Fisica Del Plasma e Propulsione Elettrica (Parte 3 - Magnetoidrodinamica e Diffusione del Plasma)

Magnetoidrodinamica: (Equazioni MHD)

L'approccio MHD considera il Plasma come un Fluido Continuo Conduttore (in presenza di un campo elettromagnetico) senza specificare le “molecole” che lo compongono (elettroni, ioni, neutri). Il moto del Plasma è descritto su larga scala ed il fluido è costituito da Variabili Macroscopiche Complessive (in pratica invece di seguire il moto di un numero enorme di particelle, si segue l'evoluzione della velocità “fluida” del plasma).

Equationi “MHD” ➔ “Equationi Globali di Trasporto” + “Elettrodinamica”

Def: _{ρm = ∑α nα mα} ➔ e andipendent ρ = ∑_α M_α q_α

Def: “Velocità del Plasma” ➔ _{u = ¹/ρm ∑α ρmα uα}

Def: “Flusso di Massa” ("o" Densità di Corrente di Massa) ➔ _{Jm = ∑α mα nα u}

Def: “Velocità di Diffusione” ➔ _{Wα = uα – u}

Def: “Densità di Corrente Elettrica” ➔ _{J = ∑α Mα qα uα = ∑α Mα qα (u + Wα)}

J = ρu + (_{∑ Mα qα Wα})

Densità di Corrente di Conduzione (legata all'effetto Jolle)

N.B.

Nel caso euripido di flusso di massa non c’è distinzione fra due addendi perché: _{∑ ρmα Wα = ∑ ρmα uα – ∑ ρmα (∑ ρmα uα/∑ ρmα) = 0}

Per la definizione del tensore degli sforzi e del flusso di calore occorre introdurre una nuova velocità pseudotonica...

Per una singola specie ho P_α = ρ_mα < C_m C_α > dove C_m = V - U_α

In questo caso la velocità peculiare C_α e' stata definita rispetto alla velocità media della specie α. Nel gergoid HHD ci riferiamo alla velocità (globale) del plasma e quindi occorre definire:

Def   C_α0 = V - U   VELOCITA' PECULIARE DELLA SPECIE α RISPETTO ALLA VELOCITA' DEL PLASMA

P_α = ρ_mα < C_m C_α >   dove C_α0 = U_k + C_α - U   = W_k + C_α

P = ∑_α ρ_mα ( W_k W_k + C_α0 W_k + C_α W_k + W_k C_α )

N.B. Poichè W_α e' una variabile macroscopica (e' somma di indici)   < W_α > = W_k

⇒   < W_k > = W_k   ⇒   < C_α W_k > = < W_k C_α > = W_k < C_α > = 0

Def   TENSTORE DEGLI SFORZI DEL PLASMA

P = ∑_α P_α + ∑_α ρ_mα W_k W_α

Def   PRESSIONE SCALARE TOTALE   p = tr ( P_ij / 3 )

p = ∑_α p_α + 1/3 ∑_α ρ_mα W_k W_α

Dunque possiamo definire la pressione come TASSO DI TRASFERIMENTO DELLA QUANTITA' DI MOTO, dovuto a tutte le specie nel plasma, attraverso una superficie elementare che si muove con la velocità globale U.

In modo del tutto analogo definiamo:

Def   VETTORE FLUSSO DI CALORE   q = ∑_i 1/2 ρ_α < C_α0² C_α0 >

Questo può essere sviluppato come:   q = ∑_α ( q_α + W_k P_α + 3/2 ρ_mα W_k W_α + 1/ε ρ_mα W_k² W_α )

Aggiungiamo anche un'ulteriore definizione:

Def   DENSITA' DI ENERGIA TERMICA TOTALE   3/2 p = 1/ε ∑_α ρ_mα < C_α0²

∇ ∧ E = -_∂B/^∂t

∇ ∧ B = μ₀ J + ε_{0 ∂E}/^∂t

∇.E = ρ_ε

∇.B = 0

Imponite:

• ∇.(∇ ∧ B) = μ₀ ∇.j + μ₀ ε_{0 d}/^dt ∇.E = 0

(diverg.(rotore) = 0)

Quindi _{(∂ ^∇.E / ∂t)} = ε₀

Notiamo che:

• ∇. (∇ ∧ E) = μ₀ ε_{0 ∂}/^∂t ∇.B = 0

dunque ∇.B = cost.

dunque ∇.B = cost.

• ∇.B = 0

∇.B = 0, ∀ t

Quindi l’equazione ∇.B = 0 rappresenta una "condizione iniziale".

10 EQUAZIONI IN 10 INCOGNITE

L’equazione generalista della legge di Ohm non è molto "comoda", per questo consideriamo un caso particolare:

Integrale d'energia:

Le equazioni MHD ideali non hanno termini dissipativi → ∃ un integrale d'energia, ciòè possiamo, moltiplicando scalamente per u l'equazione del moto, ottenere a dimostrare:

K + U = cost

dove K = energia cinetica e U = energia potenziale

dopo qualche manipolazione otteniamo:

∫_V ( ¹/₂ ρ ^u² + ^B²/_2μ0 ) dv = cost.

K = ∫_V ¹/₂ ρ ^u² dv

U = ∫_V ( ^P/_r-1 + ^B²/_2μ0 ) dv

N.B.: ¹/_r-1 = ³/₂ per fluidi monoatomici, mentre ^B²/_2μ0 rappresenta una "pressione magnetica"

Evoluzione del campo magnetico:

Def "viscosità magnetica" → η_m = ¹/_σ0μ0

Evoluzione del campo magnetico:

∂B/∂t = ∇∧ (μ_BB) + η_m∇²B

Questa equazione risulta molto utile per capire come si comportano le linee di campo nel plasma, soprattutto per plasma ideale. Arriveremo col grosso modo il plasma ad ideal (parte ad una analisi dimensionale...)

Nel nostro esempio abbiamo una pressione isotropica e una tensione (effetto del campo magnetico), come se le linee di campo (tubi di flusso) fossero corde elastiche.

Condizioni stazionarie:

d / dt = 0

P - Π = 0

∇p + ∇^{B2 / 2μ₀} - ∂ / ∂z (^{B² / 2μ₀}) k̂ = 0

Sapendo che ∇·B = 0

∂^∂B_z = 0

∇( p + ^{B² / 2μ₀} ) = 0

P + ^{B² / 2μ₀} = cost.

Inoltre possiamo affermare che J, B e Superficie ISOBARA ; implica:

∇p = J ∧ B

∇p ⊥ J ; B

N.B.: L'equazione (◼) è alla base del "CONFINAMENTO DEL PLASMA": se per esempio ho del plasma contenuto all'interno di una superficie cilindrica posso applicare un campo magnetico esterno tale da avere sulla superficie una p = 0:

P + ^{B / 2μ₀} = ^{P₀ / 2μ₀}

• Dispositivo "theta-pinch".
• Il ΔV applicato genera I.
• I genera un'induzione magnetica B.
• B (uscente) genera J_θ (verso opposto a I)
• la forza J_θ ∧ B spinge il plasma verso l'interno fin tanto che un equilibrio fra la pressione termica (pressione cinetica) e pressione magnetica, si instaurano.

def:

β = -2μ₀ X² / l² (β ∈ [0,1] potrei più βMAX = ^{B2 / 2μ₀})

oppure β = 1 - (^{B / B₀})² (parametro spesso introddotto)