Fisica del nucleo

Proprietà dei nuclei atomici

Bzero, si trova un valore di Z circa pari a 2/3a AcZ≈N – 2 a asy c+A 1 /3A per cui notiamo che, per A piccolo, Z~N. In particolare, studiando i nuclei della valle di stabilità, si osserva che il rapporto Z/A varia al variare di A stesso: {0,5, per A<40Z ≈ 0,41÷0,43, per 40< A<200A 0,39, per A>200}. Possiamo anche studiare l'andamento delle masse di nuclei isobari al variare di Z. Così facendo, la• formula per l'energia di legame permette di scriverne una per la massa di tipo parabolico: 2M Z Z=k −k +kA 1 2 3. Nel caso in cui A sia pari, modificando Z, avrò due parabole di riferimento, separate da una quantità pari a 2δ. Come vedremo, questo sarà utile nello studio del decadimento β. Un altro aspetto interessante è l'energia di separazione, definita come l'energia necessaria per estrarre• il nucleone meno legato dal nucleo. Ne abbiamo, in particolare, tre tipi.

stato energetico ε, atemperatura T diversa dallo zero assoluto, ed è data dall'espressione1f (T )= ε−μexp[ ]+1k TBnella quale μ è il potenziale chimico del sistema e k la costante di Boltzmann. Dallo studio di questa statisticaBderiva che l'energia massima alla quale si trovano i fermioni alla temperatura di zero kelvin è2 2/ 3Nħ 2ε = (3 π )F 2m Vdetta energia di Fermi. L'energia media di un singolo fermione è invece3̄ε= ε F5e l'energia dell'intero sistema a temperature maggiori di zero è data daN2π 2Tε(T )≈ε + (k )εF B4 FQueste conoscenze possono essere applicate al nucleo se lo si considera come un gas di nucleoni di due tipidifferenti, i quali allora occuperanno livelli energetici distinti. Pertanto, l'energia media di un nucleone nelnucleo sarà data dai contributi statistici di essere un protone (Z/A) o un neutrone

(N/A):3 Z 3 Np)( (n)̄ε= ε + εF F5 A 5 A 1/3 Sostituendo le espressioni per le energie di Fermi e calcolando un volume sferico di raggio R_A, si ottiene 0^5/3 / 5^5/3 una dipendenza di ε da (Z/A) e (N/A). Questo ci permette di calcolare l'energia cinetica media per un nucleone in un nucleo, per il solo fatto di essere tale. Supponiamo allora Z=N, ovvero Z/A=N/A=1/2, e notiamo che, in generale, si può scrivere N₁ Z₁Δ Δ,= (1- Δ) = (1+ Δ)A₂ / A₂ con Δ=N-Z. Possiamo allora scrivere l'energia di Fermi come 2^2/3 / ħ 9 1 MeV ε = ( π ) ≈ 31/39F² / 4 22 R m0 N pari all'energia cinetica massima di un nucleone. Riferendoci al modello a buca di potenziale, avremo una serie di livelli energetici al di sotto di tale energia; da questo modello, l'energia di separazione di un nucleone può essere ottenuta come differenza tra la profondità della buca e l'energia di Fermi. Facciamo inoltrenotare che il potenziale è evidentemente diverso per protoni e neutroni, a causa della presenza dell'interazione elettromagnetica. Con questo modello è possibile anche dare una spiegazione del perché sia presente un termine di simmetria nella formula delle masse. Infatti, fissato A, se consideriamo i livelli energetici di protoni e neutroni separati, ciascuno occupato da due particelle di spin opposto, e variamo il numero di protoni o neutroni, necessariamente essi dovranno occupare livelli energetici superiori. Evidentemente, questa è una condizione favorevole dal punto di vista energetico. Inoltre, si può espandere l'energia media per nucleone con un sviluppo binomiale ottenendo 5 2Δε ≈ 1+ ( )̄ 9 A. Moltiplicando per A si può stimare un valore per il contributo di simmetria pari a 12 MeV, solo la metà di quello sperimentale. 3.3 MODELLO A CAMPO MEDIO Il modello a nucleoni liberi può essere migliorato.

aggiungendo un termine di interazione tra nucleoni; questo contributo può essere costruito come campo medio agente sul singolo nucleone e prodotto da tutti gli altri, partendo dall'hamiltoniano del sistema ¹H V ,=Σ ε̂ + Σ (ξ ξ )_i=1^k , i i , j ij i j²Riscrivendolo come ¹ÂH V , U=Σ [̂ε +U (r )]+[ Σ (ξ ξ )−Σ (r )]_i=1^k ,i i i i , j ij i jⁱ⁼¹ⁱ²avendo aggiunto la somma dei potenziali sentiti dal singolo nucleone, otteniamo un hamiltoniano composto da A hamiltoniani di singola particella e un termine di interazione residua. I termini di campo medio possono essere costruiti con i tipici metodi di Hartree o di Hartree-Fock. In effetti, quando si parla di modello a gusci o a shell, ci si riferisce a soluzioni all'equazione di Schrödinger del tipo particella singola, con potenziali alla Hartree del tipo* ̂∫U V , d(ξ )=Σ Φ (ξ ) ( ξ ξ )Φ(ξ ) ξi i ki k k ik i k k

Il campo medio può essere interpretato come un valore medio dell'interazione pesato sul contributo della singola particella. Tipicamente, un problema del genere si risolve con un approccio iterativo. Quello che vedremo nel seguito è ragionare su come dovrebbe essere fatto un buon campo medio, per poi proseguire con la sua risoluzione e lo studio delle proprietà derivanti. Tenendo allora conto del basso raggio d'azione dell'interazione nucleare forte, possiamo pensare che il potenziale medio visto da ogni particella possa essere proporzionale alla densità di materia nucleare nel nucleo, ovvero del tipo V(r) = -Vδ(r-ξiξi). Sostituendo nell'espressione per il campo medio data sopra si ottiene facilmente che V0U(r) = -i(r-R)/a + etenendo conto dell'andamento medio della densità di materia nucleare, con raggio al 50% pari a R e spessore dal 90% al 10% pari ad a, di cui conosciamo i valori sperimentali.

Questo potenziale prende il nome di potenziale alla Wood-Saxon. Si noti che, nella derivazione di tale potenziale, non abbiamo considerato né i gradi di libertà legati allo spin, né la componente non centrale del campo. Questi contributi sono tuttavia trascurabili, infatti: il contributo legato agli spin dei nucleoni è tipicamente piccolo nei nuclei, per via della natura fermionica dei costituenti; possiamo infatti supporre che per ogni nucleone ne sia presente un altro con spin opposto, che compensi il contributo di spin del primo. Pertanto l'effetto totale può essere trascurato. Per il termine non centrale è necessario valutare la forma del nucleo: se essa fosse sferica il contributo sarebbe trascurabile, ma non lo sarebbe per nuclei di forma differente, come vedremo nel seguito. Infine, dobbiamo far notare che questi ragionamenti non portano alla possibilità di trascurare anche il contributo di spin-orbita. Inoltre,

Utilizzando l'equazione di Dirac, è possibile mostrare che tale contributo deve essere presente per particelle di spin 1/2 in un campo scalare.

In conclusione, possiamo dire che il potenziale sarà V = -α/r + iβ/r^2, avendo aggiunto il contributo di interazione spin-orbita. Accenniamo anche al fatto che, chiaramente, per i protoni sarà presente anche un contributo coulombiano.

Per risolvere l'equazione di Schrödinger con tale potenziale, possiamo partire trascurando l'interazione spin-orbita (e l'eventuale coulombiana) per poi introdurla in seguito. Tuttavia, anche con questa approssimazione non siamo in grado di risolvere il problema; tale potenziale può però essere approssimato da un andamento parabolico del tipo U = (1/2)mω^2r^2, per r < R, dopodiché lo poniamo nullo. Questo problema non è altro che la somma di tre oscillatori armonici.

sempliciunidimensionali e indipendenti. Si può quindi procedere con il tipico studio di un potenziale di questo tipo ostudiandolo come campo centrale; noi proseguiremo con il secondo approccio, più generale. Imponendo la condizione U(R)=0 possiamo ricavare che √(2V1/ω) = R m dalla quale, con i dati sperimentali noti per R e V, possiamo stimare l'ordine di grandezza dell'energia tra i vari 0-1/3 livelli, pari a circa (40/50 MeV)A. Il problema da risolvere è il seguente: 2 1ħ^2 2 2m r(- ∇^2 - V + ω)Φ(r) = εΦ(r)0 nl^2 m^2 che ci aspettiamo dare autofunzioni dipendenti da certi numeri quantici e fattorizzabili come m, Φ(r) = φ(r)Y(θ, ϕ) χln l m m nl l ml s se degenerazione pari a 2(2l+1). Sostituendo questa espressione si ottiene un'equazione per φ: nl^2 d^2 φ + l(l+1) φ - 2m r^2 (ε + V - ω) φ = 0 cambiandovariabile2d d l( l+1)φ φ ε +V3 1 1 mωnl nl 2 nl 0, con r e ℰξ + + [ℰ− ξ− ]φ =0 ξ= =nl2 ħ ħω2 d 2 2 2ξ ξd ξDopodiché si considerano gli andamenti asintotici per2d 1φ 2−ξ /: ∞ξ →∞ − φ =0 → φ ∝e&i _{variabile2d d l( l+1)φ φ ε +V3 1 1 mωnl nl 2 nl 0, con r e ℰξ + + [ℰ− ξ− ]φ =0 ξ= =nl2 ħ ħω2 d 2 2 2ξ ξd ξDopodiché si considerano gli andamenti asintotici per2d 1φ 2−ξ /: ∞ξ →∞ − φ =0 → φ ∝e&i}