Fisica degli acceleratori

Compattazione magnetica e focalizzazione periodica

Esso prende il nome di compattazione magnetica e misura quanto varia la lunghezza della traiettoria, rispetto a quella di riferimento, in funzione della distribuzione dei momenti, Δp; se α = 0 le traiettorie hanno tutte la stessa lunghezza e, se le velocità delle particelle sono uguali, la linea di fascio è isocrona.

Equazioni del moto per la focalizzazione periodica

Il sistema di equazioni trovato per il canale di focalizzazione continuo può essere generalizzato al caso di ottiche discrete, sostituendo i coefficienti costanti con funzioni della posizione:

1 pΔx'' + Kx(s) = xs) pρ(0y'' + Ky=0(s)y

Le quali prendono il nome di equazioni di Hill. Per semplicità, consideriamo l'equazione per la coordinata x, anche se considerazioni analoghe sono valide anche per y; siccome si tratta di una generalizzazione dell'equazione per un oscillatore armonico, ha senso cercare una soluzione del tipo ϕ(s)x(s)=w(s)

in cui abbiamo la possibilità che l'ampiezza, w, e la fase, ϕ, dell'oscillazione possano variare. Inserendo questa possibile soluzione nell'equazione del moto, otteniamo un'equazione differenziale complessa, che è verificata solo se la sua parte reale e quella immaginaria sono nulle:

2w'' + K(s)w - wϕ' = 0

2w'ϕ + wϕ'' = 0

L'equazione della parte immaginaria può essere risolta formalmente per ϕ, ottenendo:

1w'' + Kw - (s) = 0

3wds∫ϕ = 2s w

Risulta evidente che, sebbene siano presenti due equazioni per due incognite, la conoscenza della sola w(s) ci permette di descrivere in modo completo la dinamica trasversale del fascio..

Condizioni di stabilità

Abbiamo visto che un elemento ottico della linea di accelerazione può essere descritto da una matrice di trasporto; chiaramente, un sistema di elementi in successione è a sua volta descritto da una matrice, data

dal prodotto delle matrici dei singoli elementi: M_R ... M_R = R_n ... R₁ 2 1 In particolare, se la linea è periodica di periodo L, si ha M_L = M_s(s+1) ... (s+n-1) e dopo n periodi -ovvero n giri- possiamo scrivere nx M = M_x=n 0 È possibile mostrare che l'orbita descritta dall'applicazione di n matrici di trasporto M è stabile se e solo se gli autovalori di tale matrice hanno modulo unitario e sono uno il complesso coniugato dell'altro: |λ| = 1 λ = λ₁ λ₂ o, equivalentemente, se 1 Tr M| | < 1/2. Legame tra w(s) e i parametri di Twiss La soluzione generale che abbiamo ipotizzato per le equazioni di Hill può essere riscritta come x = A w(s) cos(ϕ(s)+ϕ₀) da cui x' = A[w' - w(s) + ϕ(s)] = (s)cos( ϕ(s)+ϕ₀ ) + ϕ'(s)sin(ϕ(s)) Quadrando, sommando e ricordando che ϕ'(s)=w'(s), si ottiene la traiettoria nello spazio delle tracce: 2x² + 2x' - w'x = 2wl'espressione scritta attraverso i parametri di Twiss, possiamo identificare 12 2 2' , , ' , Aα =−2ww β =w γ = +w =εx x x x2wcosicché anche nel caso di focalizzazione periodica, il fascio può essere descritto da un'ellisse nel piano ( x,x'). È importante notare che è stato fatto un salto logico: l'equazione scritta con i parametri di Twiss fa riferimento alle deviazioni quadratiche medie delle variabili del moto delle particelle del fascio, mentre x(s) fa riferimento alla sola particella. In un certo senso, allora, possiamo dire che tale particella è rappresentativa dell'intero fascio, in quanto viaggia ad una distanza σ dalla traiettoria di riferimento del fascio.x A questo punto possiamo riscrivere la soluzione come {x s)cos(ϕ√(s)= ε β ( (s)+ϕ )√ x x 0dss∫s)=ϕ (x s)β (0 x Come avevamo già detto, β (s) prende il nome di funzione ottica e,così come era per w(s), essa descrive l'intera dinamica trasversale del fascio. Se la macchina è periodica di periodo L, lo saranno anche i parametri di Twiss e si ha dss+ L∫s)=β eβ ( (s+L) Δ ϕ=x x s)β (s xNelle macchine circolari, dove L equivale alla lunghezza dell'orbita di riferimento, Δϕ prende il nome di betatron tune ed è spesso indicato con Q; questo parametro è un altro modo per misurare le differenze di posizione delle particelle nell'acceleratore, a causa del loro moto oscillatorio, e determina il punto di lavoro del fascio..Funzione ottica ed equazione di inviluppoSe ora inseriamo β (s) nell'equazione per w(s), moltiplichiamo per √ε, otteniamox ε√''+Kε( β ) (s) ε β − =0√ √√ √x x x 3 /2β xe, scrivendo 2σ xβ = εxotteniamo un'equazione per σx2ε''+Kσ (s) σ − =0x x x 3σ x Questa viene chiamata equazione di inviluppo, in assenza di accelerazione e carica spaziale; essa, date le forze focalizzanti e l'emittanza del fascio, permette di calcolare la dimensione del fascio stesso in ciascuno dei due piani trasversali. Per esempio, supponendo che K sia nullo e partendo da un punto in cui x e 'σ (0)=σ σ (0)=0x 0 x, cioè con un fascio che esce da una posizione di waist, ovvero di minimo allargamento, e si espande liberamente, abbiamo √ 2√ s2ε 21+ s 1+σ (s)=σ =σx 0 04 2σ β (0)0 x Questo risultato è formalmente identico a quello che si ottiene nell'ottica elettromagnetica, ad esempio nello studio dei laser; per questa ragione, β prende il nome di funzione ottica. È importante notare che σ e β, seppur siano legati, non hanno un significato simile; infatti, mentre σ è una

x proprietà del fascio, insieme alla sua emittanza, β è una caratteristica del sistema di trasporto. Per così dire, due fasci con diversa emittanza che passano nel medesimo sistema di trasporto avranno lo stesso valore di funzione ottica.

Rilassiamo ora una delle condizioni poste in precedenza e lasciamo che la derivata di σ possa assumere un valore finito non nullo, ovvero assumiamo che K e ''=0, σ (0)=σ σ (0)=σ 0 0

In questo caso, la soluzione all'equazione di inviluppo è √√ 22 ''β β2s s 1ε2 0 0 2s)=σ 1+2 '' 1+ s+( sσ ( σ +(σ + ) = εβ + )√σ 0 0 0 β2 2 2 24σ σ β β0 00 0 0 0

È possibile mostrare che l'inviluppo raggiunge il suo valore di minimo per''β β1 0 0s =-min 22 ''β1+ 0( )2-si noti che questa dovrà essere la distanza focale di

di fronte a un fascio con una larghezza costante lungo il canale focalizzante. Questo è un obiettivo desiderabile perché significa che il fascio rimane focalizzato e non si espande durante il suo percorso. L'equazione di inviluppo ci fornisce anche informazioni sulla divergenza del fascio. La divergenza è una misura dell'angolo con cui le particelle si allontanano dall'asse centrale del fascio. Un valore di divergenza più piccolo indica che le particelle si allontanano meno dall'asse centrale, mentre un valore di divergenza più grande indica che le particelle si allontanano di più. In conclusione, l'emittanza e l'equazione di inviluppo sono strumenti fondamentali per comprendere e ottimizzare la focalizzazione e la divergenza di un fascio di particelle.con un'espressione del tipo 2εK σ − =0x M 3σ M che dà come soluzione ε√σ =M √ K x, ovvero una delle condizioni di matching che abbiamo introdotto in precedenza. Il significato fisico del matching può essere spiegato osservando che l'equazione di inviluppo è formalmente simile all'equazione di Newton: abbiamo un termine di accelerazione della dimensione del fascio (σ'') e un termine analogo ad una forza. Quest'ultimo è composto da due contributi i quali, se valgono le condizioni di matching, si annullano; il termine di compressione del fascio è quello proporzionale a K, legato alle forze di focalizzazione, mentre quello di espansione dipende dall'emittanza del fascio. Chiaramente, la sola condizione di equilibrio delle forze non è sufficiente, in quanto vogliamo che il matching sia mantenuto lungo tutto il canale di focalizzazione. Pertanto risulta necessario.

Introdurre anche la seconda condizione di matching che abbiamo visto: ' 0)=0σ (x - si noti l'analogia con lo studio di un oscillatore armonico classico, quale il pendolo ideale. Inoltre, è importante chiedersi se questa condizione di equilibrio del fascio è stabile. La risposta è affermativa; infatti, se si pone σ̃, con σ = σ + σ̃ ≪ 1σx M M l'equazione di inviluppo può essere approssimata a ''+4 Kσ̃ σ=0̃x che fornisce delle oscillazioni stabili intorno alla soluzione di equilibrio. L'equazione di inviluppo può anche essere integrata una volta, dopo opportune manipolazioni, ottenendo 2ε2 2'σ + K σ − = kx x x 2σ x con k costante. Questa è un'equazione formalmente identica ad un'equazione di conservazione dell'energia; in particolare, identifichiamo σ ' con un termine cinetico, mentre x 2ε2K σ − x x

2σ è il contributo potenziale. Questo termine è rappresentato in figura #5 a sinistra.