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19.Asse della distribuzione ad anello.

La figura mostra un anello sottile di raggio R caricato uniformemente con densità di carica lineare

r

λ; vogliamo calcolare il campo elettrico E nel punto P che si trova a una distanza z dal piano

dell’anello lungo il suo asse.

Pensiamo di dividere l’anello in elementi infinitesimi di carica in modo da poterli trattare come

λ

cariche puntiformi. Consideriamo quindi un qualsiasi elemento infinitesimo ds; poiché è la carica

r

= λ

per unità di lunghezza, l’elemento ha una carica dq ds . ds genera un campo elettrico nel

d E

punto P che si trova a distanza r dall’elemento di carica considerato. Trattando l’elemento ds come

r

una carica puntiforme, il modulo di è dato da:

d E λ

1 dq 1 ds

= =

dE (1)

πε πε

2 2

4 r 4 r

0 0 r nel punto P con modulo dato

Ogni elemento di carica dell’anello genera un campo elettrico d E

dalla (1), tutti questi vettori hanno componenti sia parallele che perpendicolari all’asse centrale;

solo che per ogni componente perpendicolare avente una certa direzione, esiste una componente che

ha la stessa direzione ma verso opposto e la somma di queste coppie di componenti è zero. Quindi,

r

per ragioni di simmetria, il campo elettrico E ha la direzione dell’asse dell’anello. Poiché la

componente lungo z è data da = θ

dE dE cos

z

si ha: λ

qds q z qz Rz

1 1 1 1

∫ ∫ ∫

= θ = θ = = =

E dE cos cos ds

πε π πε π πε 3

2 3 3 ε +

R r R r r

4 2 4 2 4 2 2 2

2 ( z R )

0 0 0 0

z q

= θ λ =

= θ

dove si è tenuto conto che e quindi cos , e l’integrale è stato fatto lungo

z r cos π

r 2 R

π

la linea di lunghezza .

2 R

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 9 di 16

20.Asse del disco. Piano.

La figura mostra un disco di raggio R sulla cui faccia superiore è distribuita uniformemente una

r

σ;

carica con densità vogliamo calcolare il campo elettrico E nel punto P che si trova a una

distanza z dal disco lungo il suo asse centrale.

Possiamo scomporre il disco in sottili anelli concentrici e il campo elettrico sarà quindi la somma

integrale dei singoli contributi di ogni anello. Consideriamo un generico anello di raggio r e

spessore radiale dr, la carica sull’anello è = λ π = σ π

dq 2 r ( 2 r ) dr

λ

dove è la densità di carica lineare. Il modulo del campo elettrico generato da un anello carico in

un punto a distanza z dal piano dell’anello lungo il suo asse è

λ Rz

=

E 3

ε +

2 2 2

2 ( z R )

0

σ

λ

per cui, sostituendo R con r e con , si ha:

dr σ σ 3

rz dr z

= = 2

dE X dX

ε

3

ε + 4

2 2 2

2 ( z r ) 0

0

= + =

2 2

con X ( z r ) e quindi .

dX 2 rdr

Possiamo ora trovare E integrando l’ultima equazione ottenuta sulla superficie del disco:

=

r R

 

1 =

− r R

   

   

σ σ σ σ σ

1

3 1

− − −

2

= z z X z z z

1

∫ r R = − = − + = −

= = 2 2

   

   

2 2 2

E R X dX X z R

( ) ( ) 1

ε ε ε ε ε

1 +

=  

   

4 4 2 2 z 2 2 2

r 0  

− z R

0 0 0

0

0 =

r 0

 2 =

r 0

Se facciamo tendere R all’infinito mantenendo z finito, il secondo termine tra parentesi

dell’equazione precedente tende a zero, si ha quindi:

 

σ σ

z

= = − =

 

E lim E ( R ) lim 1

ε ε

+

→∞ →∞  

2 2

2 2

R R z R

0 0

che non è altro che il campo elettrico generato da una distribuzione di carica uniforme su un piano

infinito.

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 10 di 16

21.Guscio sferico.

Vogliamo calcolare il campo elettrico in un punto P interno a un guscio sferico di spessore

σ

trascurabile, dotato di densità di carica superficiale uniforme. Ω

Considerando un cono elementare con vertice in P e angolo solido , esso intercetta sulla sfera

d r '

gli elementi di superficie e ; e portano al campo elettrico in P i contributi d E e

dS ' dS ' ' dS ' dS ' ' 0

r r

' ' '

d E che sono diretti in verso opposto. Per quanto riguarda il modulo di d E , si ha:

0 0

σ σ σ

' '

1 dS ' 1 dS 1 1 dS 1

= = = = Ω

σ

' n n

dE d

πε πε θ πε θ πε θ

0 2

2 2

4 r 4 cos ' r 4 cos ' r 4 cos '

A A A 0

0 0 0

'

dove nel penultimo passaggio si è tenuto conto che dS è la proiezione di normalmente a r e

dS '

n A

= θ

'

quindi dS dS ' cos ' , mentre nell’ultimo passaggio si è usata la definizione di angolo solido

n

'

dS

Ω = n .

d 2

r

A

Allo stesso modo risulta: σ

1

= Ω

' '

dE d

πε θ

0 4 cos ' '

0 =

θ = θ ' ' '

Osservando che il triangolo ABC è isoscele, è da cui segue che dE dE ;

cos ' cos ' ' 0 0

integrando su tutta la sfera risulta che il campo elettrico nel punto P è dato da contributi elementari

r in P è nullo.

che sono a coppie uguali ed opposti e quindi il campo elettrico E 0

Appunti prelevati da http://www.quellidiinformatica.org Pagina 11 di 16

22.Dipolo. δ;

La figura mostra due cariche di intensità q ma di segno opposto separate da una distanza tale

configurazione di cariche si chiama dipolo elettrico. Con riferimento alla figura, vogliamo calcolare

δ);

il campo elettrico prodotto dal dipolo nel punto P che si trova infinitamente lontano (r >> è da

r r r

notare che possiamo fare l’approssimazione che gli angoli formati da r , r e r con l’asse x siano

+ −

θ

tutti uguali a proprio perché P è infinitamente lontano. Applicando il principio di sovrapposizione,

1 q 1 q

= − = −

l’intensità E del campo elettrico in P è: E E E

+ − πε πε

2 2

4 r 4 r

+ −

0 0

r r

r q r r

= −

θ + −

Vettorialmente: E r

( , ) ( ) (1)

πε 3 3

r r

4 + −

0

dove (r,θ) sono le coordinate polari del punto P.

Da semplici considerazioni geometriche si ha:

δ δ

r r r r r

= − = + = +

ˆ ˆ ˆ ˆ

r r i ; r r i ; r i x j y

+ −

2 2

δ δ δ δ

x x

= − θ = − = + θ = +

r r cos r ; r r cos r

+ −

2 2 r 2 2 r

δ

3 3 x

= δ =

3 3 3

m m

Inoltre, risulta: r r xr r (

1 )

± 2

2 2 r

δ δ δ

2 3

dove abbiamo trascurato i termini con e in quanto è infinitesimo.

r r

r − δ + δ

ˆ ˆ

q r i / 2 r i / 2

θ = −

Sostituendo in (1), si ha: E ( r , ) ( )

πε − δ + δ

3 2 2

1 3 / 2 1 3 / 2

4 r x r x r

0 δ δ

2 2 2

9 x

≈ − ≈

δ)

da cui, effettuando i calcoli e tenendo conto che poiché 0 (r >> risulta 1 ( )( ) 1 , si

2 2 2

r 4 r r

r r

r δ r r r

q 3 x r p

θ = − δ = ⋅ −

ˆ

ha: E ( r , ) ( r i ) k [

3

( r p ) ]

πε 3 2 5 3

4 r r r r

0 r

r

1

= = δ

= θ

dove nell’ultimo passaggio si è tenuto conto che k , e p q è il momento di

x r cos

πε

4 0

r

δ

dipolo con orientato dalla carica negativa alla positiva.

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23.Millikan.

Se poniamo una particella carica fissa o in movimento in un campo elettrico prodotto da cariche

stazionarie o in lento movimento, sulla particella agisce una forza che è data da

r r

=

F q E (1)

r

dove q è la carica della particella con il proprio segno e E è il campo elettrico generato da altre

r

cariche nel punto in cui si trova la particella. La (1) afferma che la forza elettrostatica F agente su

r r

una particella carica posta in un campo elettrico esterno E ha lo stesso verso di E se la carica q è

positiva, verso opposto se q è negativa.

In figura è schematizzato l’apparato usato da Millikan per misurare la carica elementare e.

Introducendo delle goccioline d’olio nella camera A, alcune di esse si caricano negativamente

altre positivamente; consideriamo una gocciolina che entra nella camera C attraverso un foro

presente sul piatto P e supponiamo che essa abbia una carica q negativa. Se l’interruttore S è aperto

1

la batteria B non produce alcun effetto elettrico sulla camera C; se invece l’interruttore è chiuso, la

batteria genera una carica negativa eccedente sul piatto conduttore P e una carica positiva

2

eccedente sul piatto conduttore P . In questo modo i piatti carichi generano nella camera C un

1

r

E rivolto verso il basso che esercita una forza elettrostatica su ogni goccia carica

campo elettrico

presente nella camera agendo sul suo moto; la gocciolina considerata, avente carica q negativa,

salirà verso l’alto secondo l’equazione (1).

Misurando il tempo impiegato dalla gocciolina per percorrere la camera, con l’interruttore aperto

e chiuso, Millikan trovò per q valori dati da

= = ± ±

q ne , con n 0

, 1

, 2

,...

-19

dove e è la carica elementare e ha il valore 1.60·10 C.

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24.Stampanti a getto d’inchiostro.

In una stampante a getto di inchiostro le gocce espulse dal serbatoio ricevono una carica elettrica

da un dispositivo di carica; quindi penetrano in un sistema di deflessione, costituito da due piatti

r

conduttori, in cui è presente un campo elettrico E . In questo modo la goccia colpisce la carta in una

r

posizione determinata dai valori di E e della carica q della goccia stessa.

Con riferimento alla figura, consideriamo una goccia di inchiostro di massa m e con una carica

negativa Q che penetra tra i piatti di deflessione muovendosi inizialmente lungo l’asse x con una

certa velocità v ; i piatti, di lunghezza L, sono carichi e producono un campo elettrico uniforme

x

nella regione interposta. r

Supponendo che il campo elettrico E sia rivolto verso il basso, sulla goccia (carica

negativamente) agisce verso l’alto una forza elettrostatica di modulo QE secondo l’equazione

r r

=

vettoriale F Q

E . La goccia subisce quindi un’accelerazione costante verso l’alto e dalla seconda

legge di Newton (F=ma) si ricava: F QE

= =

a m m

Tenendo presente che la goccia di inchiostro entra nel sistema di deflessione parallelamente

all’asse x, la velocità iniziale lungo l’asse y è nulla e trattandosi di un moto uniformemente

accelerato (lungo l’asse y), risulta =

v at

y L

=

= t dove t è il

Inoltre, lungo l’asse x la velocità si mantiene costante e quindi L v t da cui

x v x

tempo di transito nel sistema di deflessione.

Possiamo quindi ricavare la tangente dell’angolo formato dal vettore velocità con l’asse delle x:

v at QEt QEL

θ = = = =

y

tg 2

v v mv mv

x x x x

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25.La molecola d’acqua. Forno a microonde.

Una molecola d’acqua è un dipolo elettrico. In una molecola d’acqua i due atomi di idrogeno si

legano con l’atomo di ossigeno formando un angolo di circa 105°, inoltre gli elettroni della

molecola tendono a rimanere più vicini al nucleo di ossigeno. In questo modo il lato dell’ossigeno

risulta leggermente più negativo di quello dell’idrogeno e si genera un momento di dipolo elettrico

r

p diretto lungo l’asse di simmetria della molecola e orientato verso gli atomi di idrogeno come

mostrato in figura.

In un forno a microonde si genera un campo elettrico oscillante che esercita dei momenti di

torsione oscillanti sulle molecole d’acqua, le molecole ruotano così avanti e indietro per allineare i

loro momenti di dipolo con la direzione del campo. Le molecole associate in gruppi di tre devono

spezzare almeno uno dei loro due legami (quando i gruppi si spezzano l’energia termica non viene

rimossa) e successivamente, durante la ricostituzione dei legami idrogeno, viene ceduto calore.

Quindi la temperatura dell’acqua aumenta e il cibo che contiene acqua si cuoce.

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N. A.

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DESCRIZIONE APPUNTO

Capitolo 2 del riassunto degli appunti del corso di Fisica II per l'esame del professor Vicari. Gli argomenti trattati sono: cariche di prova, campo elettrico, linee di forza, cariche come soggetto dell'azione, distribuzioni puntiformi anche in coordinate cartesiane, distribuzione di volume, densità superficiale e lineare, filo rettilineo uniformemente carico, asse della distribuzione ad anello, asse del disco, piano, guscio sferico, dipolo, millikan, stampanti a getto d'inchiostro, la molecola d'acqua, forno a microonde, momento su un dipolo.


DETTAGLI
Esame: Fisica II
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher N. A. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Fisica II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Vicari Luciano Rosario Maria.

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