Fisica Del Plasma e Propulsione Elettrica (Esercizi Svolti)

Moto delle Particelle

Esercizio 1

Calcolare il raggio di Larmor e la frequenza ciclotronica per le particelle nel fascio di particelle in prossimità del propulsore "Hall Effect", dove B = 20 mT. In particolare assumere:

1. Ioni di Xe_on accelerati da ΔV = 300 V
2. e = 3,0 eV = energia degli elettroni (questi hanno un angolo "pitch" di 45° rispetto alle linee di campo magnetico)

ω_c = ^191B/_m   →   {

• Elettroni → ω_ce = ^eB/_me     m_e = 9,184 · 10^-31 kg
• Ioni → ω_Ci = ^ZeB/_Mi     Mi = m_Xe

M_X.e = M_Xe · a.m.u   ( M_Xe = "massa atomica assoluta" e "a.m.u" = "unità di massa atomica" ) dalla tavola periodica → M_Xe = 131,29   ("amu" = 1,661 · 10^-27 kg )

→ m_Xe = 218 · 10^-27 kg

^{Nota Bene:} 1 T = 1 kg/C.sec

ω_ce = 3,52 x 10⁹ rad/s   ω_cXe = 14699 rad/s   (Assunto Z = 1)

r_c = ^V_t / _ωc   devo trovare V_t   →   B è molto piccolo → r_cXe è molto grande

Per via delle collisioni β ≃ 0 (≪ 1) dove β = parametro di Hall → Gli ioni hanno un moto parallelo ad E (come se fossero accelerati fra due piastre a differente potenziale)

→ ¹/₂ m_Xe V_t²(Xe) + eφ⁺ = 0 + eφ⁺

V_t(Xe) = √^{2 e ΔV} / _mXe   = 21 km/s

→ r_c(Xe) = 1,42 m

Mentre il suoto dip≠low può essere approssimato a quello senza il campo B, gli elettroni si dicono "MAGNETATI" mentre più non "NON MAGNETIZZATI".

⟹ Gli elettroni hanno un moto tale da non entrare nel propulsore dunque si muovono fra regioni quasi equipotenziali ⇒ E_⊥ ≈ eϕ_⊥

Siccome E_cm è non variabile allora E_cm = cost. = E ¹/₂ m_e v²_e = E ⟹ v_e = √ ^{2 E}/_me = 3,25 x 10⁶ m/s

⟹ v_⊥ = v_e0,825_{√ ²⊥} = v_e√ ^l/2 = 2,21 x 10⁶ m/s ⟹ r_ce = 0,65 mm

ESERCIZIO 2:

CALCOLARE LA CORRENTE DI HALL E IL PARMETRO DI HALL (per il propulsore ad effetto Hall di prima). Assumere:

• L = 3 cm (lunghezza del canale), ΔV vorra liminarmente
• M = plasma density = 5×10¹⁸ m^-3 e ν_em = 1.10⁷s^-1

τ⟂=θ/β = ωt Hall θ = β= ξυ ^e = ωLt/υ_Lem

J_H =: meV_E devi trovare la velocita

∇ × B ΔV L k ⟹ V_E^{^} = -

N.B. A causa delle collisioni, la V_E viene denotata, una vediamo che σ= ∝e[ω(β% ≈ π/l)] ⇒ v_E ≈ V_e sin β ≈ v_E

tanα =

Ecim = cost → 1/2 mv_⊥² + 1/2 mv_∥² = E = 1/2 mv_i²

Alla direzione devo imporre: α = π/2

μ|1 = 1/2 mv_L²/B₀ = cost = 1/2 mv_K*² = E/B(z^*) = B₀/B(z^*) = E/(1/2 mv(0))

⇒ V(0) sinα = V_⊥(0) ⇒ 1/2 mv(0)² sin²α = V_∥(0) 1/2 ⇒ 1/2 mv_i(0)

E → z^** = 1/tanα

eq. del moto 1) m dv_∥/dt = - μ|1 dB/dz ⟹ dv_i/dt

= m dv_i/dt = - μ|1 2B₀/L² dz ⇒ d/dt + (μ|1 2B₀/m L²) v_i = 0

⇒ ω_i^L = 1/L²

V_⊥(0) = V(0) sinα

V(0) =

Z_i =

Facciamo dunque un po' per trovare un valore approssimato (applico un "trucco")

Hp: _eVBC = e(V_B - V_C) / k_BT' → e(V_C - V_B) / k_BT' → e(V_C - V_B) / k_BT' ≫ 1

→ 1 - 2 exp ( _eVF / k_BT' ) ≈ 0 → T' ≈ eV_F / k_B 1/ln(2) = 50,2242 × 10³ K

Per trovare la densita n_e si avvera la formula approssimata:

I_iis ≈ m_e / e A √(k_BT') / m_e dove I_is è noto quando misuro I perchè:

I_iis = I_e∞ exp [ e/k_BT' (φ_e - φ_s) ] = I_e∞ exp [ e/k_BT' (φ_e - φ_s) ] ∙ exp ( - eV_ef / k_BT' )

I_iis - I

→ I_iis = - I exp ( - eV_ef / k_BT' ) / [1 - exp ( - eV_cf / k_BT' )] → dove eV_cf / k_BT' ≈ ln(2)

→ I_iis ≈ - I/φ'/2 → I_iis ≉ - I → M₃ ≈ 2I / eA √(m_ke/k_BT') = 1,34 x 10¹⁸ mm^-3

m_xe = 218 x 6^-20 k_P

A ≈ η'/2d∙L = 15,7 x 10^-6 m²

Cosa succede se V_BC viene diminuito? (I_iis NON DIPENDE DAL POTENTIALE)

- I = I_iis - I_e∞ exp ( e/k_BT' [φ'_f - φ₀] ) = I_iis - I_e∞C exp ( - eV_BC / k_BT' )

I = I_iis - I_e∞C → I_e∞C = I_iis - I

→ I = 1/1 |I_iis| ( exp ( - eV_dk/k_BT' ) - 1 ) / 1 + exp ( - eV_BC/k_BT' ) = 2,82 mA

Problema 2.1:

Mo = costante (uniforme)

Velocity Distribution Function ⇒ f(v) = k_o per |v_i| < v_o i = x, y, z

= 0 per |v_i| > v_o

Devo trovare k_o(Mo, v_o)

Mo = ∫_-∞^∞ F(v) dv_xdv_ydv_z I^o momento di F(v)

M_o = k_o ∫_-vo^vo dv_x ∫_-vo^vo dv_y ∫_-vo^vo dv_z = k_o • 8v_o³ ⇒ k_o(Mo, v_o) = _Mo/^8vo3 per |v_i| ≤ v_o

Problema 2.2:

2) def: II momento di F(v) ⇒ <Y> = ₁/^Mo ∫ F(v) • v dv_xdv_ydv_z

b) def: III momento di F(v) ⇒ Π = _ρm/^Mo ∫ v v F(v) dv_xdv_ydv_z = ρ_m <VV>

2) <Vx > =  ko/Mo ∫-vovo vx dvx ∫-vovo dvy ∫-vovo dvz = 4vo2/Mo v2/2 |-vovo

= 0 = <Y Y > = <V_z>

b) ρ_m <v_xv_x > =   ρ_m ⊂