Fisica del nucleo

Capitolo 1: Fenomenologia dei nuclei

Lo studio dei fenomeni fisici aventi a che fare con il nucleo degli atomi ha aperto la strada verso numerose applicazioni, quali il loro utilizzo per la produzione di energia, per la diagnosi medica senza la necessità di interventi invasivi, così come nella realizzazione di materiali innovativi. Ciononostante la fisica del nucleo è una branca poco conosciuta nel mondo scientifico, se non a un livello molto superficiale. Per tali motivi, questo corso si prefigge lo scopo di far luce sui fenomeni nucleari che permettono tante applicazioni, sia da un punto di vista fenomenologico che teorico.

In questo primo capitolo introduttivo, parleremo in modo generale di quegli aspetti che sono propri della fisica dei nuclei, come la terminologia impiegata, le grandezze fisiche di maggior interesse e le loro unità di misura comunemente impiegate. Questa panoramica ci permetterà infatti di introdurre numerosi concetti fondamentali che verranno poi trattati in modo preciso nel seguito del corso.

1.1 Terminologia e unità di misura

Con il termine nucleo si intende l'aggregato di protoni e neutroni al quale sono legati gli elettroni degli atomi e, pertanto, si presenta come il costituente principale degli atomi stessi. I primi fenomeni la cui spiegazione richiedeva la presenza di un nucleo atomico furono i fenomeni radioattivi osservati nel 1896 da Antoine H. Becquerel; tuttavia, la vera struttura del nucleo fu compresa con la scoperta da parte di James Chadwick del neutrone, nel 1932. In modo particolare, vedremo che la definizione data non è sufficiente a spiegare alcune caratteristiche dei nuclei.

Per definire una specie nucleare, o nuclide, vengono indicati i seguenti numeri:

• Il numero atomico, Z, che indica il numero di protoni presenti nel nucleo;
• Il numero di neutroni, N;
• Il numero di massa, A, pari alla somma dei precedenti A = Z + N.

Comunemente, un nuclide è identificato dai numeri A e Z, e viene indicato con la notazione A X_Z N nella quale X indica il simbolo utilizzato per identificare l'elemento chimico a cui appartiene il nuclide. Notiamo, tuttavia, che tale notazione è ridondante; infatti, osservando la tavola periodica degli elementi, noto X, è possibile risalire a Z. Inoltre, noti A e Z è possibile ottenere N. Pertanto, spesso viene utilizzata la notazione semplificata A X sottintendendo Z ed N. Ulteriori notazioni che talvolta vengono utilizzate sono X-A e A-X.

Risulta comodo introdurre anche le seguenti terminologie:

• Isotopi: nuclidi che presentano lo stesso Z;
• Isotoni: nuclidi che presentano lo stesso N;
• Isobari: nuclidi che presentano lo stesso A;

Si parla anche di isomeri quando vengono considerati due nuclidi con lo stesso numero di massa, A, ma differenti proprietà. Un esempio sono isobari che si trovano in stati energetici differenti; è il caso particolare di nuclidi in stati energetici metastabili, che presentano un tempo di vita medio molto elevato. Gli isomeri vengono indicati con la notazione Am X nella quale “m” sta per “metastabile”.

Ordini di grandezza e unità di misura

L'ordine di grandezza che si incontra nelle dimensioni spaziali della fisica nucleare è di 10^-15 m o femtometri (fm); in onore del contributo di Enrico Fermi diede a questa branca della fisica, il femtometro è comunemente detto fermi. Le dimensioni di un nucleo variano tra 1 e 10 fm. Le superfici sono invece misurate in barn (b), pari a 10^-28 m² o a 100 fm², definito come la sezione circolare di un nucleo di dimensioni medie (circa 5 fm).

Una grandezza fondamentale nella fisica del nucleo è l'energia. Essa, in joule (J), ha valori troppo piccoli per un utilizzo efficace, pertanto viene misurata in elettronvolt; questa unità di misura è definita come l'energia in joule acquisita da una carica elementare di 1,6·10^-19 C in una differenza di potenziale di 1V, pertanto equivale a 1,6·10^-19 J. Tipicamente le energie a scale nucleari sono molto maggiori dell'eV e possono spaziare dai keV (10³ eV) ai TeV (10¹² eV) - si possono anche osservare energie dei PeV (10¹⁵ eV) in fenomeni riguardanti raggi cosmici. Distinguiamo quindi tre fasce energetiche:

• 1 eV-10 MeV: fisica del nucleo delle basse energie, entro cui la fisica del nucleo propriamente detta opera;
• 10 MeV-100 MeV: fisica delle energie intermedie;
• Maggiori di 100 MeV: fisica delle alte energie, nel quale si possono osservare fenomeni che interessano anche particelle “esotiche”.

Le masse che si considerano sono quelle dei protoni e dei neutroni, spesso detti nucleoni, di circa 10^-27 kg, oltre a quella degli elettroni, circa 10^-30 kg. Anche in questo caso, non risulta conveniente utilizzare il chilogrammo come unità di misura. In ambito chimico viene impiegata l'unità di massa atomica, definita come un dodicesimo della massa del ¹²C, dunque pari a 1,66·10^-27 kg. Questa unità non viene molto impiegata nella fisica nucleare, nella quale, invece, si sfrutta la relazione relativistica che lega l'energia a riposo di una particella alla sua massa ε = mc² per cui si può parlare di massa in termini di eV/c² - spesso c verrà sottinteso. In questa prospettiva, la massa di un nucleone è di circa 1 GeV, quella di un elettrone di 0,5 MeV.

Il confronto tra energia cinetica ed energia a riposo di una particella, legate dalla relazione ε² = p²c² + m²c⁴, permette di applicare le seguenti approssimazioni:

• Non-relativistica, quando l'energia cinetica è molto minore dell'energia a riposo, dipenderà dal tipo di particella e, in particolare, dalla sua massa a riposo in MeV.
• Ultra-relativistica, quando l'energia cinetica è molto maggiore dell'energia a riposo e possiamo approssimare l'energia totale come pc ≈ ε.

A titolo di esempio, ad un'energia cinetica di 10 MeV, un elettrone è ultra-relativistico, mentre un nucleone può essere trattato non-relativisticamente.

Un'altra grandezza che, come l'energia, è caratterizzata da un range di valori molto ampio è il tempo. Infatti, i tempi tipici della fisica nucleare possono andare dai 10^-22 s, quando si parla del tempo di transito nucleare per un nucleone in un nucleo di medie dimensioni, a tempi di decadimento medi di 10²⁰ y, addirittura maggiore della vita dell'universo.

Infine, riportiamo alcune costanti di comune utilizzo:

• ħc ~ 200 MeV·fm
• e² ~ 1,44 MeV·fm, espressa nel sistema di misura gaussiano
• α = e²/ħc = 1/137, adimensionale, detta costante di struttura fine.

1.2 Particelle di interesse

Alcune considerazioni:

• Elettroni, neutroni e protoni sono fermioni e hanno spin ½, mentre il fotone ha spin 1 ed è un bosone.
• Il fattore giromagnetico, g, è una grandezza adimensionale usata per correggere il momento di dipolo magnetico di una particella, definito come μ = g μ_N S, nella quale μ_N è il cosiddetto magnetone nucleare, dato nel sistema di misura gaussiano da μ_N = e ħ/2m_N c.
• I valori di tale fattore per protone e neutrone sono decisamente anomali, rispetto al valore per l'elettrone. Questo è un indizio che tali particelle potrebbero non essere particelle elementari. La differenza tra questi valori, e quindi tra i momenti di dipolo magnetico, fu uno dei motivi per i quali venne scartata l'ipotesi di elettroni nucleari.
• Il positrone fu scoperto nel 1932; l'antiprotone nel 1955 e poco dopo venne scoperto anche l'antineutrone.

1.3 Esempi introduttivi

Proponiamo di seguito alcuni esempi che mettono in luce delle importanti proprietà dei sistemi nucleari.

Esempio 1: l'energia di confinamento

Consideriamo una particella confinata all'interno di una regione - per semplicità monodimensionale - di ampiezza Δx. Per il principio di indeterminazione di Heisenberg, essa possiede anche una quantità di moto minima e, pertanto, un'energia; tale viene detta energia di confinamento. Consideriamo un'ampiezza compresa tra 1 fm e 10 fm e calcoliamo i valori di energia di confinamento limite che una particella ha se confinata in essa. Per far ciò consideriamo una relazione approssimata del principio di indeterminazione:

ħp ≈ ħ / Δx

...e moltiplichiamo ambo i membri per c, ottenendo una relazione comoda per una stima numerica:

cħp ≈ ħ c / Δx

...che con i valori dati restituisce un valore tra 20 MeV e 200 MeV.

Ora, per un nucleone non-relativistico, un valore tale di pc restituisce un'energia cinetica massima di circa 20 MeV. Per un elettrone, che invece deve essere trattato in approssimazione ultra-relativistica, si ottengono energie cinetiche massime di 200 MeV. Un'energia tale da contenere un elettrone entro il nucleo è eccessivamente elevata; per questo e per altri motivi, venne scartata l'ipotesi di elettroni nucleari, in voga prima della scoperta del neutrone.

All'interno dei nuclei esiste anche un'altra forza che tende a disaggregare i protoni: la repulsione coulombiana. Per le dimensioni tipiche dei nuclei, possiamo calcolare che l'energia di interazione coulombiana tra due protoni è dell'ordine di 0,1-1 MeV.

La presenza di queste energie, che tenderebbero a separare i nucleoni, e l'evidenza sperimentale che invece i nuclei rimangono legati hanno portato ad avanzare l'ipotesi dell'esistenza di un'interazione nucleare forte, agente a corto raggio, che fosse di intensità almeno superiore alla somma delle energie calcolate in precedenza (da cui il termine “forte”).

Esempio 2: la lunghezza d'onda di de Broglie

Questa grandezza è definita come la lunghezza d'onda associata ad un corpo in movimento e viene spesso indicata con la sua notazione ridotta λ_dB = ħ / p e può essere calcolata valutando la quantità di moto, secondo l'approssimazione relativistica usata. Questa lunghezza d'onda ha l'utilità di stimare i limiti quantistici del sistema e deve essere considerata quando si vogliono utilizzare delle particelle per sondare sistemi microscopici: la lunghezza d'onda di de Broglie della sonda dovrà, infatti, essere dell'ordine delle dimensioni del bersaglio.

In tal proposito, dalla tabella riportata sotto, notiamo che gli elettroni di 1 MeV non possono essere utilizzati per sondare i nuclei, mentre diventano utili ad energie superiori ai 100 MeV - richiedono dunque di essere fortemente accelerati - e possono essere usati per studiare le proprietà elettromagnetiche dei nuclei. I nucleoni, invece, sono buone sonde anche a 1 MeV; questo ha portato al successo dell'esperimento di scattering di Ernest Rutherford, che utilizzò particelle α da 7,7 MeV per osservare degli atomi di oro, scoprendo il nucleo. Si noti, però, che i nucleoni non sono particelle elementari, come l'elettrone, ma possiedono una struttura interna che, alle alte energie, può dar luogo a fenomeni particolari.

Esempio 3: lunghezza d'onda Compton

A differenza della lunghezza d'onda dell'esempio precedente, la lunghezza d'onda Compton è una proprietà intrinseca della particella e legata alla sua massa dalla relazione:

ħƛ = ħ / mc

...pari a circa 200 fm per gli elettroni e 0,2 fm per i nucleoni. Questa proprietà può essere utilizzata per studiare la massa delle particelle che vengono misurate.

1.4 Caratteristiche spaziali

In questa sezione, verranno introdotte quelle caratteristiche spaziali relative ai nuclei, quali la densità (di carica o di massa) e la forma. Per far ciò dobbiamo accennare al concetto di sezione d'urto, totale e differenziale, per poi trattare il più comune metodo di misurazione di queste grandezze: il fenomeno di scattering.

Sezione d'urto

Questa grandezza è di fondamentale importanza sia dal punto di vista teorico che, in modo molto maggiore, sperimentale: può essere infatti calcolata dai modelli teorici e misurata negli esperimenti, in modo da confrontare il modello con la realtà.

Consideriamo il caso molto semplice in cui un bersaglio fisico, composto da sfere rigide, sia colpito con un fascio di particelle “sonda”. Indichiamo con N la densità di numero del bersaglio e con σ la sezione circolare del singolo bersaglio (la sezione totale sarà quindi N σ). Indichiamo, invece, con J il flusso delle particelle sonda, inteso come il numero di particelle per unità di superficie e unità di tempo.

Possiamo quindi immaginare che le sonde interagiranno in qualche modo con i bersagli, con un tasso di reazione R. Se vengono considerate tutte le reazioni, R può essere calcolato come:

R = J_a N_b σ_b

In questo modo, misurato R, noti i parametri sperimentali N_b e J_a, si calcola la sezione d'urto geometrica:

σ_b = R / (J_a N_b)

...che dipenderà fortemente dal tipo di interazione e dalla natura delle particelle (talvolta il prodotto L = J_a N_b viene detto luminosità ed è sperimentalmente importante per gestire il tasso di reazione a parità di interazione). La sezione d'urto ha le dimensioni di un'area e per questo viene misurata in barn, tuttavia è evidentemente legata alla probabilità di interazione.

Il tipo di sezione d'urto introdotto ha a che fare con tutte le reazioni che possono avvenire tra sonda e bersaglio (per questo viene detta sezione d'urto totale), tuttavia possono essere definite altre sezioni d'urto che considerino parametri come la dipendenza angolare e/o energetica della reazione. Queste sezioni d'urto vengono dette differenziali.

Scattering Rutherford

Come abbiamo citato più volte, il metodo più semplice per studiare le proprietà di un oggetto è di osservare i processi di scattering (o diffusione) che si hanno tra il bersaglio e una sonda. È evidente che tali processi differiscono per una grande quantità di fattori:

• Lo scattering può essere elastico, quando non vengono eccitati i gradi di libertà interni dei sistemi interagenti, oppure può essere anelastico, quando ciò accade;
• Le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto richiedono, in generale, che il bersaglio colpito acquisisca una certa energia di rinculo, legata alla sua massa;
• Tra particelle, l'interazione può dipendere da quantità relativistiche, quali lo spin;
• Le particelle possono possedere delle dimensioni finite oppure una propria struttura interna.

Il modello teorico più semplice di uno scattering tra particelle cariche, interagenti attraverso la forza coulombiana, è quello che considera uno scattering elastico, senza interazione di spin. Inoltre si considerano particelle puntiformi, prive quindi di struttura interna, e delle quali il bersaglio possiede massa infinita - di fatto rimane fermo durante l'interazione. Questo processo viene chiamato scattering Rutherford.

La prima semplificazione che si presenta sotto le ipotesi fatte è che l'energia di rinculo del bersaglio sarà nulla e, per conservazione dell'energia, quella della sonda rimarrà costante, così come il modulo della sua quantità di moto:

ε_f = ε_i = K_f = K_i

Possiamo calcolare il tasso di reazione considerando una trattazione quantistica, basata sulla teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo. Tale grandezza può infatti essere scritta come:

R = (2 π / ℏ) |_̂⟨f|W|i⟩_̂|²ρ(ε_f)

...nella quale ρ(ε_f) rappresenta la densità di stati finali che la sonda può raggiungere, mentre ⟨f|W|i⟩ è l'elemento di matrice dell'operatore di perturbazione. Nel caso in esame, tale operatore è definito come:

W = (Z_aZ_be²) / r

...se consideriamo la sonda “a” dotata di carica q_a = Z_ae e un bersaglio “b” di carica q_b = Z_be. Gli stati iniziale e finale possono essere scelti come stati a particella libera, quindi descritti da una funzione d'onda del tipo:

Ψ(r) = (1 / √V)e^{i p⋅r/ħ}

...ove V è il volume entro il quale si considera confinata l'interazione. Dunque, l'elemento di matrice può essere calcolato come:

⟨f|W|i⟩ = (Z_aZ_be²/V) ∫ e^{i q⋅x/ħ} d³x

...nella quale abbiamo considerato il bersaglio fermo (per cui q = p_i - p_f) e abbiamo introdotto q = p_i - p_f, detto momento trasferito. Si osservi che la forma ottenuta corrisponde alla trasformata di Fourier di 1/r, calcolata in q, e determina la dipendenza spaziale dell'interazione. Il calcolo della trasformata di Fourier viene svolto in coordinate sferiche e porta ad un risultato che segue l'andamento di 1/sin⁴(θ/2). Questa dipendenza è fondamentale ed è una proprietà tipica del potenziale di interazione coulombiano, in ipotesi di cariche puntiformi. Noto questo risultato la sezione d'urto differenziale angolare ha il seguente andamento:

dσ_Ruth/dΩ ∝ Z_a²Z_b²e⁴ / sin⁴(θ/2)

Osservando tale risultato, Rutherford trasse l'inevitabile conclusione che l'atomo non fosse una struttura omogenea ma che al suo interno esistesse una regione di grande densità, ovvero il nucleo.