Fisica del nucleo

Fisica del nucleo

Roberto Serino

Indice

Introduzione

1. Richiami e complementi matematico-fisici

• 1.1. Funzioni e equazioni notevoli della fisica matematica
• 1.2. Dinamica in campi centrali
• 1.3. Teoria quantistica della diffusione elastica e anelastica
• 1.4. Sistemi quantistici a molti corpi: Hartree e Hartree-Fock
• 1.5. Seconda quantizzazione
• 1.6. Trasformazioni canoniche e quasi particelle
• 1.7. Quantizzazione del campo EM e generalizzazione

2. Fenomenologia del nucleo atomico

• 2.1. Composizione/proprietà dei nuclei e della materia nucleare
• 2.1.1. Densità
• 2.1.2. Momento angolare
• 2.1.3. Modello a shell
• 2.1.4. Stati instabili ed eccitati
• 2.1.5. Momenti di multipolo EM

3. Interazione nucleare forte

• 3.1. Struttura generale della forza nucleare forte da argomenti di simmetria
• 3.2. Studio delle proprietà della forza nucleare forte dall'interazione nucleo-nucleo
• 3.3. Stati legati: il deuterone
• 3.4. Scattering nucleone-nucleone
• 3.5. Invarianza di carica e spin isotopico
• 3.6. Modello di Yukawa: interazione nucleare forte per scambio di mesoni
• 3.7. Determinazione perturbativa del potenziale nucleare dall'interazione nucleone-pione

4. Modelli di struttura del nucleo

• 4.1. Aspetti generali: approccio di particella singola e fenomeni collettivi
• 4.2. Raggio e goccia liquida e formula di Weizsäcker per le masse nucleari
• 4.3. Modello a nucleoni liberi
• 4.4. Modello a shell
• 4.4.1. Soluzione per campi di forze rototori
• 4.4.2. Determinazione dei numeri magici
• 4.5. Effetti collettivi: vibrazioni, rotazioni, effetti di pairing e superconduttività nucleare

LEZIONE 23/02/22

• tempi: si ha a che fare con tempi estremamente diversi tra di loro a seconda del processo considerato.

Esempi:

• tempi di transito nucleare: 10^-23s.
• livelli eccitati di un nucleo: 10^-15-10^-16s.... fino ad arrivare a 10^-9-10^-8 anni!

• costanti numeriche e fisica nucleare: t_k, C_i, t_C, e².

Quali sono le dimensioni di [C_i] = energia × lunghezza [E] [L]? 200 MeV⋅fm

Che dimensioni ha invece la carica? Ci vorrebbe la carica di Coulomb ha dipende dal sistema che utilizzano. Nel Sistema Internazionale si definisce ad hoc il Coulomb infatti troviamo che:

energia potenziale Coulombiana V_C = ¹⁄_4πϵ0 e² e troviamo che

Nel Sistema di Gauss invece: V_C = ^e2⁄_[r] Energia × lunghezza^-1 = [E] [L]^-1 Anche questi si può misurare in MeV⋅fm

Troviamo quindi che e² h⁄c è adimensionale e sappiamo che ¹⁄₁₃₇ = α_EM

α è la Costante di Struttura fine e corrisponde anche alla Costante di Accoppiamento.

Le costanti di accoppiamento per ogni interazione sono adimensionali cosi da potere confrontare.

Facciamo qualche esempio:

1. stimiamo l'energia cinetica di confinamento di una particella.

Sappiamo che la particella non potra essere ferma per Heisenberg: Δx⋅Δp ≥ ℏ/2

Fissiamo Δx variabile in un intervallo tra 1 e 10 fm (ordine di nuclei)

Sappiamo che Δp < [p ^→ _→p ] perché è finita (continuante)

e otteniamo quindi Δp² = ^p2

Continuando otteniamo: Δp ^→ h/Δx ^→ (Δp)² = h/Δx

mi ricavo quindi una stima di Δp² e quindi di p² che ci serve per le energie relativistiche.

Discutiamo ora il caso Non Relativistico:

Utilizzo la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo:

R = ^2π⁄_ħ |W_fi|² REGOLA D'ORO DI FERMI Con g(E_f) si assume che nel livello E_f ci siano stati degeneri.

R è la probabilità per unità di tempo che avvenga una transizione tra il livello E₀ ed il livello E_f. Ci concentriamo ora sull'elemento di matrice nel nostro caso specifico.

Ai primi ordini: W_fi = <ψ_f|W|ψ_i>

Ĥ = Ĥ₀ + W (stato finale ed iniziale riguardano la sonda).

Per particelle puntiformi consideriamo: Ẃ = q₁∙q₂⁄_|r|

9q₂∙e^-» 9q₀∙e^-»

Considerando la sonda come particella libera, possiamo scrivere gli stati iniziale e finale:

|i> = 1⁄√V eⁱ х^x

|f> = 1⁄√V eⁱ х^x

K = &hcsup; _&xyksub;

V serve a normalizzare il Volume

Possiamo definire r = |x_A - x_B| = x

Se l'origine coincide con B → x_B = 0

V valore assoluto della distanza tra particella e nucleo.

W _fi = 1⁄V ∫_we^i·qd³x Trasformata di Fourier del potenziale coulombiano

V = ∫^∞e^i·qd³x trasforma di Fourier

a-b e^iᦣ ∫e^iᦣd³x

Trasformata di Fourier valutata nel punto q del potenziale coulombiano.

Calcoliamoci il momento trasferito nel nostro caso

181 eⁱ

Nella nostra ipotesi: |p_i| = |p|

Geometricamente si ottiene q = 2|p| sin θ⁄2

Sostituiamo θ in q e inseriamo q nella trasformata di Fourier otteniamo tutto in funzione di θ. Esercizio: Calcolare la trasformata di Fourier.

∫_ee^i·χd³x ∝ 4 π⁄ K² + μ

μ = ^e₀⁄_r² il χ

q = sin θ⁄2