Fisica generale 1

Accelerazione

Anche in questo caso si distinguono due tipi di accelerazioni:

• Media.
• Istantanea.

Il motivo di questa distinzione è analogo a quello dei due tipi di velocità.

Accelerazione Media

_t1 ^t2 tempo (s) 0 ......................................... v(t₁) ............ v(t₂) Δv a_m = Δv / Δt a_m = [v(t₂) - v(t₁)] / (t₂ - t₁)

Accelerazione Istantanea

_t ^t+dt tempo (s) 0 ......................................... v(t) .......... v(t+dt) d(v) a_i = dv / dt a_i = [v(t+dt) - v(t)] / dt

Procedimento Opposto

Ora possiamo applicare il procedimento inverso. Data l'accelerazione o la velocità possiamo ricercare lo spostamento del corpo.

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CINEMATICA

La cinematica studia il movimento dei corpi senza sapere le cause dello spostamento stesso.

GRANDEZZE

Le grandezze in gioco sono:

• SPOSTAMENTO
• VELOCITÀ
• ACCELERAZIONE

In funzione del tempo,

VELOCITÀ

Si distinguono due tipi di velocità:

• MEDIA
• ISTANTANEA

La velocità media viene calcolata nei confronti di grandi spostamenti in un intervallo di tempo specifico.

La velocità istantanea viene calcolata nei confronti di spostamenti molto piccoli (infinitesimamente piccoli) in un intervallo di tempo piccolo.

VELOCITÀ MEDIA

Δx

Vm = Δx / Δt

Vm = [x(t2) - x(t1)] / t2 - t1

VELOCITÀ ISTANTANEA

dt

Vi = dx / dt

Vi = [x(t+dt) - x(t)] / dt

MOTO RETTILINEO UNIFORME

In questo tipo di moto abbiamo un corpo che si muove su una traiettoria o approssimabile ad una linea retta con velocità costante.

LEGGE ORARIA

Esaminiamo le due equazioni della cinematica principali:

• x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v(t) dt.
• v(t) = v₀ + ∫_t₀^t a(t) dt.

In questo caso visto che si tratta di un moto con velocità costante l'accelerazione sarà nulla.

Di conseguenza possiamo riscrivere le seguenti equazioni fondamentali considerando solo la prima:

x(t) = x₀ + ∫_t₀^t v dt. (v non dipende dal tempo perché è costante.)

Risolvo l'equazione ed ottengo:

1. x(t) = x₀ + v∫_t₀^t dt implica x(t) = x₀ + v(t-t₀)

EQUAZIONE FONDAMENTALE DEL MOTO.

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Risolv l'equazione

X(t) = X_o + ∫_to^t V_o dt + ∫_to^t a (t - t_o) dt.

X(t) = X_o + V_o (t - t_o) + 1/2 a (t - t_o)²

Tutti i problemi che hanno a che fare con questo tipo di moto si risolvono con le tre equazioni fondamentali del moto.

ESERCIZIO 1

Una macchina si muove con velocità iniziale pari a 70

Questa accelera con accelerazione costante fino a fermarsi dopo un tempo pari a 20 secondi.

Calcolare:

• Accelerazione a ?
• Spazio totale X(t) = ?

V_o = 70 ^m/_s

x_o = 0

X(t) = ?

t_o = 0

t = 20 s

1. Prendiamo in considerazione la prima equazione fondamentale del moto in quanto ci sono meno incognite rispetto alla seconda:

V(t) = V_o + a (t - t_o)

2. Visto che la macchina si ferma appena che le velocità finale è pari a 0. Oltre a questo possiamo imporre sia X_o e t_o = 0.

x(t₂) = hmax = h + ^V₀2⁄_2g

1. Esaminiamo la seconda parte (B → C).

Analizziamo le due equazioni fondamentali del moto.

• x(t_f) = x₀ + V₀ (t_f - t₀) + ¹⁄₂ a (t - t₀)²
• V(t_f) = V₀ + a (t - t₀)

Trasformiamo queste due equazioni in base alle nostre condizioni e ai valori trovati nel punto precedente.

• x(t₁) = x(t₂) + V(t₂)(t₁ - t₂) - ¹⁄₂ g(t₁ - t₂)²
• V(t₁) = V(t₂) - g(t₁ - t₂)

Risolviamo prima la prima equazione (Abbiamo più informazioni).

0 = h + ^V₀2⁄_g + 0 - ¹⁄₂g(t₁² - 2t₁t₂ + t₂²)

Per facilitare i calcoli faccio finta che t₂ = 0.

0 = h + ^V₀2⁄_g + 0 - ¹⁄₂g t₁²

Mi calcolo il valore di t₁.

N.B. Alla fine devo sommare a t₁, t₂ perché per facilitarmi i calcoli l’ho impostato uguale a zero.

h + ^V₀2⁄_2g t₁² = 0 → t₂ = ^2(hg+V₀)⁄_g²

t₁ = ^{√​2(hg+V₀)}⁄_g²

Q_m = V₂ - V₁ / t₂ - t₁

a_i = dV_i / dt

a_i = d(V_ixi_Viyj_Vizk) / dt

a_i = dV_ixn / dt + dV_iyj / dt + dV_izi / dt

Si può esprimere l'accelerazione nei confronti dello spostando posizionando al posto della velocità il vettore posizione nei confronti del tempo.

Delle formule sopra indicate abbiamo:

• direzione velocità - tangente alla traiettoria in quel punto.

V = |V| ・ ɛ̂

• direzione accelerazione

L'accelerazione è data della somma di se componenti: tangente + normale. Cioè.

a = |a_t| t + |a_n| n

a_t = dv / dt

a_n = |V|² / R

la nostra equazione diventa:

y(t)₁ = V_oy - _gt₁²

Risolvo l'equazione:

y(t)₁ = h_max - V_oy - ₁/_{2 g} (V_oy)²

implies h_max = V_oy - ₁/_{2 g²}

h_max = V_oy - V_oy²/_g

implies

h_max = ₁/_{2 Voy²}/_g → h_max = _Voy²/_2g

SPAZIO IN CUI IL CORPO ARRIVA QUANDO SI TROVA ALL'ALTEZZA MASSIMA (x(t₁)).

Facciamo riferimento all'equazione fondamentale 1.

x(t) = V_ox ⋅ t

Al posto del tempo t dobbiamo mettere il tempo in cui il corpo arriva all'altezza massima. (Calcolato in precedenza) t_i.

ottengo:

x(t_i) = V_ox ⋅ t_i

Sostituo.

x(t_i) = V_ox ⋅ V_oy/_g → x(t_i) = V_ox ⋅ V_oy/_g

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