Fisica Generale 1

Legge oraria

r(t) = [x_C(t), y_C(t), z_C(t)]

i j k

x_C(t) y_C(t) z_C(t)

relativa media:

v̅ = (r(t+Δt) - r(t)) / Δt

accelerazione media:

a̅ = (v(t+Δε) - v(t)) / Δt

velocità istantanea:

v = lim v̅ = dr(t)/dt

accelerazione istantanea:

a = lim a̅ = dv(t)/dt

velocità dell'accelerazione:

v(t) = v(t₀) + ∫_t0^t a(ξ)dξ

a(ξ) = d/dt v(t)

∫ a(t)(tv) = ∫ d/dξ a(ξ) dξ

legge oraria dalla velocità:

r(t) - r(t₀) + ∫_t0^t v^ξdξ

∫_t0^t r(t) = ∫_t0^t v^ξdξ

legge oraria dall'accelerazione:

r(t) = ∫_t0^t v(t¹)dξ₁ + r(t₀)

= ∫_t0^t (v(t₀) + ∫_t0^t1 a(t¹)dσ)d¹ + r(t₀)

Moto rettilineo uniforme (1D)

a = 0

v(t) = v₀ (costante)

x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀)

Moto rettilineo uniformemente accelerato (1D)

a = a₀ (costante)

v(t) = v₀ + a (t - t₀)

x(t) = x₀ + v₀ (t - t₀) + ¹/₂ a (t - t₀)²

Moto circolare (2D)

Coordinate polari

P → (R, ϕ)

x(t) = R cos ϕ(t)

R = √(x² + y²)

ϕ(t) = ^S/_R

Coordinate cartesiane

r̅(t) = {x(t), y(t)}

P → (x, y)

y(t) = R sen ϕ(t)

tg ϕ = ^y(t)/_x(t)

S(t) = distanza di P da O lungo la traiettoria (arco curvilineo)

ϕ(t) = ^S(t)/_R

S(t) = R ϕ(t)

v_s = ^{d S(t)}/_{d t} = ^d/_{d t} (R ϕ(t)) = R ^{d ϕ(t)}/_{d t} (velocità angolare)

ω = ^{d ϕ(t)}/_{d t}

• v_s = R ω

Moto del Proiettile

a⃗ = (0, -g, 0)

V⃗₀ = (v₀ cos θ, v₀ sin θ, 0)

Leggi orarie

• a_x = 0
• a_y = -g
• a_z = 0

V⃗(t):

• v_x = v₀ cos θ
• v_y = v₀ sin θ - gt
• v_z = 0

r⃗(t) :

• x(t) = v₀ cos θ t
• y(t) = v₀ sin θ t - 1/2 g t²
• z(t) = 0

traiettoria: y_g = tan θ x - 1/2 g x²/v₀² (1 + tan² θ)

tempo di volo: t_w = 2 v₀ sin θ / g

tempo per la quota massima t_q = v₀ sin θ / g

quota massima: y_g = v₀ sin θ v₀ sin θ / g - 1/2 g = v₀² sin² θ / g²

gittata: y_g x = (v₀/g) sin(2θ)

^m/_b [ln(^b/_m v_x(t) + g) - ln(^b/_m v_o + g)] = -t

ln ^{(b/_m v_x(t) + g)} _{(^b/m (vo) + g)} = -t ^b/_m

^b/_m v_x(t) + g ^b/_m (v_o) + g = e^{-t b/_m}

^b/_m v_x(t) + g = e^{-b/_mt (b/_m v_o + g)}

v_x(t) = e^{-b/_mt (b/_m v_o + g)} - g ∕ ^b/_m

v_x(t) = e^-b/_mt (v_o + ^m/_bg) - ^m/_bg

all'istante t = 0 v_x(0) = e⁰ (v_o + ^m/_bg) - ^m/_bg = v_o

all'istante t → +∞ v_x(t) = lim _{t → +∞} e^-b/_mt (v_o + ^m/_bg) - ^m/_bg = ^m/_bg

Momento della quantità di moto e momento della forza

polo Ω

il momento della quantità di moto del punto P rispetto al polo Ω è definito

il momento della forza è definito:

Teorema del momento della quantità di moto

Se il polo è fermo

momento della forza

Forze conservative e non conservative

Una Forza è definita conservativa se il lavoro che essa compie dipende unicamente dalle posizioni iniziale della traiettoria e dalla posizione finale (la traiettoria non conta)

Il lavoro della Forza non conservativa dipende anche dalla traiettoria che compie

Lavoro della forza di attrito

L_AB = ∫_A^B f_ad ds = -f_ad L_AB

Energia Potenziale Per Forze conservative

definisco U: (x,y,z) → S

L_AB = -U(B) + U(A) = -ΔU

Per F⃗ = F⁰ ⇒ L_AB = -U(z₀) + U(A) = -mgz₀ + mgz_A = -mgΔz

U è definito a meno di una costante

L_ab = K_b - K₀ T. Energia cinetica

L_ab - U_b + U_a Proprietà Forze conservative

K_b - K_a = -U_b + U_a

K + U := energia meccanica di un punto

Rototraslazione

_v = _v1 - _o0

_o0 = X_î + Y_ĵ + Z_k̂

_xⁱ̂ + _y^ĵ + _z^k̂ = (x-X)_î + (y-Y)_ĵ + (z-Z)_k̂

^d/_t (_l ^v) = (xⁱ̂) + (y^ĵ) + (z^k̂)

(_x ⁱ̂) = ẋ_î + x ć_î = ẋ_î + x (ωx_î) = V_xî + x (ωx_î) _{legge di poisson}

l'evo per (y^ĵ) e (z^k̂)

_v = V_{xî + x(ωxî) + y(ωx^ĵ) + uzk̂ + z(ωxk̂) = ⁿ + ^wx^v̇}

^d/_t (_v-_ȯ) = (x-X)_î + (y-Y)_ĵ + (z-Z)_k̂

(x-X)_i̇ (V_x-V_x)_î l'evo per (y-Y)_ĵ e (z-Z)_k̂

(^v-_ȯ) = (N_x-V_x)_î + (N_y-V_y)_ĵ + (N_z-V_z)_k̂ = ⁿ-^v̇

^v̇ = (^v-_ȯ)

ⁿ + ^wx^v = ⁿ-^v̇

^v̇ = ⁿ- (^v + ^wx^v)

^v̇ = ⁿ- (^v + ^wx^v)

^dn/_dt = _x ⁱ̂ + _y^ĵ + _z^k̂