Fisica II - appunti del corso - capitolo 4

42.Moto di una carica in un campo.

Si consideri un campo elettrico arbitrario, rappresentato dalle linee di forza in figura, e una carica

di prova q che si muove, lungo il percorso indicato in figura, dal punto iniziale al punto finale; in

0 r

qualsiasi punto del percorso, sulla carica agisce una forza elettrostatica q E . Se consideriamo uno

0

r , il lavoro infinitesimo dL compiuto dalla forza elettrostatica su q

spostamento infinitesimo d s 0

durante tale spostamento è: r r

= ⋅

dL q E d s

0

Il lavoro totale compiuto dal campo elettrico su q quando essa si sposta dal punto iniziale a quello

0

finale è dato da: r r

f

∫

= ⋅

L q E d s

0 i

Tenendo presente che la differenza di potenziale tra i punti i e f è data da

L

∆ = − = −

V V V

f i q 0

sostituendo in questa equazione l’espressione del lavoro totale trovata in precedenza, si ha:

r

f

∫

− = − ⋅

V V E d s

f i i

Poiché la forza elettrostatica è una forza conservativa, il risultato è indipendente dal percorso.

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43.Superfici equipotenziali

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo

potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico

è L

∆ = − = −

V V V (1)

f i q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il

=

campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .

f i

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal

=

percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il

L 0

percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è

r

E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso

sempre tangente a queste linee. Se

avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla

superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la

r

E deve essere perpendicolare alla

superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi

superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici

equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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44.Carica puntiforme.

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo

potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico

è L

∆ = − = −

V V V (1)

f i q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il

=

campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .

f i

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal

=

percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il

L 0

percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è

r

E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso

sempre tangente a queste linee. Se

avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla

superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la

r

E deve essere perpendicolare alla

superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi

superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici

equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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45.Dipolo.

Si definisce superficie equipotenziale il luogo dei punti nello spazio che hanno il medesimo

potenziale. Tenendo presente che la differenza di potenziale tra due punti i e f in un campo elettrico

è L

∆ = − = −

V V V (1)

f i q

si deduce che, per muovere una carica tra due punti qualsiasi di una superficie equipotenziale, il

=

campo elettrico non deve compiere lavoro sulla carica, infatti L deve essere nullo se V V .

f i

La forza elettrostatica è una forza conservativa e la differenza di potenziale è indipendente dal

=

percorso; quindi per qualsiasi percorso che unisce il punto iniziale e finale, anche se il

L 0

percorso non si trova interamente sulla superficie equipotenziale. r

Le superfici equipotenziali sono sempre perpendicolari alle linee di forza e quindi a E , che è

r

E non fosse perpendicolare a una superficie equipotenziale, esso

sempre tangente a queste linee. Se

avrebbe una componente su questa superficie e, quindi, per muovere una carica di prova sulla

superficie equipotenziale si dovrebbe compiere lavoro. Ma dall’equazione (1) si deduce che se la

r

E deve essere perpendicolare alla

superficie è equipotenziale, il lavoro deve essere nullo, quindi

superficie in ogni punto.

Le figure che seguono mostrano le linee di forza e le sezioni trasversali delle superfici

equipotenziali del campo elettrico di una carica puntiforme e di un dipolo rispettivamente.

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46.Il campo elettrostatico è conservativo.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma,

lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.

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47.Principio di sovrapposizione.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

Per il principio di sovrapposizione, essendo conservativo il campo di una carica puntiforme ferma,

lo è anche quello di qualsiasi distribuzione di cariche ferme.

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48.Circuitazione del campo elettrico.

Il campo elettrostatico è conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B

dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B, e

vale:  

r

r Q 1 1

∫ B ⋅ = −

 

E d l πε

0 4 r r

A 0 A B

Q

1

= + C

Ponendo V r

( ) (con C costante arbitraria), si ha:

πε

0 r

4 0 r

r

B

∫ ⋅ = − (1)

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z

di una traiettoria, si ha la funzione: r

r

P

∫

= − ⋅ +

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

Tornando alla (1) possiamo dire che il lavoro fatto dalla forza elettrostatica, che agisce su una

carica unitaria lungo lo spostamento AB, può essere espresso come differenza di valore che la

funzione potenziale assume rispettivamente nei punti A e B.

In particolare, se A coincide con B, qualunque sia la linea chiusa l scelta per l’integrale, si ha:

r

r

∫ ⋅ =

E d l 0

0

∫

dove con si intende l’integrale eseguito su una linea chiusa che viene detto circuitazione.

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49.Funzione potenziale.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

1 Q

= +

Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:

πε

0 4 r

0 r

r

B

∫ ⋅ = −

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate

x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: r

r

P

∫

= − ⋅ +

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

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50.Unità di misura.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

1 Q

= +

Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:

πε

0 4 r

0 r

r

B

∫ ⋅ = −

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate

x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: r

r

P

∫

= − ⋅ +

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle di un’energia diviso una carica elettrica;

l’unità di misura nel sistema SI è detta Volt:

[ ]

[ ] Energia Joule

= = ≡

V Volt

[ ]

Carica Coulomb

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51.Campo dal potenziale.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

1 Q

= +

Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:

πε

0 4 r

0 r

r

B

∫ ⋅ = − (+)

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate

r

r

P

∫

= − ⋅ +

x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: (*)

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q, di cui la (*) (o la (+)) rappresenta

r

r

B

∫ ⋅ = −

la definizione. La definizione di potenziale implica che sia:

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

r

r ⋅ = −

E d l dV (2)

0 0  

∂ ∂ ∂

V V V

+ + = − + +

0 0 0

 

che in coordinate cartesiane si scrive: E dx E dy E dz dx dy dz

∂ ∂ ∂

0 x 0 y 0 z  

x y z

r ≡

Poiché la relazione precedente deve valere per d l ( dx , dy , dz ) arbitrario, segue che:

∂

∂ ∂

V

V V

= −

= − = −

0

0 0

E

E ; E

;

∂

∂ ∂

0 y

0 x 0 z

y

x z

Utilizzando l’operatore nabla (ovvero il gradiente di una funzione), si ha:

r

r r

= −

∇ = −

E V gra d V (3)

0 0 0

Combinando la (2) e la (3), si ricava la relazione tra il gradiente di una funzione e il suo

r r

⋅ =

differenziale: gra d V d l dV

0 0

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52.Potenziale della carica puntiforme.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è espresso dalla legge di Coulomb:

r r r

1 Q

=

( ) r (1)

E r πε

0 3

4 r

0 r

Moltiplicando scalarmente la (1) per uno spostamento elementare e integrando lungo una

d l

qualunque traiettoria che porti da una posizione A a una posizione B, si ha:

r r

r r

1 Q

∫ ∫

B B

⋅ = ⋅

E d l r d l

πε

0 3

4 r

A A 0

r

r ⋅ θ = θ

Poiché il prodotto scalare = , tenendo conto che , si ha:

r d l rdl cos dr dl cos

r  

B

 

r

1 Q 1 Q Q dr Q 1 Q 1 1

B B B

∫ ∫ ∫ = −

⋅ = = = −  

r d l rdr  

πε πε πε πε πε

3 3 2  

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r r

A A A

0 0 0 0 0

A A B

Questa relazione mostra che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è un campo

conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B dipende solo dalle posizioni A e

B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B.

1 Q

= +

Ponendo V ( r ) C (con C costante arbitraria), si ha:

πε

0 4 r

0 r

r

B

∫ ⋅ = −

E d l V ( A

) V ( B )

0 0 0

A

Se il punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate

x,y,z di una traiettoria, si ha la funzione: r

r

P

∫

= − ⋅ +

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

detta potenziale elettrostatico generato dalla carica puntiforme Q.

Prendendo il punto di riferimento all’infinito, si ha:

r r

r P

 

r r

1 Q Q 1 1 Q

P P

∫ ∫

= − ⋅ = − ⋅ = − − =

V ( r ) E d l r d l  

πε πε πε

0 0  

3

∞ ∞ 4 r 4 r 4 r

∞

0 0 0

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53.Distribuzioni.

Il campo elettrostatico è conservativo, infatti il suo integrale di linea fra due posizioni A e B

dipende solo dalle posizioni A e B e non dalla particolare traiettoria seguita per andare da A a B, e

vale:  

r

r Q 1 1

∫ B ⋅ = −

 

E d l πε

0 4 r r

A 0 A B r

r

Q

1 B

∫

= + ⋅ = −

C . Se il

Ponendo V r

( ) (con C costante arbitraria), si ha: E d l V ( A

) V ( B )

πε

0 0 0 0

r

4 A

0

punto A è una posizione di riferimento e il punto P è una posizione generica di coordinate x,y,z di

r

r

P

∫

= − ⋅ +

una traiettoria, si ha la funzione: detta potenziale elettrostatico

V ( x

, y , z ) E d l V ( A

)

0 0 0

A

generato dalla carica puntiforme Q.

Prendendo il punto di riferimento all’infinito, si ha:

r r

r P

 

r r Q Q

Q

1 1 1

P P

∫ ∫

= − ⋅ = − ⋅ = − − = (1)

r d l

V r E d l

( )  

πε πε πε

0 0  

3

∞ ∞ r r

r

4 4 4

∞

0 0 0

Nel caso di una distribuzione (discreta o continua) di cariche, generalizzando la (1) si ha:

r n

1 Q

∑

= i

V ( r ) Distribuzioni puntiformi

r r

πε −

0 4 r r

=

i 1

0 i

λ

r 1 ( x ' , y ' , z ' ) dl '

∫

= Linea

V ( r ) r r

πε −

0 4 r r '

0

σ

r 1 ( x ' , y ' , z ' ) dS '

∫

=

V ( r ) Superficie

r r

πε −

0 4 r r '

0 ρ τ

r 1 ( x ' , y ' , z ' ) d '

∫

=

V ( r ) Volume

r r

πε −

0 4 r r '

0

r r

con r vettore posizione del punto dove si calcola il potenziale, r vettore posizione della carica

i

r ≡

iesima, r ' ( x ' , y ' , z ' ) posizione dell’elemento di carica di cui si calcola via via il contributo al

τ

λ σ, ρ

potenziale; , rispettivamente densità di carica lineare, superficiale, volumica; , ,

dl ' dS ' d '

rispettivamente elemento di linea, di superficie, di volume, su cui si esegue l’integrale.

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Capitolo 4 del riassunto degli appunti del corso di Fisica II per l'esame del professor Vicari. Gli argomenti trattati sono: moto di una carica in un campo, superfici equipotenziali, carica puntiforme, dipolo, il campo elettrostatico è conservativo, principio di sovrapposizione, circuitazione del campo elettrico, funzione potenziale, unità di misura, campo dal potenziale, potenziale della carica puntiforme, distribuzioni, guscio sferico, potenziale di una bacchetta, asse del disco, energia elettrostatica, energia di un sistema di n cariche, energia elettrostatica in funzione del potenziale, interno dei conduttori, superficie dei conduttori, esterno dei conduttori, pressione elettrostatica, induzione elettrostatica, potenziale di un dipolo, energia d’accoppiamento del dipolo, azioni su un dipolo in campo elettrico, sviluppo in multipoli, polarizzazione per deformazione.