Fisica generale I + II - Appunti completi

INTRODUZIONE

La fisica si pone l’ambizioso obiettivo di ricavare, attraverso il ragionamento, la matematica e l’osservazione

sperimentale, le leggi di natura a partire dai fenomeni che osserviamo. Possiamo così riassumere lo sviluppo del

processo: → →

Problema Legge Output tecnico

Essa procede nella sua ricerca attraverso l’utilizzo del metodo scientifico, che è un metodo sperimentale:

 Esperimento (domanda alla natura), che deve essere riproducibile nelle stesse condizioni,

semplice e mirato, cercando il più possibile di non permettere che si mischino gli effetti di due

fenomeni differenti, l’indagine non deve perciò fermarsi all’apparenza, ma andare in

profondità.

 Misura. Tutte le grandezze fisiche devono poter essere misurate, perciò quando viene definita una

grandezza deve anche essere definito uno strumento di misura.

 Unità di misura. Ad esempio:

Lunghezza: metro (distanza percorsa dalla luce in 1/299 792 458 di secondo)

cicli dell’atomo di cesio-133)

Tempo: secondo (9 192 631 770

Massa: chilogrammo (massa di un particolare cilindro di altezza e diametro

pari a 0,039 m di una lega di platino-iridio)

Si è deciso di utilizzare c come strumento di misura del metro in quanto c rappresenta una costante

fondamentale della fisica. Infatti la velocità della luce c è uguale per tutti gli osservatori (lo si può provare

considerando due osservatori agli antipodi che misurano la velocità della luce: il risultato sarà il medesimo)

Le leggi della fisica sono espresse da formule matematiche, quindi da equazioni. In queste equazioni, i due

membri devono equivalersi da tutti i punti di vista, anche da quello delle unità di misura.

  

T s 2

ms

L

    

  s s s

Es: ;

T 2 [ L ] m m

g  m

[ g ] 2

s

La fisica si può suddividere in 2 grandi periodi:

 –

Fisica classica: Meccanica moto dei corpi macroscopici, descrizione delle cause del moto

–

Termodinamica meccanica dei sistemi complessi, scambi di energia tra sistemi

–

Elettromagnetismo cariche e loro movimento, radiazioni elettromagnetiche

–

Ottica e Acustica studio della propagazione luce, studio del suono

 –

Fisica moderna: Relatività revisione generale della fisica classica che tiene conto di velocità

prossime a c

–

Meccanica quantistica organizzazione atomica della materia, stabilità della

materia, conduzione elettrica, fisica delle particelle

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

Cinematica: descrizione del moto di un corpo a prescindere dalle cause che l’hanno generato;

Punto materiale: oggetto del moto che sia piccolo, quindi trascurabile, rispetto alle distanze in gioco.

Ogni moto presuppone un Sistema di Riferimento (SR) e un cambiamento di posizione rispetto ad esso. Si può

dire che il moto è il cambiamento di posizione rispetto a un sistema di riferimento. Ma come si presenta questo

cambiamento?

Innanzitutto è un cambiamento che avviene nel tempo, per cui si dice Legge Oraria (LO) del punto materiale la

legge che esprime la posizione del punto nel tempo.



 x x (

t )



      



  

 Devo conoscere tutte e tre le relazioni per stabilire la legge oraria.

P (

t ) x t , y t , z t y y (

t )

 

 z z (

t )

Se conosco la LO, conosco tutto del moto.

MOTO RETTILINEO 

Il sistema di riferimento è la retta ordinata: l’asse LO : x x (

t )

x.

 2

x 2t

Es.   

t 1

s x 2 m

  

t 2 s x 8

m

Parliamo ora delle grandezze utili alla descrizione del moto rettilineo.

 Spostamento

 

t , t | t t

1 2 1 2

 



x x t

1 1



x x (

t )

2 2

    spostamento

x x x

2 1

   

x x x 0

2 1

   moto nel verso concorde a quello della freccia

x 0

   moto nel verso discorde a quello della freccia

x 0

 Velocità media

 

x x x

 

2 1

v  

m t t t

2 1

 m

[ v ] s

m  

 v 0

Osservazione: è sempre positivo, quindi moto concorde a quello della freccia

t m  

v 0 moto discorde a quello della freccia

m



  x

   

tg v

Inoltre pendenza P P

 m 1 2

t

 Velocità istantanea

 

   

x x x

  

2 1

lim lim

v t x ' t

 

1 1

t t t

  

t t t 0

2 1

2 1

 



Se rappresenta la pendenza del segmento e quindi la velocità media del corpo in

P P

tg 1 2

 



movimento, esisterà una che rappresenti la pendenza della LO nel punto .

P

tg 1

   





Quindi v t tg

    moto concorde a quello della freccia

v t 0

    moto discorde a quello della freccia

v t 0

 Accelerazione media

 

t , t | t t

1 2 1 2

 



v v t

1 1



v v (

t )

2 2

 

v v v

 

2 1

a  

m t t t

2 1

m

s

  m

[ a ] 2

m s

s a

Moto Significato fisico

m

>0 v aumenta nel tempo

 <0 v diminuisce nel tempo

>0 v aumenta nel tempo

 <0 v diminuisce nel tempo

 Accelerazione istantanea

 

     

v v v

   

2 1

lim lim

a t v ' t x ' ' t

 

1 1 1

t t t

  

t t t 0

2 1

2 1  



v x ' t

 



Noto: posso ricavare

x x t  



a x ' ' t

 3

x 3t

Es. 

t 1

s

1

   

   m

2

v t x ' t 9

t 9 s

1 1

   

   m

a t v ' t 18 t 18 2

1 1 s

Abbiamo visto che una variazione infinitesima della velocità in funzione del tempo è uguale all’accelerazione,

dx dv

 

a

ovvero alla rapidità con cui il moto cambia: dt dt

 



Ora ci poniamo il problema inverso: nota è possibile ricavare la velocità e lo spazio percorso?

a a t

Risposta: sì, a patto che si conoscano le condizioni iniziali del moto.

Per risolvere il problema dal punto di vista matematico, è necessario ricorrere al calcolo integrale, che è

l’inverso del calcolo della derivata. t

     



 

Grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo dire che v t v t a t dt

0 t 0

Da questa relazione notiamo che è necessario anche dal punto di vista matematico (ovviamente) conoscere le

v

condizioni iniziali del moto (in questo caso la )

0

t

     



 

Per analogia: x t x t v t dt

0 t 0

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO (MUA)

  

MUA significa che costante

a t   

x t x

0 0

Note le condizioni iniziali del moto:   

v t v

0 0

t

    

    

1



       

v t v v a t dt x v t t a t t

0 0 0 0 0 0

2

0

Il grafico di un MRUA sarà il seguente:

Grafico xt Grafico vt Grafico at

 

tan v

0 0

In cui  

tan v

1 1

Il moto di caduta è un esempio di moto uniformemente accelerato. In prossimità della superficie terrestre,

quando la resistenza dell’aria è trascurabile, un corpo lasciato libero di cadere cade con accelerazione costante

 m

g 9

.

81 2

s

MOTO RETTILINEO UNIFORME (MRU)



v v costante

0



a 0  

 x x v t

0 0

 



L.O. v v 0

 

 a 0 Grafico xt Grafico vt

RAPPRESENTAZIONE SCALARE INTRINSECA DI UN MOTO GENERICO

s

La grandezza scalare rappresentata da ogni punto del grafico a lato è

0

intrinseca al grafico stesso, che è il grafico di un moto generico, non rettilineo.

Per definire sulla traiettoria l’ascissa curvilinea, questa deve essere solidale a

quella. Gli assi cartesiani non sono intrinseci, solidali, al modo rappresentato

nel piano, mentre l’ascissa curvilinea lo è. x

La retta orientata x (asse delle ascisse) è solidale con un moto rettilineo e è

0

. Invece sull’ascissa curvilinea s

la misura del segmento rappresenta la

OP 0

 



misura della curva . La L.O. di un modo curvilineo è e la definizione dello spostamento diventa:

OP s s t

 



s s t

  

 2 2

dove e t

s s t

s  

 2

2 1

1 s s t

1 1

 

s s s

 

2 1

v  

m t t t

2 1  

   

s s s

  

2 1

lim lim

v t s ' t

 

1 1

t t t

  

t t t 0

2 1

2 1

 

v v v

 

2 1

a  

m t t t

2 1  

     

v v v

   

2 1

lim lim

a t v ' t s ' ' t

 

1 1 1

t t t

  

t t t 0

2 1

2 1

VETTORI

Ci poniamo il problema di studiare la traiettoria di un proiettile: questo fenomeno

necessita di conoscenze che vanno oltre il calcolo e le grandezze scalari: è necessario

introdurre calcolo e grandezze vettoriali.

vettore un’indicazione spaziale caratterizzata da:

Si dice modulo (numerico)

direzione

verso

Nei valori scalari invece tutta l’informazione risiede nel modulo. Sono grandezze scalari il tempo e la massa,

sono grandezze vettoriali la velocità e la forza: si indicano con .

v, F

verso Rappresentazione grafica con frecce orientate.

In un vettore, la lunghezza del vettore stesso è proporzionale al suo modulo.

a

dir.  m

Rappresentazione quantitativa: a 30

 s

a a 



 

direzione/verso a 4

CALCOLO VETTORIALE  Somma vettoriale.

La somma vettoriale si può operare solamente considerando vettori

omogenei, ovvero che descrivono la stessa grandezza. Per ottenere

 

un vettore si deve applicare la regola del

c a b

parallelogramma, mettendo la coda del secondo vettore sulla punta

del primo:

Osservazioni: Noti

  

a , , b , , c ? ?

a b c

 

 

   

    

  2

b a

 

2 2

   

  

a b 

  

2 2

c a b 2 ab cos

 Opposto di un vettore.

 

a a  

 

dir a dir a

    

     

ver a ver a a

a

 Differenza di vettori.  

d a b

 

  

d a b

 Prodotto di uno scalare per un vettore.   . Mentre l’angolo del vettore

avendo m scalare e vettoriale, sarà un vettore di modulo m

m a

a

a m

a m a

 

  



 m 0 a

m a



misurerà   

   

 m 0 a

m a

 Prodotto scalare di due vettori.

Il prodotto scalare di due vettori dà come risultato un numero scalare:



    

a

, b a b a b cos



   

 0 a b





 

   

 a b

quindi:  

 3

  

    0



 2 2

 Versore.

Si dice versore un vettore di modulo unitario.

u a

1  

 

Il versore che ha direzione e verso di si calcola così: poiché u 1

a u a a

a a

a

RAPPRESENTAZINE CARTESIANA DEI VETTORI



a : a , a

 

a a a

x y

vettore componente di a su x

a :

x vettore componente di a su y

a :

y

  dove sono le componenti di su x e y.

a , a

a a u a u a

x y

x x y y



 

a a cos u

x a x



 

a a sin u

y a y

Rappresentazione cartesiana di un vettore significa specificarne le

proiezioni su un sistema di assi cartesiani.



 



a a cos

 x a   

a a a



 x y

  

  

 a , a

a , a a sin

Osservazione: 1) Noti 2) Noti x y

a y a  

2 2



 a a a

x y

 a

  y

tan

 a

 a x

3) Somma vettoriale con vettori espressi in rappresentazione cartesiana:

   

a b  

          

x x

 

a , b c a b a u a u b u b u a b u a b u

x x y y x x y y x x x y y y

a b

 

y y

 

 a b c

x x x



c  

a b c

 y y y

 

2 2

c c c

x y

c

  y

arctan

c c x

CINEMATICA NEL PIANO  



 x x t



L.O.  



 y y t

Definiamo il vettore posizione:

 

 x t

       

   



r t r t x t u y t u

  x y

 y t

questo è un modo equivalente al primo di esprimere la L.O.

Nel vettore posizione le componenti non si conservano, variano in t.

 

2 2

r x y

y

  arctan

r x

Definiamo il vettore spostamento:



t , t | t t

1 2 2 1

 



r r t

1 1

 



r r t

2 2

  

r r r

2 1

   

r P P s

1 2

 Velocità vettoriale media.

 

r r r

 

1 2

v  

m t t t

2 1 t   r

0

Osservazione: poiché , la velocità media vettoriale ha la stessa direzione e verso di .

 Velocità vettoriale istantanea

 

   

r r r d r

   

1 2

lim lim

v t r ' t

 

1 1

t t t dt

  

t t t 0

2 1

2 1 t

1

 

Interpretazione fisica di v t

1 Quali direzione e verso avrà il vettore velocità istantanea?



Per la velocità istantanea ha la direzione e il verso di , la

d r

t t

2 1

quale è tangente alla traiettoria in :

t

1

  

v t d r

1 d r ds 

   : la corda tende alla traiettoria per .

v v t t

1 1 2 1

dt dt t

t 1

1 ds

 

tangente alla traiettoria nell’istante considerato si può scrivere:

Se definisco dove è

v v u u u

u t

t 1 1 t t

dt t

1

ds 

e orientato secondo il verso dell’ascissa curvilinea. Se 0

tangente in il moto è concorde con s e è

v

t 1

1 dt

ds  0

concorde con ; se il moto è discorde da s e è discorde da .

v u

u t

t 1

dt ds



v

La velocità scalare istantanea è la componente di sul versore ,

v u t

1

1 dt t

1

quindi è in un riferimento intrinseco alla traiettoria.

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DELLA VELOCITÀ VETTORIALE ISTANTANEA

     

 

r t x t u y t u

x y

d r ds

  significato fisico

v u

1 t

dt dt t

t 1

1

 

   

d dx dy

   

v x t u y t u u u

1 x y x y

t

dt dt dt

1 t t

1 1

       

dx dy

   

v t , v t

v v t u v t u dove x 1 y 1

1 x 1 x y 1 y dt dt

t t

1 1

Es. 

 x t



L.O.   2

 y 1 t  

  

    

Determinare , determinare , nei tempi , determinare il vettore spostamento in

r t r

r t

t t t

0 ;t

s

, t 1

s

1 2 1 1

2 2

1) Calcoliamo la traiettoria.   2

y 1 x

Nella legge oraria, sostituiamo in una delle due equazioni il valore t. In questo caso:

il grafico della traiettoria è quindi il seguente:

  t : P

     

    1 1

2

2) r t x t u y t u t u 1 t u

x y x y t : P

2 2

    

r t 0

u 1

u u

1 x y y

    

r t 1

u 0

u u

2 x y x

    

r r r u u

2 1 x y

   

2 2

r u u 2

x y 



u 1

    

y

arctan arctan

u 1 4

x

3) Calcolo e verifico che sono vettori tangenti alla traiettoria in .

v , v t ,t

1 2 1 2

   

d r

 

v t r ' t

dt

     

dx dx

     

v t u u x ' t u y ' t u u 2

t u

x y x y x y

dt dt





v 1

x

  

v 2

t

 y  

   

v v t u 0

u u

1 1 x y x

 

  

v v t u 2

u

2 2 x y

 m

v 1 s

1    m

v 1 4 5 s

2

  0

1 v  

   

y

arctan arctan 2

2 v x

 Accelerazione vettoriale media.



t , t | t t

1 2 2 1 