Fisica del Nucleo - Introduzione

SVILUPPI IN SERIE

Un campo è un ente fisico descritto da grandezza matematica funzione di spazio e anche tempo se variabile. Può essere scalare o vettoriale.

Sviluppo in serie di Taylor nell’intorno di un certo punto, per esempio, oppure espansione più elaborata in lezione sviluppo in serie di Fourier e trasformate gli operatori e gli spazi associati: caratteristiche intrinsecamente e fisicamente determinate; metodi sviluppati se effettivamente serve praticamente.

TAylor (Ex versione di base a due variabili ortogonali)

\(\Phi (x)= \Phi (x_0) + \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \bigg|_{x = x_0} (x - x_0) + \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} \bigg|_{x = x_0}(x-x_0)^2 + \cdots\)

Già qui in fisica non avremmo usi una sola variabile “indipendente” ma almeno tutte tre dello spazio.

\(\Phi (\vec{x}) = \Phi (\vec{x_0}) + \sum_{i} ( x_{i} - x_{0,i} ) \dfrac{\partial \Phi}{\partial x_{i}}\bigg|_{\vec{x}=\vec{x_0}} + \dfrac{1}{2} \sum_{i,j}(x_i - x_{0,i}) (x_j - x_{0,j}) \dfrac{\partial^2 \Phi}{\partial x_i \partial x_j}\bigg|_{\vec{x}=\vec{x_0}} + \cdots\)

\(Φ(\vec{x}) = Φ(\vec{x}) + \Bigg[ (\vec{x} - \vec{x_0}) \cdot \nabla \Bigg] Φ(\vec{x}) + \dfrac{1}{2} \Bigg[ ( \vec{x} - \vec{x_0}) ( \vec{x} - \vec{x_0}) : \nabla \nabla \Bigg] Φ(\vec{x}) + \cdots\)

Tutte le grandezze fisiche sono descritte da tensori! Un vettore è un caso particolare di tensore.

Tensore 3D = 9 componenti. Cambio sistema di riferimento permette di definire contemporaneamente lo stesso vettore ma cui due componenti si comportano ente a componenti Q ed η ma in un certo modo equivalent il tensore.

Esempio: quanto vale energia potenziale di interazione di una distribuzione di carica immersa in un campo elettrico esterno? Estensione spaziale piccola rispetto a variazioni esterne (lunghezza caratteristica di variazione del campo) \(\;\Rightarrow\) dato

\( W = \int \rho ( \vec{x}) \Phi ( \vec{x} ) d^3 x \)

\(\Phi(x) = \Phi( \vec{0} ) - \vec{x} \cdot \vec{E} ( \vec{0}) - \dfrac{1}{2} \sum_{i,j} \varepsilon_{i,j} x_i x_j + \cdots \)

\(\Rightarrow W = q \Phi (\vec{0}) - \vec{p} \cdot \vec{E} (\vec{0}) - \dfrac{1}{6} \sum_{i,j,k} \varepsilon_{i,j,k} x_i x_j + \cdots\)

\(q = \int \rho ( \vec{x}) d^3 x\) carica tot. associata alla distribuzione di carica

\(\vec{p} = \int \rho( \vec{x}) \vec{x} \, d^3 x\) momento di dipolo elettrico associato alla distribuzione di carica.

\(\vec{E} = -\nabla\Phi \)

SVILUPPI IN SERIE

Un campo è un ente fisico descritto da grandezza matematica funzione di spazio e anche tempo se variabile. Può essere scalare o vettoriale. Sviluppo in serie di Taylor nell'intorno di un certo punto per esempio, oppure espressioni più elaborate come serie di Fourier, le trasformate gli operatori e gli spazi duali. Caratteristica interessante nel caso Q operatori. Astronomico utilizzato sempre praticamente.

Taylor

\[ Φ(\vec{x}) = Φ(\vec{x_0}) + \frac{∂Φ}{∂x_i}\bigg|_{\vec{x} = \vec{x_0}} \left (x_i - x_{0i}\right) + \frac{1}{2} \frac{∂^2Φ}{∂x_i ∂x_j}\bigg|_{\vec{x} = \vec{x_0}} \left (x_i - x_{0i}\right) \left (x_j - x_{0j}\right) + ... \]

Già qui in fisica non avremmo uno ma una sola variabile indipendente ma almeno le tre dello spazio.

\[\bigg [ X_i - X_{0i}\bigg ] \vec{\nabla} Φ(\vec{x}) + \frac{1}{2} \bigg [ X_i - X_{0i}\bigg ] \bigg [ X_j - X_{0j}\bigg ] \bigg ] \frac{∂^2Φ}{∂X_i ∂X_j}\bigg|_{\vec{x} = \vec{x_0}} + ... \]

Tutte le grandezze fisiche sono descritte da tensori! Un vettore è un caso particolare di tensore. Tensore 3D = 9 componenti nel cambiamento di sistema di riferimento permette di definire comunque lo stesso vettore ma cui le sue componenti si comportano diversamente e a componenti Q è ma in en certo modo equivalente il tensore.

Esempio: Quanto vale energia potenziale di interazione di una distribuzione di carica immersa in un campo elettrico esterno? Estensione spaziale piccola rispetto a variazioni esterne (lunghezza caratteristica di variazione del campo) è dato

\[ W = \int \rho (\vec{x}) Φ(\vec{x}) d^3x \]

\[\vec{E} = - \nabla Φ \]

\[ Φ(\vec{x}) = Φ(\vec{0}) - \vec{x} \cdot \vec{E} (\vec{0}) - \frac{1}{2} \epsilon_{ij} x_i x_j \frac{d \vec{E} (\vec{0})}{d x_i} + ... \]

\[\frac{d \vec{E} (\vec{0})}{d x_i} \]

\[ \vec{P} = \int \rho (\vec{x}) \vec{x'} d^3\vec{x'}\] momento di dipolo elettrico associato alla distribuzione di carica.

e lo sviluppo in multipoli della distribuzione di carica:

Q_i = ∫(3xi² - r²) ρ(x’) d³x’

è stata sommata una quantità nulla: ∫x’•∇ (x’•E(x’))

campo elettrico E ha divergenza nullase il campo è esterno e non ci sono altre cariche

Tensore di momento elettrico di quadrupolo associato a distribuzioni di carica. Se simmetria sferica questo momento è nulla.

p(xi), φ(xi)

funzione che dipende dal modulo e a simmetria sferica

Es. quadrupolo → monomio tipo dipole:

p₂₂ = ∫(3z² - r²) ρ d³x

momento carica quadrupolo