Fisica II - appunti del corso - capitolo 2

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme

F viene detto campo elettrico generato nella posizione r dalla carica Q: F ≡ E(r)

E(x, y, z) è un vettore che ha la stessa direzione di F e il modulo E viene detto intensità del campo elettrico.

Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza per una carica e l'unità di misura usuale è il Volt/m.

L'andamento del campo elettrico può essere visualizzato utilizzando le linee di forza che sono definite in questo modo:

• La direzione del campo elettrico in un punto è quella della tangente in quel punto alla linea di forza.
• Il numero delle linee che attraversano una superficie di area unitaria è proporzionale all'intensità del campo.

Per convenzione si ha:

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 3 di 16

14. Cariche come soggetto dell'azione.

Sia Q una carica puntiforme posta in una certa posizione nello spazio (fissa in un sistema di riferimento inerziale).

Se poniamo una seconda carica q, ferma, in presenza della prima, essa è soggetta ad una forza F data dalla legge di Coulomb che dipende dalla posizione occupata da q ed è in modulo proporzionale a q stessa. Se q è una carica puntiforme qualunque posta nella posizione r ( x , y , z ) , il rapporto rF viene detto campo elettrico generato nella posizione r dalla carica Q: E q = F ( r ) / q E ( r ) è un vettore che ha la stessa direzione di F e il modulo E di E viene detto intensità del campo elettrico. Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza per una carica e l'unità di misura usuale è il Volt/m. In questo caso particolare in cui il campo è generato da una sola carica puntiforme fissa nello spazio vuoto, considerando la carica Q posta nell'origine del sistema di riferimento, si ha: E ( r ) = 1 / ( 4πε₀ ) * Q / r dove ε₀ sta ad indicare che si tratta di un campo elettrico nel vuoto.e' r i , il campo elettrico generato da Q in r e' dato da: E(Q,r) = k * Q / r^2 dove k e' la costante di Coulomb. Analogamente, il campo elettrico generato da Q in r i e' dato da: E(Q,r i ) = k * Q / r i ^2 Il campo elettrico totale generato dalle due cariche Q e Q in r e' quindi dato dalla somma vettoriale dei due campi: E(r) = E(Q,r) + E(Q,r i ) Si noti che il campo elettrico e' un vettore, quindi la somma vettoriale tiene conto della direzione e dell'intensita' dei due campi. Questo principio di sovrapposizione dei campi elettrici e' valido per distribuzioni puntiformi di cariche. In generale, per distribuzioni di cariche piu' complesse, si utilizzano metodi di calcolo piu' avanzati come l'integrazione. Fonte: http://www.quellidiinformatica.org Pagina 4 di 1615.

è r r , si ha:1 21 2r r r r r r1 Q 1 Q= − + −1 2E ( r ) ( r r ) ( r r ) (1)r r r rπε πε0 1 2− −3 34 4r r r r0 01 2

Possiamo generalizzare la (1) al caso in cui il sistema delle sorgenti sia costituito da n caricher :puntiformi Q il cui vettore posizione sia ri ir r r rn1 Q∑= −i( ) ( )E r r rr rπε0 i− 34 r r=i 10 i

In coordinate cartesiane si ha: −n1 Q ( x x )∑= i iE ( x , y , z ) [ ]πε0 x 34 − + − + −2 2 2 2= ( x x ) ( y y ) ( z z )i 10 i i i−n1 Q ( y y )∑= i iE ( x , y , z ) [ ]πε0 y 34 − + − + −2 2 2 2= ( x x ) ( y y ) ( z z )i 10 i i i−n1 Q ( z z )∑= i iE ( x , y , z ) [ ]πε0 z 34 − + − + −2 2 2 2= ( x x ) ( y y ) ( z z )i 10 i i i

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 5 di 1616.

16.Distribuzione di volume. rConsiderato un sistema di n cariche sorgenti puntiformi ferme Q

Il cui vettore posizione sia r, il campo elettrostatico generato da tale distribuzione discreta di cariche puntiformi è dato da:

E(r) = −i∑_iE(r−r_i) = ¹/_4πε0∑_i^Q_i⁄_|r−ri|³

Nella pratica, però, si ha spesso a che fare con sistemi in cui la distribuzione di cariche sorgenti è continua. La distribuzione spaziale continua di carica di volume è descritta dalla funzione:

ρ(x, y, z) = lim_τ→0∑_τΔτρ

dove d = dxdydz è l'elemento infinitesimo di volume intorno al punto di coordinate x, y, z e dq è la carica contenuta in tale elemento di volume. Quindi, considerando una distribuzione di carica continua che occupa la porzione di spazio Ω, il campo elettrico E nel punto di posizione r si ottiene come generalizzazione della (1):

E(r) = −¹/_4πε0∫_ΩE(r−r^')dx^'dy^'dz^'

3−4 r r '0τ ρe è nulla dove non c’è carica elettrica.

L’integrale si intende esteso al volume

In coordinate cartesiane si ha: ρ −1 ( x ' , y ' , z ' )( x x ' ) dx ' dy ' dz '∫=E ( x , y , z ) [ ]πε0 x 3− + − + −4 2 2 2 2( x x ' ) ( y y ' ) ( z z ' )0 ρ −1 ( x ' , y ' , z ' )( y y ' ) dx ' dy ' dz '∫=E ( x , y , z ) [ ]πε0 y 3− + − + −4 2 2 2 2( x x ' ) ( y y ' ) ( z z ' )0 ρ −1 ( x ' , y ' , z ' )( z z ' ) dx ' dy ' dz '∫=E ( x , y , z ) [ ]πε0 z 3− + − + −4 2 2 2 2( x x ' ) ( y y ' ) ( z z ' )0

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 6 di 1617.

Densità superficiale e lineare. rConsiderato un sistema di n cariche sorgenti puntiformi ferme Q

il cui vettore posizione sia r, il campo elettrostatico generato da tale distribuzione discreta di cariche puntiformi è dato da:

E(r) = ∑_i −iE(r_i) / (4πε₀ r_i³)

Nella pratica, però, si ha spesso a che fare con sistemi in cui la distribuzione di cariche sorgenti è continua. Nel caso in cui i domini entro cui è distribuita la carica siano superfici (distribuzione superficiale) o linee (distribuzione lineare) si avranno rispettivamente la densità superficiale σ e la densità lineare λ definite da:

Δq = σ dS = λ dl

dove dS e dl sono rispettivamente l'elemento infinitesimo di superficie e l'elemento infinitesimo di linea e dq è la carica contenuta in tale elemento.

Considerata quindi una distribuzione di carica continua, generalizzando la (1) al caso di superfici o linee,

Il campo elettrico E nel punto P di posizione r è dato rispettivamente da: ^rσ − r₁(x', y', z')(r^r')∫=E(r) dS'
^rπε₀ − 34 r^r'0 r^rλ − r₁(x', y', z')(r^r')∫=E(r) dl'
dove r' è il vettore posizione dell'elemento infinitesimo di superficie e di linea rispettivamente. Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 7 di 1618. Filo rettilineo uniformemente carico. Consideriamo una distribuzione uniforme di carica su un supporto rettilineo molto lungo (infinito) λ e di dimensioni laterali trascurabili e sia la densità lineare di carica uniforme. Vogliamo calcolare il campo elettrico E in un punto P a distanza y dal supporto. Il campo elettrico può essere calcolato come somma integrale dei campi elettrici elementari generati in P da trattini elementari della

distribuzione lineare rettilinea. Ognuno degli elementi dx del filo giace nel piano individuato dal filo e da P e in tale piano giacerà anche il campo risultante EdE. Inoltre, per ogni elemento esiste un elemento simmetrico ad esso rispetto a O; questi due elementi generano due contributi elementari al campo che hanno componente parallela al filo uguale ed opposta. r è dato da: Il modulo di dE λ1 dq1 dx = dE πε πε2 24 r 4 r0 0 Da semplici considerazioni geometriche si ricava che: θ θ2y1 cos yd = = = θ = θ == θ ; r e quindi ; dx dy tg y tg where si è tenuto conto che xr sin θ θ2 2 2r y cos cosθ y è costante e quindi è stato possibile portarlo fuori da dy tg (al cambiare di x, y è sempre la distanza di P dal filo). r Le componenti x e y del campo elettrico E sono: = +∞x∫∫= = - θ = E dE sin dE 0x x = -∞x λ θ= +∞

+∞ = +∞ cos∫ ∫ ∫ ∫x x xθ θ= = = =E dE cos dE 2 cos dE dxπεy y 2= -∞ = =2 rx x 0 x 00θ θ θ2dx yd cos d= =Poiché si ha:θ2 2 2r cos y y πr λ λ° °θ =n n∫= θ θ =2E cos πε πεθ =2 y 2 y00 0dove è