Fisica Del Plasma e Propulsione Elettrica (Parte 2 - Gasdinamica)

Introduzione (teoria gascinetica)

• Macroscopico: metodo trattato come continuo senza alcuna ipotesi sulla motura microscopica del sistema. I leggi di conservazione utilizzate sono più semplificate; e dunque devono essere impostate con relazioni empiriche per descrivere proprietà interne il fluido.
• Microscopico (approcci statistici)
  • Teoria Gascinetica
  • Termodinamica Statistica

1. Il sistema è costituito da nuclei molecole: la più piccola unità al di sotto della quale non sono mantenute le proprietà fisiche-chimiche delle singole specie del sistema. (Secondo questa definizione sono "molecole" anche le molecole poliatomiche, i gruppi atomici, gli ioni, gli elettroni, ...)
2. Il moto delle molecole è descritto dalla meccanica classica nel caso della teoria Gascinetica e dalla meccanica quantistica nella termodinamica statistica.
3. Il sistema è costituito da un numero grandissimo di molecole (1 m³ in 1 mm³ di aria in condizioni standard (298 K, 0.1 MPa) sono contenuti circa 2,5 x 10¹⁹ molecole) e le sue proprietà macroscopiche si ottengono applicando metodi statistici.

Nella Gascinetica vedremo come passare alle proprietà macroscopiche partendo da quelle microscopiche introducendo uno spazio a 6 dimensioni (R⁶) e la funzione di distribuzione f_α (r, v, t).

Inoltre consideriamo ciascuna molecola come punti materiali di massa "M" che possiedono 3 gradi di libertà traslazionali.

N.B. I gradi di libertà interni (rotazione, vibrazione, ...) richiedono in genere una trattazione attraverso le leggi della meccanica quantistica.

Lo Spazio delle Fasi

Abbiamo già definito e introdotto la "densità molecolare" come :

dove Δ³N = # di molecole in un volume Δ³r attorno a .

Se il sistema è costituito da una singola specie e se "m" è la massa della molecola, ovviamente possiamo definire :

ρ(r,t) = m • n (r,t)

N.B. Il moto di una molecola è definito istante per istante da due vettori (,) e dunque da 6 componenti reali. Questo è l'input per il passaggio a uno spazio R⁶ ➔ Phase Space

Nello spazio delle fasi il moto della singola molecola è identificato da un vettore Γ^* = (_x, _y, _z, _x, _y, _z). Anche se questo spazio non trova rappresentazione visiva (geometrica), possiamo pensarlo come :

Definiamo ora, per analogia ad M(r,t), la "funzione di distribuzione" nello spazio delle fasi :

Def. F_x (r, v, t) = lim (Δ^⁶N/Δ^⁶ε) = lim(Δ^⁶N/Δ³rΔ³v)

d^⁶N = F_x (r, v, t) d³r d³v = # molecole che, all'istante t, fra r ∈ Γ + dΓ, hanno velocità compresa fra v ∈ ε + dγ.

Essendo... d³N = n(r, t) d³r = # molecole che, all'istante t, si trovano fra r ∈ Γ + dΓ

Se il verso _n non dipendendo dalla velocità può esser portato fuori della media, quindi fuori dell'intergale triplo in dv³. Quindi:

Se H(x, y, t) è SCALARE ⇒

_Φȡm (_x) può essere interpretato come la componente l'uns il verso _n di un vettore di flusso _Φȡ(_x) :

⇒ _Φȡm = _Φȡ (_x) ⋅ _m̂

dove _Φȡ (_x) = mȡ < x (...)

Se H(x, y, t) è UN VETTORE ⇒

⇒ _Φȡ = mȡ < (2ℓy)x˳ _m̂

"DIADICO (TENSORE) DI FLUSSO" ⇒ _Φȡ = mȡ (< x_κ x_λ x_κ x_λ >)

N.B. Se _κ(x, y, t) fosse una matrice sterni un TENSORE DI FLUSSO (vector di ordine 3)!

N.B. In molte situazioni c'è conveniente considerare separatamente gli effetti dovuti della velocità media e dovuti alla "VELocINIA PECULIARE" (random), essando v = v_H + ζ_x dove ζ_x = "RANDOM VELOCITY":

_Φȡm (_x) = mȡ < x ζ_x . _m̂ + mȡ < x ζ_κ . _m̂

Def._Φȡ = mȡ x ζ_κ . _m̂

FUSSO DOVUTO At MOTI RANDOM DELLE MOLECOLE

_Φȡm(_x) ≡ _Φȡm(_x) quando h_κ = 0 (MEDIAMENTE FERICO)

ricordiamo che: < z _Xκ > = h_κ

< (ζ_x) = 0 per definizione!

BOLTZMANN EQUATION:

Consideriamo un volume di fluido (gas) soggetto particella per particella ad una forzaf (per esempio un campo di forza elettromagnetica). Ricordiamo che nellospazio delle fasi definiamo

dN_t(r,v,t) = f_t(r,v,t)dr³dv³ = n particelle che all’instante t appartengono nello spazio dellefasi al volume d³rd³v³ intorno alla posizione (r,v)

dn_t^B - dn_G = (dn²dn_t/d₂t)^{due interactioni fra particelle}

f_a (r’,v’,t+dt)d³r^v’d³v’ - f_a (r,v,t)d³rd³v = (∂f_a/∂t)d³rd³vdt

dove {r’=r+vdtv’=v+(f/m_t)dt}

Il volume modificato e quello iniziale sono legati del Jacobiano della trasformazione:

d³r^v’d³v’ = |J| d³rd³v dove J= ∂(r’,v’)/∂(r,v) (MATRICE 6x6)

In generale dobbiamo:

|J|= (J₁ J₂) dove {∂x_i/∂x_j=∂_ij∂v_i/∂x_j=dt/m_α (df_i/dx_j)}J₃ J₄ ∂x’_i/∂v_j=∂_ijdt∂v’_i/∂v_j=∂_ij+dt/m_α (df_i/dv_j)}

**Note**: Se F non dipende dalla velocità v o se ne dipende (come per esempio V (campo magnetico))∴ Posso trascurare nel determinante i termini superiori di (dt)² ∴ |J|=|⎡⎤|=1

|J|=1 ⇒ d³r’^v’d³v’ = d³rd³v

Data f(x) e g(x), prendiamo m = {g(x) = cst.} e x₀ un punto dello spazio vettoriale, x₀, tale che:

• x₀ ∈ m
• ∇g(x₀) ≠ 0
• f(x₀) sia il max/min relativo di f(x) su m

∃ λ ∈ ℝ (moltiplicatore di Lagrange) tale che:

∇f(x₀) = λ∇g(x₀)

Occorre quindi svolgere il sistema ⇒

• ∇f(x) - λ∇g(x₀) = 0
• g(x₀) = 0

Ricordando che siamo nello spazio delle velocità...

∇f(V) = 0 ⇒

• ^d⁄_dVx(fxptₓ) ; ^d⁄_dVy(fyptᵧ) ; ^d⁄_dVz(fzpt_z) = 0

g(V) = Vₓ² + Vᵧ² + V_z² - 0 ⇒ V_g(V) = [2Vₓ ; 2Vᵧ ; 2V_z]

⇒ ∇f(1) + λ∇g(1) = 0 = fx tᵧ t_z

dividendo per fx tᵧ t_z e ponendo β := λ ⁄ fx tᵧ t_z (fx tᵧ t_z = cost.) =

• ^d⁄_dVx + 2βVₓ = 0 => ¹⁄_fx dpx = -2βVₓ^dVx
• d(ml px) = -βd(Vₓ²)
• fx(Vₓ) = Ax e⁻^βVx²