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Apparato matematico in Fisica II
- Commutatività
- Moneta
- Oggetto
- Commutatività
Campo
- Prodotto scalare
Spazio vettoriale
- Complessità rispetto alla metrica
Spazio vettoriale di Hilbert
Operatore Nabla
- Gradiente
- Divergenza
- Rotore
Vettore
TH DI HELMHOLTZ
- ∇ VF = (fx, fy, fz) ∈ C2, F ∈ ℝ3
- lim (r(t)⟶∞) |F(r(t))|/|r(t)| < ∞ (riconducibile)
∃ A, φ t.c. F = ∇ x A - ∇φ
A(r) = (1/4) ∫ ∇' x F(r')/|r - r'| dV' + Φ∇x j div(r') origem morto, rotante
φ(r) = (1/4) ∫ ∇' · F(r')/|r - r'| dV' - Φ div(r) j Φ elemento sono
Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
Flusso Φ (E): Quantità scalare applicata ad un campo vettoriale.
- Superficie (chiusa o aperta)
- Campo vettoriale
Sulle superficie
Φ(E) = ∫∫S È · dS
= ∫∫S È dS cosα
Flusso Totale
dΦ(E) = È · dS → Flusso Infinitesimo
Informazioni al numero di linee che entrano o escono
Linee di Campo: curve che hanno come tangente,in ogni punto, il vettore deldato campo.
Equazioni di Maxwell (Forma Differenziale → Informazioni Puntuali)
∇ ⋅ E = ρ / ε0
∇ ⋅ B = 0
∇ × E = -∂B / ∂t
∇ × B = μ0 J + μ0 ε0 ∂E / ∂t
In conclusione
Se ci allontaniamo allontaniamo (distanza ≫ d) dal baricentro del dipolo lungo un asse di congiungente delle cariche, siamo esternamente nella zona
EP = P / 2πε0 r3
Il campo scalerà, risultarà che a qualsiasi quota allontanata distante dal banicentro del dipolo, il campo elettrico
EP ∝ 1 / r3
(Check equation)
Dipolo elettrico
- EP = -P(->) ⋅ E(->)
- M = p(->) x E(->) ⇒ M = q u E m sinθ
- d(->) L / dt = F1 + F2 = 0
- d(->) M / dt = M(->) P x E = I(->) ω̇
⇒ -PE m sinθ = Iθ̇
⇒ Iθ (t) + PE m cose = 0
θ̇ + PEm cose / I = 0
EQUAZIONI CARDINALI
θ̇ = 0 / I → 0
CHECK
- Se mi allontano lungo 5x ad una distanza ≫≫ R, il bordo è zero.
- R ≫ R → R2 + Z2 ≈ Z2 → E = σ/2ε0 (1 - Z2/R2) = σ/2ε0 (0) = 0 ▷ OK
- Se mi trovo molto vicino al disco (Z ≫≫ 0), il campo è costante.
- Z ≪≪ R → R2 + Z2 ≈ R2 → E = σ/2ε0 OK3 ▷
- Considero Σ superficie sferica con raggio r = 1 e centro nell'origine.
Per calcolare il flusso di E attraverso Σ applico la legge di Gauss per il campo elettrico (I equazione di Maxwell) in forma integrale:
∫∫Σ E→ · dS→ = Qint/ε0
Conosccendo il valore della carica netta interna alla sfera con superficie Σ integrando la distribuzione di carica ρ(r):
Qint = ∫01 ρ(r)4πr2 dr = ∫01 ar 4πr2dr = ∫01 ar4πr3 = 4πa [ r4/4 ]01 =
= 4πa1/4 = πa
Quindi, il flusso contato:
⦁ (Σ E→) = πa/ε0
- Considero ora Σ superficie di un'altra sfera concentrica a Σ, con raggio r1 = 3 m.
Per trovare la divergenza di E→ nella superficie Σ1, applico la legge di Gauss per il campo elettrico in forma differenziale:
∇·E→ = ρ/ε0
ρ = QINT/Volume
Volume = (4/3) π(r1)3
Qint = ∫0r1 ρ(r) 4πr2 dr = ∫0r1 ar4πr2 dr = 4πa [r4/4]0r1 = = 4πa (r1)4
= πa (r1)4
ρ = Q/(π(r1)5) = 3/4 ar1
Quindi, la divergenza cercata:
∇·E→ = ρ/ε0 = (3/4) ar1(1/ϵ)
Sostituendo il valore di ρ :
∇·E→ = 9a/4ϵ
- Nel caso elettrostatico il campo è conservativo: il lavoro elettrico - U non dipende dal cammino percorso. Quota natura di V si chiama:
∫Γ E⃗ ·dℓ⃗ =0
- V è il campo scalare il cui gradiente è l’opposto di E⃗
E⃗ =−∇V
- Quando LAB = −ΔUAB = −qΔVAB
- V essendo scalare è una sola equazione, mentre E⃗ ha tre componenti.
- V è generalmente in fase da verbale, andando 1/s₁, rispetto ad E⃗ che va come 1/s².
- I campi E⃗ più rapido tornano V ⇒ E⃗ = -∇V
- Quando è importante dirV, l’intuito facilitante le 1 eq. di Maxwell in
elettrostatica ∇×E⃗ =0
[...]
E(x,y,z)= -\begin{pmatrix} \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial x}\\ \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial y} \\ \frac{\partial V(x,y,z)}{\partial z} \end{pmatrix}
- *In alcuni campo scalari sono esse curve unite sono CHIUSE delle
LINEE EQUIPOTENZIALI (in nero).
Capacità Elettrica
C = Q/ΔV
- Carica puntiforme → 3 dimensioni
- Q
- E0 = 1/4Π carica per unità
- Conduttore lineare molto infinito → 2 dimensioni
- λ
- Es = 1/2Πr campo elettrico molto raggio r
- Conduttore perpendicolare molto piano infinito → 1 dimensione
- E0 = 1/2 campo elettrico in un dato punto
Geometria del campo E nelle varie dimensioni:
3D
2D
1D
Condensatore Sferico
Q = ε0 E (4πr2) → E = Q / 4πε0r2
ΔV = ∫r1r2 Edr = ∫r1r2 Q / 4πε0r2 dr = Q / 4πε0(1/r1 - 1/r2)
C = Q / ΔV = 4πε0 r1r2 / (r2 - r1)
R2 >> R1 → Cterra = 4πε0R1
Condensatore Cilindrico
Superficie di Gauss cilindrica con r = (L, r)
E = Q / (2πε0 Lr)
ΔV = ∫ab Q / (2πε0 Lr) dr = Q / (2πε0 L) ln(b/a)
C = Q / ΔV → C = 2πε0 L / ln(b/a)
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