Fisica generale

R>R

2

1 1

= ( − )

R< R

1

2 Questo perché il potenziale è definito a meno di una

1 1

= ( − )

R <R< R costante e quindi la devo scegliere in modo che quando

V 1 2

2 R=R il potenziale risulti 0.

2

=0

R>R

2

Il grafico che mostra l’andamento di potenziale identico a prima fino

a R ma poi ovviamente è nullo.

2

Con le informazioni che ho posso quindi calcolare la capacità di

questo condensatore sferico che ho creato:

( )

= =

−

Generatore di differenza Condensatore

di potenziale 55

19-05-2020

Condensatore cilindrico idealmente infinitamente lungo

È composto da un cilindro conduttore carico +Q di raggio “a” circondato da un guscio cilindrico carico -Q

di raggio interno “b”. Il campo è radiale uscente dal cilindro interno.

Calcoliamo il campo

Per R<a e R>b è ormai ovvio che il campo deve essere nullo; resta quindi da calcolarlo per a<R<b prendendo

una superficie gaussiana cilindrica in questa regione; il flusso sarà quindi:

= 2 =

0

Ricaviamo il campo per a<R<b:

= 2

0

Calcoliamo ora la differenza di potenziale tra le armature notando che quella esterna ha potenziale minore:

− = − ∫ = ∫ = ∫

2 2

0 0

Inverto per ottenere la differenza di potenziale in direzione del campo:

( )

= − =

2

0

Possiamo ora calcolare la capacità:

= ( ∕ ) 56

CIRCUITI COI CONDENSATORI

Questo è il circuito più elementare che si possa disegnare, caratterizzato da un

generatore ai capi del quale vi è una differenza di potenziale V e un

condensatore di capacità C, quanta carica si può accumulare nel condensatore

una volta all’equilibrio per questa situazione?

=

Ma se avessi un circuito con più condensatori a diversa capacità? Per farlo definiamo prima la capacità

equivalente ossia la capacità di un circuito ideale che ha la stessa V del circuito considerato e che accumula

sulle armature di un solo condensatore tutte le cariche dei condensatori del circuito considerato.

Condensatori in parallelo

Si definiscono tali quando la differenza di potenziale ai capi dei due o più condensatori è la stessa

Potenziale più alto, i punti A e C sono equipotenziali;

Potenziale più basso i punti B e D sono equipotenziali.

= =

Le capacità saranno quindi:

1 2

= =

1 2

Le cariche e quindi la capacità equivalente saranno, immaginando il circuito equivalente:

= =

1 1 2 2

↓

+ +

1 2 1 2

= = = = +

1 2

Questo calcolo vale per un qualsiasi numero n di condensatori in parallelo, in generale:

= + +. . .

Condensatori in serie

Sono tali quando hanno un’armatura in comune

Inizialmente quel pezzo di circuito è neutro, quando si applica una

d.d.p. il condensatore C si carica di una carica +Q da un lato e una

1

-Q sull’altro, ma dovendo restare neutro l’armatura in comune del C 2

si carica di una +Q e quindi l’ultima armatura rimasta di C di -Q.

2

Quanto varrà Q?

Identifichiamo i tre punti nodali A, B e C e calcoliamo le rispettive d.d.p.

Tra A (a potenziale più alto) e C (a potenziale più basso) c’è il generatore quindi V -V = V

A C

Tra A (a potenziale più alto) e B (a potenziale più basso) c’è il condensatore quindi V -V =Q/C

A B 1

Tra B (a potenziale più alto) e C (a potenziale più basso) V -V =Q/C

B C 2 )

− = (1 ∕ + 1 ∕

Se sommo membro a membro le ultime due equazioni ottengo: 1 2

Andando a sostituire nella regola generale ricavo la capacità equivalente che ovviamente varrà per n

condensatori in serie:

= + +⋯

57

È importante notare che caricando un condensatore io accumulo energia elettrostatica (=batteria).

Man mano che io aumento le cariche il potenziale aumenta, quindi all’inizio è richiesta poca energia ma

andando avanti ne è richiesta sempre di più quindi non vale come per una singola carica

2

= → =

Ma devo aggiungere le cariche a poco a poco provocando piccole variazioni quindi immagino di aggiungere

a q già presente un dq per ogni variazione: = ∙

= ∕

Quindi il se il potenziale iniziale è aggiungendo la carica e quindi energia elettrostatica diventa:

=

Questo avviene partendo da zero fino alla carica finale Q, matematicamente questo consiste in un integrale:

ⅆ

=∫ =

Ricordando che Q=CV: 1 2

=

2

Forma molto simile a tutte quelle che esprimono l’energia negli altri ambiti (es elastica)

L’energia si accumula nel campo elettrico generato, questo risulta più chiaro prendendo come esempio un

condensatore piano:

= =

Ricordando da prima che e possiamo calcolare

0

quanto vale U: 1 1

2 2 2

= = ⋅

0

2 2

↓

= ⅆ

Notiamo che Ad non è altro che il volume del condensatore e quindi posso definire una densità di energia:

1 2

= =

0

2

Questa definizione non vale solo per il condensatore piano ma è generale. 58

20-05-2020

DIELETTRICI

I dielettrici sono materiali non conduttori all’interno dei quali però esistono o si possono indurre dei dipoli

elettrici; cioè le molecole che lo compongono possiedono un momento di dipolo o gli può essere indotto

mediante campo elettrico.

Cosa accade se pongo un dielettrico in un campo elettrico? Lo si capisce dal paragone con un conduttore.

Nel caso di un conduttore quando viene immerso in un campo

elettrico questo genera una separazione di carica e quindi un

campo elettrico indotto in opposizione al campo esterno in modo

che il campo totale sia nullo.

Il dielettrico è caratterizza da una serie di dipoli orientati a caso all’interno del corpo e il

campo è comunque nullo.

Quando lo si immerge in un campo elettrico i dipoli si orientano nel verso del campo

elettrico e, se mentre prima tutti gli effetti dei dipoli essendo casuali erano bilanciati, adesso che sono

omogenei i sommano andando a creare un campo elettrico di polarizzazione che come per il conduttore si

oppone al campo ma in questo caso non si riesce ad annullare del tutto l’effetto

del campo esterno ma solo a ridurlo di un fattore sempre maggiore di 1

definito come la costante dielettrica del mezzo.

̅

̅ =

Se ponessimo un dielettrico in un condensatore carico di capacità C?

= = ∕

Sappiamo che normalmente e in un condensatore piano 0

ma se poniamo all’interno un dielettrico di costante il campo elettrico

interno viene ridotto di questo fattore e quindi lo stesso avviene per la d.d.p.

mentre la carica resta uguale: tutto questo provoca un aumento della capacità

tale che:

= = =

↓

= =

ⅆ

A questo punto introduciamo il concetto di permeabilità dielettrica definita come:

=

La quale essendo dipendente da è propria di ogni mezzo mentre vale solo per il vuoto.

0 59

Com’è possibile esprimere la legge di Gauss per i dielettrici?

̅ ̅

∮ ⋅ = ∕

Ricordiamo che gauss nel vuoto vale , a questo punto però oltre le cariche libere devo

0

anche considerare le cariche dielettriche quindi è dato da due contributi:

−

̅ ̅

∮ ⋅ =

0

Il meno è giustificato dal fatto che le cariche del dielettrico si oppongono al campo.

Il problema è che io non conosco le cariche del dielettrico quindi devo trovare un modo di esprimere

gauss in un modo alternativo.

Per prima cosa posso esprimere il campo come:

̅ ̅ ̅

= −

0

Quindi Gauss diventa: −

̅ ̅ (̅ ̅ ̅

∮ ⋅ = ∮ − ) ⋅ =

0

0

Risulta ovvio quindi che:

̅ ̅

∮ ⋅ =

0

Se sfruttiamo la definizione di permeabilità: ̅ ̅ ( − 1)

0 0

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

= − = → = = ( − 1)

0

Quindi se riprendiamo la legge di Gauss

̅ ̅ ̅ ̅

∮ ⋅ = − = − ∮ ⋅

0 0 0

Posso quindi portarlo al primo membro:

(̅ ̅ ̅

∮ + ) ⋅ =

0

Quindi io posso definire una sorta di legge di Gauss sfruttando i campi relativi alle cariche

A questo punto definisco un nuovo tipo di campo definito come:

̅ (̅ ̅

= + )

0

A questo punto definisco Gauss come: ̅ ̅

∮ ⋅ ⅆ =

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

+ =

Ora devo però esprimere in funzione di , ricordando che :

̅ ̅

=

0

↓

̅ ̅

=

Tutto questo per dire che posso identificare un campo di induzione che dipende dal campo elettrico

anch’esso a meno della costante del mezzo dielettrico in cui mi trovo. 60

CORRENTE ELETTRICA

Possiamo considerare la sezione di un filo in cui scorrono le cariche e

immaginare di contare quante ne passano nell’unit&agra