Fisica II - appunti del corso - capitolo 4

Principio di sovrapposizione

B B⋅ = ⋅E d l r d lπε0 34 rA A 0rr ⋅ θ = θPoiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:r d l rdl cos dr dl cosr  B r1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1B B B∫ ∫ ∫ = −⋅ = = = −  r d l rdr  πε πε πε πε πε3 3 2  4 r 4 r 4 r 4 r 4 r rA A A0 0 0 0 0A A BQuesta relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campoconservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A eB e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma,lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 5 di 2847.Principio di sovrapposizione.Il campo elettrico generato da una carica

puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

Q = (1/4πε₀) * (Q₁/r)

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una traiettoria qualsiasi che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = (1/4πε₀) * Q * ∫_A^B dr/r²

Poiché il prodotto scalare E · dl = E * dl * cosθ, tenendo conto che dl = dr/cosθ, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B E * dr/r = (1/4πε₀) * Q * ∫_A^B dr/r²

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Per il principio di sovrapposizione,

essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma, lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 6 di 2848. Circuitazione del campo elettrico. Il campo elettrostatico è conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B, e vale: $\int$_B E ⋅ dl = -¹/_4πε0 ∫_A^B Q₁ / r² dl Ponendo V(r) (con C costante arbitraria), si ha: $\int$_B E ⋅ dl = -¹/_4πε0 (V(B) - V(A)) Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x, y, z di una traiettoria, si ha la funzione: $V(P)\; =\; -\int$_A^P E ⋅ dl + V(A) detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q. Tornando alla (1) possiamo dire che il lavoro fatto...Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb: E = k * Q / r^2 dove k è la costante elettrica (k = 1 / (4 * π * ε0)) e r è la distanza dalla carica. Moltiplicando scalarmente questa equazione per uno spostamento elementare dl lungo una traiettoria qualsiasi che va dalla posizione A alla posizione B, otteniamo: ∫E · dl = ∫(k * Q / r^2) · dl dove ∫ indica l'integrale lungo la traiettoria. La circuitazione dell'integrale lungo una linea chiusa, indipendentemente dalla forma della linea, è data da: ∮E · dl = 0 Questo significa che la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è sempre zero. Fonte: Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 7 di 28

d l rdl cos dr dl cosr  B r1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1B B B∫ ∫ ∫ = −⋅ = = = −  r d l rdr  πε πε πε πε πε3 3 2  4 r 4 r 4 r 4 r 4 r rA A A0 0 0 0 0A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

1 Q= +Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:πε0 4 r0 rrB∫ ⋅ = −E d l V ( A) V ( B )0 0 0A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: rrP∫= − ⋅ +V ( x, y , z ) E d l V ( A)0 0 0Adetta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

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Unità di misura.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

Q = (1/4πε₀) * (Q/r²) * r̂

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una traiettoria qualsiasi che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/4πε₀) * (r̂ · dl)

Poiché il prodotto scalare r̂ · dl = cosθ, tenendo conto che dl = dr̂, si ha:

∫_A^B E · dl = ∫_A^B (Q/4πε₀) * (cosθ) * dr

Integrando da A a B si ottiene:

∫_A^B E · dl = (Q/4πε₀) * (1/r_B - 1/r_A)

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalla differenza dei potenziali elettrici in A e B.

dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.
1. Ponendo V(r) = C (con C costante arbitraria), si ha:
πε₀ 4 r₀ r_rB∫ ⋅ = -E d l V(A) V(B)₀ 0 0A
Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinatex,y,z di una traiettoria, si ha la funzione:
r_rP∫ = - ⋅ + V(x, y , z) E d l V(A)₀ 0 0A
detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.
Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle di un'energia diviso una carica elettrica;
l'unità di misura nel sistema SI è detta Volt:
[ ]
Energia Joule = = ≡ V Volt
[ ]
Carica Coulomb
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Campo dal potenziale.
Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:
r_r r₁ Q=( ) r (1)
E r πε₀ 34 r₀ r
Moltiplicando scalarmente la (1) per unospostamento elementare e integrando lungo una traiettoria qualsiasi che porta da una posizione A a una posizione B, si ha: $\backslash int\_A^B\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{l\}\; =\; \backslash int\_A^B\; E\; dl\; \backslash cos(\backslash theta)\; =\; \backslash int\_A^B\; E\; dl\; \backslash cos(\backslash theta)$ Poiché il prodotto scalare $\backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{l\}$ è uguale a $E\; dl\; \backslash cos(\backslash theta)$, tenendo conto che $dl\; \backslash cos(\backslash theta)\; =\; dr$, si ha: $\backslash int\_A^B\; E\; dl\; =\; \backslash int\_A^B\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\; \backslash frac\{Q\}\{r^2\}\; dr\; =\; \backslash frac\{Q\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\; \backslash int\_A^B\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; dr$ Utilizzando la relazione $\backslash int\; \backslash frac\{1\}\{r^2\}\; dr\; =\; -\backslash frac\{1\}\{r\}$, si ottiene: $\backslash int\_A^B\; E\; dl\; =\; -\backslash frac\{Q\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\}\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{r\_B\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{r\_A\}\backslash right)$ Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B. Ponendo $V(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash frac\{Q\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0\; r\}$ (con C costante arbitraria), si ha: $\backslash int\_A^B\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash cdot\; d\backslash mathbf\{l\}\; =\; -\backslash left(V(A)\; -\; V(B)\backslash right)$ Se il punto A è una posizione di potenziale zero, si ha: $V(B)\; =\; -V(A)$riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinata P = (x, y, z) di una traiettoria, si ha la funzione: (*) V(x, y, z) Edl V(A)0 0 0A detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q, di cui la (*) (o la (+)) rappresenta B∫ · = -la definizione. La definizione di potenziale implica che sia: Edl V(A) V(B)0 0 0A rr · = -Edl dV (2)0 0 ∂ ∂ ∂ V V V+ + = - + +0 0 0 x y z r ≡ Poiché la relazione precedente deve valere per dl (dx, dy, dz) arbitrario, segue che: ∂ ∂ ∂ VV V= - = - = -00 0 E E E ; E; ∂ ∂ ∂ y x z Utilizzando l'operatore nabla (ovvero il gradiente di una funzione), si ha: rr r= -∇ = -E V grad V (3)0 0 0 Combinando la (2) e la (3), si ricava la relazione tra il gradiente di V e il campo elettrico: ∇V = -Euna funzione e il suor r⋅ =differenziale: gra d V d l dV0 0Appunti prelevati da http://www.quell