Fisica 2 (Elementi di Elettromagnetismo) riscritta

FISICA 2

ELETTROSTATICA

PUNTO MATERIALE = ente privo di massa e privo di dimensioni. Un punto materiale può possedere una CARICA legata all'interazione elettrica.

Gli atomi sono globalmente neutri e sono grandi circa 1 Angstrom = 10^-10 m. Il nucleo è grande circa 10^-14 m perciò fra nucleo ed e^- c'è uno spazio grande discreto. Gli elettroni possiedono la CARICA ELEMENTARE il valore esatto pari a 1,6·10^-19C => la CARICA È QUANTIZZATA.

Nel 1900 si scoprì l'esistenza di due polarità (+ e -) e Franklin osservò come le cariche, se libere, furono elettriche de lungo ad una intensità dipendente della distanza.

CONDUTTORI = materiali (metalli) in cui gli e^- del guscio ext hanno libertà di movimento.

ISOLANTI = materiale in cui e^- sono vincolati ai nuclei.

Strisciando un corpo con un panno di lana a causa dell'attrito si ha il trasferimento di e^- e uno squilibrio di carica. Avvicinando il corpo in questione (che supponiamo carico positivamente) un conduttore si ha l'INDUZIONE ELETTROSTATICA.Il conduttore continua a restare globalmente neutro ma le cariche si riequilibrano e si instaurano delle forze elettriche (fra le zone + e -) e repulsive (fra + e +).

Dato che le cariche sono più vicine F_att > F_rep però la risultante sarà tale da far avvicinare i due corpi.

PRINCIPIO DICONSERVAZIONE DELLA CARICA → In un sistema elettricamente isolato la somma algebrica di tutte le cariche rimane costante nel tempo.

È possibile caricare precedentemente un conduttore sia posizionato all’interno e collegarlo poi a terra con un filo conduttore così che la carica che non viene elettrizzata per induzione si distribuisca su tutto lo Terra e venga quindi dispersa) per poi terminare il collegamento.

LEGGE DI COULOMB

Le carice si misura in COULOMB, un pendolo iagn = |q noto| = 1,6•10^-19C, quindi 1 C è larassimo. Lo strumento di misure è l’ELETTADSOOPIO A FOGGE, costituiti da una bacelletta metallica con un pomelli ed uno esternete e due steli: boucle di oro rusùlle all’interno.

Avvicinando al pomelli un corpo carico per induzione le carica nell’elettroscopio si posiziona e si accumula carire dello stesso segno del corpo nella fogge che, respingents, si erovves.

LEGGE DI COULOMB

\[\vec{F}_{el} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \hat{r}\]

Quindi scelti un versore r̂ nella congiungente fra due carice la force ellettra esertate da q₁ su q₂ ha direzione pari delle congiungente, verso costante con r̂ se q₁q₂ ≥ 0 (F. REOUSIVA) o discordo di r̂ se q₁q₂ (CF. ATTRATTIVA) e modulo che dipende dalle carice e dal quadrato delle distanze.

ε₀ = 8,85 • 10^-12 \[\frac{C^2}{N \cdot m^2}\] → COSTANTE DIOELETTRICA DEL VUOTO

Si puo porre \[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = k_0\] con k₀ = 9 • 10⁹ \[\frac{N \cdot m^2}{C^2}\]

CAMPO ELETTRICO E MOMENTO DI DIPOLO

Due cariche puntiformi e opposte +q e -q vincolate ad una mutua distanza d sono dette DIPOLO ELETTRICO.

q+ ##### -q

di cariche sono vincolate perché altrimenti per le leggi di Coulomb si equivarrebbero.

Vogliamo calcolare il campo elettrico in un punto P distante x dal punto medio del segmento che unisce le cariche (possono supporre che centro di massa) e posto lungo l’asse stesso di questo segmento.

Per il principio di sovrapposizione _EP = _Eq + _E-q, dove, essendo |q| = |-q| e le distanze r fra P e le cariche lo stessa, su |_Eq| e _E-q|.

d₂ x -q q _E-q

z

Scomponendo nelle componenti ⊥ e // al dipolo si osserva che i contributi ⊥ si annullano, mentre quelli // si sommano.

Quindi: _EP = _Eq + _E-q = _E/// + _E///' = -2_E/// ^j

_E/// = _Eqsinθ = -(1/(4πε₀) q/r²) sinθ tuttavia d₂

perciò _E/// = 1/(4πε₀) q/r² d/2r quindi _EP = -2 _E/// ^j =

= -1/(4πε₀) qd /r³ ^j

CAMPO ELETTRICO SULL'ASSE DI UN ANELLO

Al centro dell'anello E = 0 poiché le varie componenti si elidono due a due.

Prendendo sull'asse a distanza x dal centro si considera un tratto d e il suo simmetrico. Avremo in entrambi dq = λ d ed entrambe generano due dE uguali in modulo, le cui componenti dell'asse si elidono.

La generica componente || sarà dE = 1/4πε₀ dq cosθ = 1/4πε₀ λ d cosθ

e E_tot sarà E = ∫ dE = ∫ 1/4πε₀ λ d cosθ

Sia λ e che θ sono costanti al variare di d e si potrà fare

E = cosθ ^∫d _Anello = cosθ/4πε₀n² ∫dq = cosθ/4πε₀n² Q

dove Q è la carica totale e si può trovare per E io Q = λ 2π R

Poiché r = √R²+x², e x = r cosθ

=> cosθ = x/r = x/√R²+x²

sostituendo si ha:

E = cosθ * 1/4πε₀ λ ^x _/n² Q = x/√R²+x² * 1/4πε₀ 1/(R²+x²) Q = Q/4πε₀ ^x _{/(R²+x²)^3/2}

Quindi in un punto sull'asse distorto x dal centro si ha un campo el. diretto uscente lungo l’asse e di modulo,

E = 1/4πε₀ ^Q _{(R²+x²)^3/2} x

Integrando e tenendo conto che l'angolo solido associato ad una qualunque superficie chiusa è 4π, si ottiene:

∮ E (E) = ∮_S E · dΩ = q / ε₀

A questo punto si dimostra che le cariche esterne a S non contribuiscono al flusso. Infatti la linea di campo in questo caso entra ed esce, dando luogo a due contributi opposti (i due PS danno segni opposti) che si elidono, mentre passati un angolo solido si nota come nel primo contribuisce lo stesso che nel secondo uno se n'è già inteso, e per ciò esso si è che si escludono con SR questi sintomi appunti in un modo.

S: giunge inoltre a THM Gauss tenendo conto del principio di sovrapposizione e delle proprietà additive degli integrali.

CAMPO ELETTRICO DI UN FILO

Per dedurre in THM Gauss E e distanza x da un filo infinito conviene prendere per sup. chiusa un cilindro con la base ⊥ al filo, di base A e altezza h.

∮ E (E) = Φ(B)_Base + Φ(E)_Lat Tuttavia nelle due basi E · n = 0, perciò Φ(E)_Base = 0, e l'unico contributo è dato della Sup. lat., olcro per simmetria E è costante in modulo ed E · n = E.

Quindi Φ(E)_Lat = E · Sat = E · 2πx · 1 = Q_INT / ε₀

=> E · 2π · x · ℓ = λℓ / ε₀

=> E = 1 / 2πε₀ · λ / x

CAMPO ELETTRICO DI UN GUSCIO SFERICO

Consideriamo uno sfero cavo di spessore infinitesimo (guscio) di raggio R. Calcoliamo E all'interno (per x < R) e all'esterno (per x > R).