C C C1 2 1 2Un modo per collegare due condensatori è il collegamento in serie in cui una sola armatura delprimo condensatore C è collegata con una armatura del secondo condensatore C ; si ottiene così1 2un sistema di tre conduttori A, B ed E. Si ha:= ∆Q C V1 1 1= ∆Q C V2 2 2= =Q Q Q1 2 Q Q= ∆ + ∆ = +V V V1 2 C C1 2Q=C V1 1 1= +con C C C1 2

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Carica di un condensatore.rConsideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U (r ) la soluzione al problema di Dirichletiesterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale

Il potenziale è dato da:
r ∑=V(r) VU(r)ii e la carica sullo j-esimo conduttore è:
∂ ∂U rV()∑∫∫∫=σ=−ε=−εi dSdS VQ dS∂∂j i0 0 nn i SS Sj j j ∂σ sta addove S è la superficie dello j-esimo conduttore, è la densità di carica superficiale, ∂j nσ=εindicare la derivata rispetto alla normale alla superficie; inoltre si è tenuto conto che E (per il0∂V=−teorema di Coulomb) ed E.∂nIntroducendo ∂U(r)∫=−εiji dSC∂0 nSj∑=iji iQ C V, conrisulta C (i≠j) coefficienti di induzione (se i=j C si chiamano coefficienti diji icapacità).Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendoconto delle relazioni precedenti e facendo i calcoli possiamo scrivere:−12 12QC CC C=1 2

2 1C − − +1 1 2 2V C C C C1 2 1 2Per caricare un condensatore occorre un agente esterno che compia lavoro. Si supponga che in unq=certo istante la differenza di potenziale tra i piatti sia V ; se si trasporta una carica dq, il lavoroCq= =richiesto è dL Vdq . Il lavoro totale per portare la carica del condensatore a un valoredqC 21 qq∫ ∫ ′ ′= = =finale q è: L dL q d q . Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenzialeC 2Co 2 2q CV= =U (q=CV). La densità di energia è (Ad è il volume dellonel condensatore, quindi 2C 2spazio tra i piatti) 2U CV 1 V 1= = = ε = ε2 2u ( ) E0 0Ad 2 Ad 2 d 2ε A V= 0avendo tenuto conto che C e è il campo elettrico.d dAppunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 11 di 2281.Energia elettrostatica di un condensatore piano.rConsideriamo n conduttori nel vuoto e chiamiamo U (r ) la soluzione al problema di Dirichletiesterno in cui

l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da: r r∑=V ( r ) V U ( r )i iie la carica sullo j-esimo conduttore è: r∂ ∂U rV ( )∑∫ ∫ ∫= σ = − ε = − ε i dSdS VQ dS ∂∂j i0 0 nn i SS Sj j j ∂σ sta addove S è la superficie dello j-esimo conduttore, è la densità di carica superficiale, ∂j nσ = εindicare la derivata rispetto alla normale alla superficie; inoltre si è tenuto conto che E (per il0∂ V= −teorema di Coulomb) ed E .∂nIntroducendo r∂U ( r )∫= −εij i dSC ∂0 nS j∑= ij ij iQ C V , conrisulta C (i≠j) coefficienti di induzione (se i=j C si chiamano coefficienti dij i icapacità).Un condensatore è un sistema di due corpi che presenta induzione totale; sia quindi n=2, tenendoconto delle

relazioni precedenti e facendo i calcoli possiamo scrivere:−1 2 1 2Q C C C C= = 1 2 2 1C − − +1 1 2 2V C C C C1 2 1 2Per caricare un condensatore occorre un agente esterno che compia lavoro. Si supponga che in unq=certo istante la differenza di potenziale tra i piatti sia V ; se si trasporta una carica dq, il lavoroCq= =richiesto è dL Vdq . Il lavoro totale per portare la carica del condensatore a un valoredqC 21 qq∫ ∫ ′ ′= = =finale q è: L dL q d q . Questo lavoro viene immagazzinato come energia potenzialeC 2Co 2 2q CV= =U (q=CV). La densità di energia è (Ad è il volume dellonel condensatore, quindi 2C 2spazio tra i piatti) 2U CV 1 V 1= = = ε = ε2 2u ( ) E0 0Ad 2 Ad 2 d 2ε A V= 0avendo tenuto conto che C e è il campo elettrico.d dAppunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 12 di 2282.Condensatore isolato riempito di dielettrico.rConsideriamo n conduttori nel

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vuoto e chiamiamo U (r ) la soluzione al problema di Dirichletiesterno in cui l’i-esimo conduttore abbia potenziale 1 e gli altri 0; inoltre sia V il potenziale dell’i-iesimo conduttore. Il potenziale è dato da: r r∑=V ( r ) V U ( r )i iie la carica sullo j-esimo conduttore è: r∂ ∂U rV ( )∑∫ ∫ ∫= σ = − ε = − ε i dSdS VQ dS ∂∂j i0 0 nn i SS Sj j j ∂σ sta addove S è la superficie dello j-esimo conduttore, è la densità di carica superficiale, ∂j nσ = εindicare la derivata rispetto alla normale alla superficie; inoltre si è tenuto conto che E (per il0∂ V= −teorema di Coulomb) ed E .∂nIntroducendo r∂U ( r )∫= −εij i dSC ∂0 nS j∑= ij ij i